概率論與數(shù)理統(tǒng)計(經(jīng)管類)課堂筆記-資料下載頁
2025-10-10 20:16本頁面
【導(dǎo)讀】裊螆肅蒅螁螅膇蟻蚇襖芀蒄薃襖莂芇袂袃肂蒂袈袂芄芅螄袁莆薀蝕袀肆莃薆衿膈蕿襖袈芁莁螀羈莃薇蚆羇肅莀薂羆膅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚄螃羃腿蒆蠆芁螞薅莄蒅袃肁肅芇蝿肀膆蒃蚅聿羋芆蟻肈肈薁薇肇膀莄袆?wù)毓?jié)薀螂肆蒞莂蚈肅肄薈薄膄膇莁袂膃艿薆螈膂蒁荿螄膁膁蚄蝕螈芃蕆薆螇蒞蚃裊螆肅蒅螁螅膇蟻蚇襖芀蒄薃襖莂芇袂袃肂蒂袈袂芄芅螄袁莆薀蝕袀肆莃薆衿膈蕿襖袈芁莁螀羈莃薇蚆羇肅莀薂羆膅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚄螃羃腿蒆蠆芁螞薅莄蒅袃肁肅芇蝿肀膆蒃蚅聿羋芆蟻肈肈薁薇肇膀莄袆?wù)毓?jié)薀螂肆蒞莂蚈肅肄薈薄膄膇莁袂膃艿薆螈膂蒁荿螄膁膁蚄蝕螈芃蕆薆螇蒞蚃裊螆肅蒅螁螅膇蟻蚇襖芀蒄薃襖莂芇袂袃肂蒂袈袂芄芅螄袁莆薀蝕袀肆莃薆衿膈蕿襖袈芁莁螀羈莃薇蚆羇肅莀薂羆膅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚄螃羃腿蒆蠆芁螞薅莄蒅袃肁肅芇蝿肀膆蒃蚅聿羋芆蟻肈肈薁薇肇膀莄袆?wù)毓?jié)薀螂肆蒞莂蚈肅肄薈薄膄膇莁袂膃艿薆螈膂蒁荿螄膁膁蚄蝕螈芃蕆薆螇蒞蚃裊螆肅蒅螁螅膇蟻蚇襖芀蒄薃襖莂芇袂袃肂蒂袈袂
【正文】 （三）逆概公式（貝葉斯公式） 由 可得 公式 叫逆概公式（貝葉斯公式） 當(dāng) P（ A） ,P（ B）， 已知時，可反過來求。 例 5，某地七月份下暴雨的概率 為 ，當(dāng)下暴雨時，有水量的概率為 ；當(dāng)不下暴雨時，有水量的 16 概率為 ，求： （ 1）該地七月份有水災(zāi)的概率 . （ 2）當(dāng)該地七月份已發(fā)生水災(zāi)時，下暴雨的概率 . 解：用 B表示該地七月有水災(zāi)； A表示該地七月下暴雨 已知 （ 1） （ 2） 率為 ，丙廠產(chǎn)量占 20%，次品率為 ，求： （ 1）該產(chǎn)品的次品率 例 6，某種產(chǎn)品分別由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)，甲廠產(chǎn)量占 50%，次品率為 ，乙廠產(chǎn)量占 30%，次品 （ 2）若任取一件，該件是次品，求這件次品分別是甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品的概率。 解：用 B表示產(chǎn)品是次品， A1 表示甲廠的產(chǎn)品， A2 表示乙廠的產(chǎn)品， A3 表示丙廠的產(chǎn)品。 所以 表示已知產(chǎn)品甲廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品 表示已知產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。 表示已知該產(chǎn)品是丙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。 則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是甲廠產(chǎn)品； 則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是乙廠產(chǎn)品； 則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是丙廠產(chǎn)品； ∴ （ 1） （ 2） 可見，若該產(chǎn)品是次品，則此次品是丙廠產(chǎn)品的可能性最大。 例 7，甲袋中有 3 個白球， 2 個紅球，乙袋中有 2 個白球， 3 個紅球，先從甲袋中取一個球放入乙袋，再從乙袋中取一個球，求： （ 1）從乙袋中取出的球是白球的概率； 17 （ 2）如果從乙袋中取出的球是白球，則這時從甲袋中取出白球的概率是多少？從甲袋中取出紅球的概率是多少？ 解：用 B表示從乙袋中取出白球； A表示從甲袋中取出白球，所以表示從甲袋中取出紅球。 已知 （ 1） （ 2） 可見從甲袋中取出白球的可能性大。 例 8，已知， 求（ 1） P（ AB）； （ 2） 解：（ 1） （ 2） 例 9，若； 求（ 1） P（ B）； （ 2） P（ A+B） 解：（ 1） （ 2） （ 3） 例 10，已知；求 解：（ 1） （ 2） 18 （ 3） 167。 事件的獨立 （一）事件的獨立性 （ 1）定義： 若 P（ AB） =P（ A） P（ B），就說事件 A與事 件 B相互獨立。 （ 2） A與 B獨立的性質(zhì) 性質(zhì)一，若 A與 B獨立，則 而若 A與 B獨立，則 證： ∵ A與 B獨立， ∴ P（ AB） =P（ A） P（ B） （ 1）當(dāng) P（ A） 0 時， （ 2）當(dāng) P（ B） 0 時， 性質(zhì)一說明 A與 B 相互獨立時， A發(fā)生與否，對 B發(fā)生的概率沒有影響，而且， B發(fā)生與否也對 A發(fā)生的概率沒有影響。 性質(zhì)二， 若 A與 B獨立，則有 （ 1）與獨立（ 2）與 B獨立（ 3） A與獨立 證：用獨立性定義： （ 1） ∵ A與 B獨立， ∴ P（ AB） =P（ A ） P（ B） 由對偶公 式 ∴ 與獨立 （ 2） ∴ 與 B相互獨立 （ 3） ∴ A與相互獨立 由 A與 B獨立 這一定義可推廣有下列結(jié)果： 19 若 A， B， C 相互獨立，則有 P（ ABC） =P（ A） P（ B） P（ C） 若相互獨立，則有 例 1. 種子的發(fā)芽率為 ，求三粒種子中至少有一粒發(fā)芽的概率。 （解一）用 B表示三粒種子中至少有一粒發(fā)芽 A1 表示第一粒種子發(fā)芽 A2 表示第二粒 種子發(fā)芽 A3 表示第三粒種子發(fā)芽 很明顯， A1 ， A2， A3 相互獨立 （解二）用 對偶公式 例 、乙、丙三人獨立破譯敵碼。甲能破譯的概率為 求密碼被破譯的概率。 解：用 B表示敵碼被破譯 ∴ B=甲 +乙 +丙 。 乙能破譯的概率為 。丙能破譯的概率為 . 例 。第一工序的正品率為 ；第二工序的正品率為；第三工序的正品率為 。求該種產(chǎn)品的正品率和次 品率。 解：用 B表示產(chǎn)品是正品 A1 表示第一工序是正品 A2 表示第二工序是正品 A3 表示第三工序是正品 ∴ B=A1A2A3 （ 1） （ 2） （二）重復(fù)獨立試驗概型 先請看引例：某人射擊目標的命中率為 P，他向目標射擊三槍，求這三槍中恰中二槍的概率。 解：用 B表示射擊三槍，恰中二槍的事件 A1 表示第一槍擊中目標 A2 表示第二槍擊中目標 A3 表示第三槍擊中目標 其中 A1， A2， A3 獨立 20 由本例可見與， 大小相同 都是 P（ 1P），總共有三類，相當(dāng)于從 21， 2， 3 這三個數(shù)中，任取二個的方法數(shù) 由本例可以推廣為： 某人射擊目標的命中率為 P（即每次命中率都是 P），他向目標射擊 n 槍，則這 n 槍中恰中k 槍的概率為： P（射擊 n 槍，恰中 k 槍） = 一般地，有下面普遍結(jié)果： 如果在每一次試驗中，事件 A發(fā)生的概率不變都是 P（ A） =p，則在這樣的 n 次重復(fù)相同的試驗中，事件 A發(fā)生 k 次的概率的計算公式為： 例 4 次，每次射擊的命中率 P=，求 （ 1 ）恰好命中兩次的概率；（ 2）至少命中一次的概率。 解：（ 1 ） （ 2）用 B表示至少命中 1 次的事件 則表示最多命中 0 次的事件，故 表示恰好命中 0 次的事件 例 ，每臺車床在一天內(nèi)出現(xiàn)故障的概率 P= ，求在一天內(nèi)： （ 1）沒有機床出現(xiàn)故障的概率；（ 2）最多有一臺機床出現(xiàn)故障的概率 解：（ 1）所求概率為： （ 2）所求概率為： 例 ，事件 A發(fā)生的概率為 P（ A） =，問至少做多少次試驗，才能使事件 A至少出現(xiàn) 1 次的概率超過 。 解：設(shè)所需試驗次數(shù)為 n，它的對立事件為 Pn（ 0） 答：試驗次數(shù)至少 4 次 21 例 4，某射手射擊目標 4 次，且知道至少擊中一次的概率為 解： P（至少射中 1 次） =1P（射中 0 次） ，求該射手射擊 1 次的命中率 P。
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