【正文】 習(xí)題解答38注：其實由于區(qū)域 為矩形域，且 服從 上的均勻分布,從而 與 獨立，故D),(YXDXY與 不相關(guān)，即 ．XY0?XY?25 解 ,)(),)()21 ????????ZEZE，(22?由 2222 )]([)()]([() ???????? XEDXXD同理 故,2???YE21???ZE因 相互獨立，故, 222)())()( ?Y同理 22)( ??????YDXZD故.22222212 )()()()()(21 ??????? ??????ZEEZ26 證明 對 即,0,????tWVRt有 ,0)((2??VEWtEt這是以 為系數(shù)的二次曲線問題)()(22E)?cbtaq=44][????,](([22 ??V即 )]()(22V?27 解： }940{}520{1}905{ ????XPXP)4()20(1????X??)(173由 切 比 雪 夫 不 等 式????28 解 獨立同分布于指數(shù)分布 則1621,X? ????????.0,)(xef?概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答39 xxi deeXE??????????00)( ,10???? xxi ee?????02022)( ,220????? ????dxedx 222 1)]([)()( ????iii XEXD .16,?i已知 ,010???ii D由定理 4 ??? ????????????61 164092}92{i ii XPP=1 （查表）≈=)(?29 解 設(shè)第 次轟炸命中目標(biāo)的次數(shù)為 ,則 為獨立同分k )1,2(??kXkX布系列,且 ,命中目標(biāo)的總次數(shù) ,)(,2)(??kDXE?? ??10k立同分布的中心極限定理 (近似)～ ,因此,所求概率為?nk???10)10(N ???????????? }2180{XPXP875.)3()()3( ??????30 解 設(shè)每部分的長度是一個隨機變量 ,且 相互獨立)10,2(?k10,X?同分布, 為總長度,又??10kX, ,由獨立同分布2205.)(,)(, ?kXDEn?? 105.??n概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答40的中心極限定理 (近似)～ ,因此,產(chǎn)品合格的概率為??nXk???10)10(N ?????????????????? }{ XPPXP47)635.(???31 解 由獨立同分布的中心極限定理 ????}90{1iX )1(9011?????????????iiX 32 解：設(shè)老人死亡數(shù)為 ～ ，保險公司虧本當(dāng), 017.,1),(?pnpb且僅當(dāng)　 即 ，于是，由棣莫佛—拉普拉斯定理,10420??X20?X),(npqN?　　故公司虧本的概率：．017.)32.(1)(201}20{ ???????PnpXP33 解 （1） ：表損壞數(shù)，則 ～ 由定理 6X,.)3(}5{ ???????????????XP（2） ：表損壞數(shù)，則 ～ 設(shè) 為 取整，由定理 6),(.}{ ????????????????????N概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答41查表得 05.)()(????? )(. ????????????????????????nnN ,2?n34 解 （1）由定理 4 }{}{1??????iXPXP= ????????????????= = （查表）?????????????2424 1)6.(21?????????.???（2） ,)(,)( ??iiii YXDYE ???????? ????????)(.28}..0{ 1iiiYXPP323?????????????????????= .7498018.)(1)5.(2???查 表35 解 }{}{???????XPXP)(202041由 定 理????????????nni .951?????????????????????????)6.()(???查 表n .153764.)206.(????n參考資料：概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答421 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 ，第三版，浙江大學(xué)， 年12 月.2 概率論講義，第二版，沈恒范編， 年 3 月.3 概率論，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，第一版， 年 3 月.4 概率論與數(shù)理統(tǒng)計典型題，龔冬寶，王寧編，西安交通大學(xué)出版社，2022 年 6月.第八章 思考題:方差分析與回歸分析都是考察所研究的某一指標(biāo)與試驗因素(條件) 析考察的是因素對指標(biāo)的影響是否顯著,回歸分析考察的是因素的取值與指標(biāo)的取值存在一種什么樣的相關(guān)關(guān)系.因素可以分為兩大類,一類是屬性的,只是性質(zhì)的不同,如種子的品種,機器的型號,材料的品質(zhì),在一定范圍內(nèi)取值,如人的身高,體重,試驗的溫度,產(chǎn)量,量而屬性化的,如施肥量可以是某個數(shù)量,但有時將它局限在某些范圍內(nèi)而分為高,中,低幾個層次,就屬性化了.當(dāng)所考慮問題的因素是屬性的時,問題屬于方差分析的范疇。當(dāng)所考慮的因素是數(shù)量時,問題屬于回歸分析的范疇.:,因素可以增加或減少,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以.(1)正態(tài)性假定 有了正態(tài)性假定后 ,數(shù)據(jù) 認(rèn)為取自 ,由此求得的各種離ijx)(2??N差平方和( 如比值 分布),從而定義 F ,就沒有 分布,也2~??ES 2?沒有 F 分布與統(tǒng)計推斷.(2)方差齊性假定 假定數(shù)據(jù) 來自方差為 的正態(tài)總體,只有這樣才能在相同的ijx2?條件( 相等),才可以建立統(tǒng)計假設(shè) ,才有方差分析檢2 0H驗.(3)線性假定 線性假定指數(shù)據(jù) 的取得僅通過線性運算,這樣才可以把數(shù)據(jù) 當(dāng)ijx ijx線性模型處理,也才可以施行方差分析方法.概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答43在大數(shù)定律和中心極限定理下,際,其樣本的方差隨 而變化,對于不同的數(shù)據(jù),很難保持方差齊性,所以常常用數(shù)據(jù)變化來npS)1(2??實現(xiàn).在方差分析中,三個假定缺一不可,否則方差分析就失去了依據(jù).:進(jìn)行回歸分析,對參數(shù)的檢驗對象要求必須滿足以下三個基本條件:(1)正態(tài)性 被檢驗的對象或者因變量必須是服從正態(tài)分布 的隨機變量.),(2??N(2)方差齊性 被檢驗的各個總體的方差,應(yīng)該是相等的.(3)獨立性 對被檢驗的各對觀察數(shù)據(jù)而言,從概率意義上理解為是獨立取得的 .處理實際問題時,正態(tài)性可由大數(shù)定律和中心極限定理來確定,方差齊性的檢驗用 F 檢驗來進(jìn)行,而獨立性一般憑實際經(jīng).:,iibxay???),0(~2?Nni,.1?最小二乘估計是指對 對試驗數(shù)值 ,作離差平方和n))(21yxy???????ni iibabaQ12(,利用微積分中的極值原理,求出 的 和 ,則),mi)?,(Q?xbay???為所求線性回歸方程. 最大似然估計是由, ,則 ,得樣本的),0(~2??Ni ni.,1?)(~2?iiNy極大似然函數(shù) ?????ni iin bxayL122])(exp[)2(???要使 L 取得最大值,則應(yīng)使得 ?ni iibay1)(方法,求得使概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答44??????ni iibxaybaQ12)(),(最小的 和 ,得線性回歸方程 .a?bx? 由于兩種方法討論的都是 ,而且由此求得 和 ,故最小?????ni iibayba12)(),( a?b二乘估計與最大似然估計的結(jié)果是相同的.:當(dāng)線性回歸方程 已經(jīng)確定,并經(jīng)檢驗確認(rèn)回歸顯著,則對給定的 ,置信xbay??? 0yx度為 的預(yù)測區(qū)間為 :??1 )(1?)2(? 20 xiSnt ??????其中 ??niixxS12)(由此可知,影響預(yù)測精度的主要因素為: (1) .一般, 越小,?2(2) . 越大,精度越高 ,所以應(yīng)盡量擴大樣本容量 .n(3)自變量的取值 . 應(yīng)盡量避免過于集中,但預(yù)測點 離 越近時, 0x習(xí)題: 分別以 表示三種內(nèi)容的廣告宣傳的某種大型機械平均銷售量,檢驗321,?假設(shè) ,其中 .10??H不 全 相 等321,:H05??計算方差分析表得如下:表 81 方差分析表方差來源 平方和 自由度 均方 值F因素 2 誤 差 9 總 和 11對給定的 ，查表得 ，因為05.??),(05.?F概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答45，所以拒絕 ，)9,(.???F0H機械銷售量的影響是有顯著的.: 分別以 表示三個廠家生產(chǎn)的電池的平均壽命,檢驗假設(shè)CBA?, ,其中 .H??0 不 全 相 等CBA,:1 05??計算方差分析表得如下:表 82 方差分析表方差來源 平方和 自由度 均方 值F因素 2 誤 差 12 總 和 832 14對給定的 ，查表得 ，因為05.??)1,(05.?F，所以拒絕 ，)12,(.?F0H有顯著差異的.由均值差 = 的置信水平為 的置信區(qū)間為:kj??kj???1])()([2kjEkj nSsntX?????, , ,178.)(. ??tsnt ??x3051??x,43??x.故 , ,及817)5(.)()1205. ??kjEnSt BA??CA的置信水平為 的置信區(qū)間分別為CB??,),()(??,051?.).,2.().(?3. 解:概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答46表 83 直觀分析計算數(shù)據(jù)表 列號水平試驗號A1B2C34 轉(zhuǎn)化率 (%)iy1234567891(460)112(490)223(520)331(250)2(270)3(300)1231231(甲)2(乙)3(丙)231312?? (1)由上述表中的計算按極差 的大小選取各因子的重要性 ,其順序是: 。jR CBA?(2)因為試驗指標(biāo)越大越好,因此按 原則選取各因子的水平,得最優(yōu)搭),max(321jjk配方案: .23CBA4. 解:最好的生產(chǎn)工藝條件是: 12ECDBA5..解: 現(xiàn)在 ,為求線性回歸方程,所需計算列表如下:10?n概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答47序號 ixiy2ix2iyiyx1234567891010011012013014015016017018019045515461667074788589100001210014400169001960022500256002890032400361002025260129163721435649005476608472257921450056106480793092401050011840132601530016910?1450 673 218500 47225 1015708250140285????xS396717y于是,可得 的估計值為ab,???? ?????????nini xybyxaS11 )(? .?從而回歸方程為.?:(1)畫出散點圖略.(2)求線性回歸方程 .xbay???現(xiàn)在 ,為求線性回歸方程,所需計算列表如下:7n序號 ixi 2ix2iyiyx121518225324概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答4834567192126361441676? ????x