【正文】 變量的分布函數(shù)F(x)是處處可導(dǎo)函數(shù)，所以連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)處處連續(xù)?！　。?）　　（3）∵P(aX≤b)=F(b)F(a)　　因?yàn)镕(x)是f(x)的原函數(shù)　　　　因此，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X在區(qū)間上取值的概率的求法有兩種：　　（1）若F(x)已知，則P(aX≤b)=F(b)F(a) （2）若f(x)已知，則P(aX≤b)=　　例1　設(shè)　　求（1）c　　【答疑編號(hào)：10020220針對(duì)該題提問(wèn)】　?。?）　　【答疑編號(hào)：10020221針對(duì)該題提問(wèn)】　　解（1）　　而時(shí)，p(x)=0,　　　　　?。?）　　　　　　　　求：　　（1）X的概率密度f(wàn)（x）?！　　敬鹨删幪?hào)：10020301針對(duì)該題提問(wèn)】　?。?）X落在區(qū)間（，）的概率?！　　敬鹨删幪?hào)：10020302針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：（1）　　　　（2）有兩種解法：　　　　或者　　　　例2－1　若　　【答疑編號(hào)：10020303針對(duì)該題提問(wèn)】　　解： 　　例2－2　若 求x~f(x)　　【答疑編號(hào)：10020304針對(duì)該題提問(wèn)】　　解： 　　　　　　　　　　　　例2－3，若　　【答疑編號(hào)：10020305針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：　　 　　【答疑編號(hào)：10020306針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：（1）x≤0時(shí)，f（x）=0，　　　?。?）0＜x＜1時(shí)，　　　?。?）1≤x時(shí)，　　　　　　，分段求積分?！　。ㄒ孕r(shí)計(jì)）具有以下的概率密度?！　　　‖F(xiàn)有一大批此種元件，（設(shè)各元件工作相互獨(dú)立），問(wèn)：　?。?）任取一只，其壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？　　【答疑編號(hào)：10020307針對(duì)該題提問(wèn)】　　（2）任取四只，四只元件中恰有2只元件的壽命大于1500的概率是多少？　　【答疑編號(hào)：10020308針對(duì)該題提問(wèn)】　?。?）任取四只，四只元件中至少有1只元件的壽命大于1500的概率是多少？　　【答疑編號(hào)：10020309針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：（1） 　?。?）各元件工作相互獨(dú)立，可看作4重貝努利試驗(yàn)，觀察各元件的壽命是否大于1500小時(shí)，令Y表示4個(gè)元件中壽命大于1500小時(shí)元件個(gè)數(shù)，則，所求概率為　 　?。?）所求概率為　　　　　均勻分布與指數(shù)分布　　以下介紹三種最常用的連續(xù)型概率分布，均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布，本小節(jié)先介紹前兩種。 則稱(chēng)X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，簡(jiǎn)記為X~U（a,b） 　　容易求得其分布函數(shù)為　　　　均勻分布的概率密度f(wàn)（x）和分布函數(shù)F（x）　　 均勻分布的概率密度f(wàn)（x）在[a,b]內(nèi)取常數(shù) ，即區(qū)間長(zhǎng)度的倒數(shù)?！　【鶆蚍植嫉木鶆蛐允侵鸽S機(jī)變量X落在區(qū)間[a,b]內(nèi)長(zhǎng)度相等的子區(qū)間上的概率都是相等的?！　【鶆蚍植嫉母怕视?jì)算中有一個(gè)概率公式?！　≡O(shè)，則　　　　使用這個(gè)公式計(jì)算均勻分布的概率很方便，比如，設(shè)，則　　　　，乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)汽車(chē)站是等可能的，求乘客候車(chē)時(shí)間在1到3分鐘內(nèi)的概率。　　【答疑編號(hào)：10020310針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：設(shè)X表示乘客的侯車(chē)時(shí)間，則X~U（0,5），其概率密度為　　　　所求概率為　　 其中λ＞0為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，簡(jiǎn)記為，其分布函數(shù)為　　f（x）和F（x）　　　　指數(shù)分布常被用作各種“壽命”的分布，如電子元件的使用壽命、動(dòng)物的壽命、電話的通話時(shí)間、顧客在某一服和系統(tǒng)接受服務(wù)的時(shí)間等都可以假定服從指數(shù)分布，因而指數(shù)分布有著廣泛的應(yīng)用。　　例:若某設(shè)備的使用壽命X（小時(shí)）～E（）求該設(shè)備使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率。　　【答疑編號(hào)：10020311針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：∵λ＝　　∴ 　　∴P（1000＜X）＝P（1000＜X＜+∞）　?。紽（+∞）－F（1000）＝1－｛1－e1｝=e1=　　（三）正態(tài)分布 其中μ,σ2為常數(shù)，－∞＜μ＜+∞，σ＞0，則稱(chēng)X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為X~N（μ,σ2）　　f（x）　　 習(xí)慣上，稱(chēng)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量為正態(tài)隨機(jī)變量，又稱(chēng)正態(tài)分布的概率密度曲線為正態(tài)分布曲線。設(shè)X~N（μ,σ2），則X的分布函數(shù)為特別地，當(dāng)μ＝0，σ＝1時(shí)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）。為區(qū)別起見(jiàn)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度和分布函數(shù)分別記為，即　　　　　　 顯然，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在x=0處取得最大值?！　⊥ǔＮ覀兎Q(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，它有下列性質(zhì)：　?。?） 　　由定積分的幾何意義及的對(duì)稱(chēng)性可得　　　　 　?。?）　　由（1）知 　　　?。?）因?yàn)槭荴服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)即X~N（0，1）時(shí)的分布函數(shù)，所以有　　當(dāng) 上面公式中，不等式中是否有等號(hào)并不影響公式的正確性，原因是連續(xù)隨機(jī)變量X取一個(gè)數(shù)的概率為0，即P（X＝K）＝0所以下面的公式同樣成立其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的可用教材中的附表1求得，其中同樣有 　　　　~N（0，1）求　　（1）P（X＜）　　【答疑編號(hào)：10020312針對(duì)該題提問(wèn)】　?。?）P（X＞－）　　【答疑編號(hào)：10020313針對(duì)該題提問(wèn)】　?。?）P（－＜X≤）　　【答疑編號(hào)：10020314針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：（1）P（X＜）＝P（－∞＜X＜）　　＝Φ（）－Φ（－∞）＝Φ（）＝　?。?）P（X＞－）＝P（－＜X＜+∞）　?。溅担?∞）－Φ（－）＝1－Φ（－）　　由性質(zhì)Φ（－x）＝1－Φ（x）得Φ（－）＝1－Φ（）　　∴P（X＞－）＝Φ（）＝　?。?）P（－＜X≤）＝Φ（）－Φ（－）　?。溅担ǎ?－Φ（）｝＝Φ（）+Φ（）－1　?。?－1＝　　~N（0，1）時(shí)，證明a0時(shí)　　　　【答疑編號(hào)：10020315針對(duì)該題提問(wèn)】　　解： 　?。溅担╝）－Φ（－a）＝Φ（a）－[1－Φ（a）]　?。?Φ（a）－1　　~N（0，1），則a為何值時(shí)， 　　【答疑編號(hào)：10020316針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：∵ 　　由 　　∴ 　　查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表（附表1）有　　　　∴a= 下面我們不加證明地介紹正態(tài)分布有下面結(jié)果若X~N（μ,σ2），則有（1）X的分布函數(shù)F（x）＝ （2） 　　公式：X~N（μ,σ2）時(shí)　　　　提供了X~N（μ,σ2）時(shí)，計(jì)算概率的方法?！　N（3,4）求P（3＜X＜5）　　【答疑編號(hào)：10020317針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：P（3＜X＜5）＝ 　?。溅担?）－Φ（0）＝－＝　　~N（,4），求：　?。?）P｛X＜｝　　【答疑編號(hào)：10020318針對(duì)該題提問(wèn)】　　（2）P｛＜X＜｝　　【答疑編號(hào)：10020319針對(duì)該題提問(wèn)】　?。?）P｛≥3｝　　【答疑編號(hào)：10020320針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：μ＝＝2，記F（x）為X的分布函數(shù)?！　。?）P｛X＜｝＝P（－∞x）=　?。?）P｛＜X＜｝= 　　=－＝　?。?）P｛≥3｝＝1－P｛3｝＝1－P｛－3＜X＜3｝　　=1 　?。?－Φ（）+Φ（－）　?。?－Φ（）+1－Φ（）　?。?－+1－＝　　~N（μ,σ2）求X落在區(qū)間［μ－kσ, μ+kσ］概率，其中k=1,2,3　　【答疑編號(hào)：10020321針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：P｛μ－kσ≤X≤μ+kσ｝＝ 　　＝Φ（k）Φ（－k）=2Φ（k）－1　　∵Φ（1）＝，Φ（2）＝，Φ（3）＝　　 　從此可以看出：盡管正態(tài)分布取值范圍是（－∞，+∞），但它的值落在［μ－3σ, μ+3σ］，幾乎是肯定的，這個(gè)性質(zhì)被稱(chēng)為正態(tài)分布的“3σ規(guī)則”?！　榱朔奖憬窈蟮膽?yīng)用，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，我們引入α分位的定義?！　N（0,1）若ua滿(mǎn)足條件　　P｛X＞ua｝＝α，0＜α＜1，　　則稱(chēng)點(diǎn)ua為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)α分位數(shù)（）　　　?。?）（2）（3）（4）　?。?）　　【答疑編號(hào)：10020401針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：因?yàn)镻（X＞uα）＝α　　∴P（X＞uα）＝1－P（X＜uα）＝1－Φ（uα）＝α　　∴Φ（uα）＝1－α　?。?）Φ（）＝1－＝　　Φ（）＝　　=　?。?）∵Φ（）＝=　　∵Φ（）＝　　∴＝　　（3）∵Φ（）＝1－＝　　∴Φ（）＝　　∴＝　?。?）∵Φ（u0. 05）＝1－＝　　∴Φ（）＝　　∴＝　?。?）∵Φ（u0. 1）＝1－＝　　∴Φ（）＝　　∴＝　　正態(tài)分布是最常見(jiàn)的一種分布，在實(shí)際問(wèn)題中，許多隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布，例如，一個(gè)地區(qū)的男性成年人的身高和體重，測(cè)量某個(gè)物理量所產(chǎn)生的隨機(jī)誤差；一批原棉纖維的長(zhǎng)度，某地區(qū)的年降水量等，它們都服從正態(tài)分布，本書(shū)第五章的中心極限定理表明：一個(gè)變量如果大量獨(dú)立，微小且均勻的隨機(jī)因素的疊加而生成，那么它就近似服從正態(tài)分布，由此可見(jiàn)，在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中正態(tài)分布都占有十分重要的地位。　?。╩m）～N（20,），工廠規(guī)定該零件長(zhǎng)度在區(qū)間（，）內(nèi)為合格品，求該機(jī)床產(chǎn)品的合格率。　　【答疑編號(hào)：10020402針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：　　∵＜X＜　　∴合格率為　　P（＜X＜）＝Φ 　　　　 誤差X（mm）～N（2,9）　　求（1）誤差絕對(duì)值小于5的概率　?。?）測(cè)量三次，誤差的絕對(duì)值都小于5的概率　?。?）測(cè)量三次，誤差的絕對(duì)值至少有一次小于5的概率　　【答疑編號(hào)：10020403針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：（1）　　其中P表示誤差絕對(duì)值小于5的事件A的概率P（A）　?。?）用X表示測(cè)量三次，事件A發(fā)生次數(shù)　　∴X～B（3,P），P＝　　∴P（X＝3） 　　（3）P（X≥1）＝1－P（X＜1）＝1－P（X＝0）　?。?－ 　　第4節(jié)　隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布　　　離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布　　在實(shí)際應(yīng)用中，我們常常遇到這樣的情況，所關(guān)心的隨機(jī)變量不能直接測(cè)量得到，而它卻是某個(gè)能直接測(cè)量的隨機(jī)變量的函數(shù)，例如，我們能測(cè)量圓軸截面的直徑X，而關(guān)心的卻是其截面的面積，這里隨機(jī)變量Y就是隨機(jī)變量X的函數(shù)?！　≡O(shè)g（x）是一給定的連續(xù)函數(shù)，稱(chēng)Y＝g（X）為隨機(jī)變量X的的一個(gè)函數(shù)，Y也是一個(gè)隨機(jī)變量，當(dāng)X取值x時(shí)，Y取值y＝g（x），本節(jié)，我們將討論如何由已知的隨機(jī)變量X的概率分布去求函數(shù)Y＝g（x）的概率分布?！　∠扔懻揦為離散型隨機(jī)變量的情況。 設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為由于X的可能取值為x1　x2　…　xk…，所以Y的可能取值為g（x1）, g（x2）…g（xk）…可見(jiàn)Y只取有限多個(gè)值或可列無(wú)窮多個(gè)值，故Y是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。當(dāng)g（x1）, g（x2）…g（xn）互不相等時(shí)，Y的分布律為當(dāng)g（x1）, g（x2）…g（xk）…，有相等的情況時(shí)，則應(yīng)該把使g（xk）相等的那些xi所對(duì)應(yīng)的概率相加，作為Y取值g（xk）的概率，這樣得到Y(jié)的分布律?！　　　　　　　∏螅骸　。?）Y＝X3的分布律；　　（2）Z＝X2的分布律?！　　敬鹨删幪?hào)：10020404針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：（1）Y的可能取值為－1，0，1，　　　　從而Y的分布律為　　　?。?）Z的可能取值范圍為0，1，4　　　　則Z的分布律為　　　　～B（3，）令，求P｛Y＝1｝　　【答疑編號(hào)：10020405針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：因?yàn)閄～B（3，）　　當(dāng)X＝0時(shí)，Y＝0，X＝1時(shí)，Y＝1；X＝2時(shí)，Y＝1；X＝3時(shí)，Y＝0?！　∷?，Y＝1為｛X＝1｝與｛X＝2｝　　其實(shí)，由等式中，當(dāng)Y＝1時(shí)，可得X（3－X）＝2　　∴ 　　∴P（Y＝1）＝P（X＝1）+P（X＝2）　?。?　　　連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布　　　　設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fx（x），要求Y＝g（x）的概率密度f(wàn)y（y），我們可以利用如下定理的結(jié)論。 ，其概率密度為fx（x），設(shè)g（x）是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)椋é?，β），且g39。（x）≠0，記x=h（y）為y＝g（x）的反函數(shù)，由Y＝g（x）的概率密度f(wàn)Y（y）為：特別地，當(dāng)α＝－∞β＝+∞時(shí)，　?。▁），令Y＝ax+b其中a,b為常數(shù),a≠0?！　　敬鹨删幪?hào)：10020406針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：y=g（x）=ax+b,α＝－∞β＝+∞由y=ax+b得x=,　　，由定理1得　　　　例4. X～N（μ,σ2），求：　?。?）的概率密度?！　。?）Y＝aX+b的概率密度。　　【答疑編號(hào)：10020407針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：∵X～N（μ,σ2）∴X～fx（x） 　?。?）　　　　　?。?）Y＝ax+b時(shí)，由y＝ax+b得反函數(shù)x=h（y） 　　　　；當(dāng)X～N（μ,σ2）時(shí)， ～N（0,1）且隨機(jī)變量稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)化，另外，正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換Y＝aX+b仍是正態(tài)隨機(jī)變量，即aX+b～N（aμ+b,a2σ2），這兩個(gè)結(jié)論必須記??！　　～U（），令Y=tanx，求Y的概率密度f(wàn)Y（y）。　　【答疑編號(hào)：10020408針對(duì)該題提問(wèn)】　　解：y=g（x）=tanx,值域?yàn)椋ǎ蓿?∞），反函數(shù)x=h（x）=arctany,記X的概率密度為fx（x）,　　當(dāng)　　　　這一概率分布稱(chēng)為柯西（Cauchy）分布。　　　　　　求Y＝2X+8的概率密度?！　　敬?