【正文】 63。X163。2247。247。 248。當(dāng)yamp。lt。1時(shí)：FY ( y)=0y1當(dāng)y≥1時(shí)：F230。y11x2y(y)=P231。231。163。Xy1246。2dx232。2163。2247。247。=248。242。y12πe2故Y的分布密度ψ( y)是：當(dāng)y≤1時(shí)：ψ( y)= [FY ( y)]’ = (0)’ =0y12當(dāng)yamp。gt。1時(shí)，ψ( y)= [F230。1x2162。Y ( y)]’ =231。231。e2dx246。247。232。242。y12p247。 2248。y1 =1e42(y1) （3）求Y=| X |的概率密度?！?Y的分布函數(shù)為 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 當(dāng)yamp。lt。0時(shí)，F(xiàn)Y ( y)=02當(dāng)y≥0時(shí)，F(xiàn)xY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=242。y12y2πedx∴ Y的概率密度為：當(dāng)y≤0時(shí)：ψ( y)= [FY ( y)]’ = (0)’ =0當(dāng)yamp。gt。0時(shí)：ψ( y)= [F230。162。242。yY ( y)]’ =231。1x2246。2y2231。e2dx247。=e2232。y2π247。248。π33.[三十] （1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)，求Y = X 3的概率密度?！? Y=g (X )= X 3 是X單調(diào)增函數(shù)， 1又 X=h (Y ) =Y3，反函數(shù)存在，且α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞31 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度為：ψ( y)= f [h ( h )]178。| h’ ( y)| = f1(y321)y3,165。y+165。,但y185。0 3y(0)=0（2）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X 2的概率密度。236。ex法一：∵ X的分布密度為：f(x)=237。238。0Y=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng) xamp。lt。0時(shí) y=x39。 反函數(shù)是x= 當(dāng) xamp。lt。0時(shí) y=x2 amp。 x=2x0x163。0 y∴ Y～ fY (y) = f(y)(y)162。+f(y)(y)162。236。0+1e239。=237。2y239。238。0y=12yey,y0y163。0 法二：Y~FY(y)=P(Y163。y)=P(yX163。y)=P(X163。y)P(X163。y)236。yxedx+0=1e239。237。0239。238。0242。y,y0y163。0 236。1e239?！? Y～ fY (y) =237。2y239。238。0y,y163。0. 34.[三十一] 設(shè)X的概率密度為236。2x0xπ239。f(x)=237。π2239。x為其他238。0求Y=sin X的概率密度?！?FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 當(dāng)yamp。lt。0時(shí)：FY ( y)=0 32 當(dāng)0≤y≤1時(shí)：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =當(dāng)1amp。lt。y時(shí)：FY ( y)=1 ∴ Y的概率密度ψ( y )為： y≤0時(shí)，ψ( y )=[ FY ( y)]’ = (0 )’ = 0242。arcsiny 2xdx+2π242。2xdxπarcsinyπ2π230。0amp。lt。yamp。lt。1時(shí)，ψ( y )=[ FY ( y)]’ =231。232。=242。arcsiny 2xdx+π2 242。162。2x246。dx247。πarcsinyπ2248。π2πy21≤y時(shí)，ψ( y )=[ FY ( y)]’ = (1)162。 = 036.[三十三] 某物體的溫度T (oF )是一個(gè)隨機(jī)變量，且有T～N（，2），試求θ(℃)5的概率密度。[已知θ=(T32)]9法一：∵ T的概率密度為f(t)=122e()22180。2,165。t+165。又 θ=g(T)= T=h(θ)=5(T32) 是單調(diào)增函數(shù)。 99θ+32 反函數(shù)存在。 5且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞∴ θ的概率密度ψ(θ)為9(+)254eψ(θ)=f[h(θ)]|h’(θ)|=12π29e109 5=81(θ37)2,165。θ+165。法二：根據(jù)定理：若X～N（α1， σ1），則Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于T～N（, 2）2233。5249。233。333230。5246。2249。5160160230。5246。~N234。180。,231。247。180。2=N234。,231。247。180。2 故 θ=T999232。9248。234。234。235。9235。9232。9248。33 故θ的概率密度為：230。333246。231。q247。9248。232。22y(q)=1e52p29230。5246。2180。231。247。180。2232。9248。=910e81(q37)2100,165。q+165。 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 1.[一] 在一箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只。考慮兩種試驗(yàn)：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量X，Y如下：,236。239。0,若第一次取出的是正品X=237。 239。238。1,若第一次取出的是次品o,236。239。0,若第二次取出的是正品Y=237。 239。238。1,若第二次取出的是次品o試分別就（1）（2）兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解：（1）放回抽樣情況由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或?qū)懗?01025 =1212361025 =1212362105 =121236221 =12123634 （2）不放回抽樣的情況 P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=或?qū)懗?0945 =12116610210 =12116621010 =121166211 =1211663.[二] 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示Y的聯(lián)合分布律。解：（X，Y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，聯(lián)合分布律為P {X=0, Y=2 }=22C2C24C7=1 356 35P {X=1, Y=1 }=112C3C2C24C7=35 121C3C2C24C722C3C24C7P {X=1, Y=2 }==6 35P {X=2, Y=0 }==3 3512 35P {X=2, Y=1 }=211C3C2C24C722C3C24C731C3C24C731C3C24C7=P {X=2, Y=2 }==3 352 352 35P {X=3, Y=0 }==P {X=3, Y=1 }==P {X=3, Y=2 }=0236。239。k(6xy),0x2,2y45.[三] 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）概率密度為f(x,y)=237。 239。0,其它238。（1）確定常數(shù)k。（3）求P (Xamp。lt。} （2）求P {Xamp。lt。1, Yamp。lt。3} （4）求P (X+Y≤4}分析：利用P {(X, Y)∈G}=242。242。f(x,y)dxdy=242。242。f(x,y)dxdy再化為累次積分，其中GG199。Do236。0x2,252。239。239。Do=237。(x,y)253。 2y4239。239。238。254。解：（1）∵1=242。242。+165。+165。165。165。f(x,y)dxdy=242。242。0212k(6xy)dydx，∴k=3 81 8（2）P(X1,Y3)=242。dx242。0213128(6xy)dy=（3）P(X163。)=P(X163。,Y165。)=（4）P(X+Y163。4)= (6xy)dy=2832412(6xy)dy= 00836．（1）求第1題中的隨機(jī)變量（X、Y242。dx242。4x36 （2）求第2題中的隨機(jī)變量（X、Y解：（1）① 放回抽樣（第1題）0 25536 36 1 513636邊緣分布律為 X 01Y Pi178。5166 P178。j56② 不放回抽樣（第1題）0 45 106666 11016666邊緣分布為 X 1Y Pi178。51566 P178。j6（2）（X，Y ）的聯(lián)合分布律如下解： X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律 X 0 123 Y 1 3Pi178。1 3 3 168888 P178。j 828 7．． 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y ）的概率密度為 x116 116 37 (2x)f(x,y)=237。239。238。0解：fX(x)=0163。x163。1,0163。y163。x其它求邊緣概率密度. 242。+165。165。(2x)dy=(2x)239。f(x,y)dy=237。0239。238。0242。0163。x163。1其它 fY(y)=242。+165。165。(2x)dx=(34y+y2)0163。y163。1f(x,y)dx=237。y239。其它238。08.[六] 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為y236。239。e,0xy求邊緣概率密度。 f(x,y)=237。239。238。0,其它.+165。解:fX(x)=242。165。236。+165。eydy=ex,x0239。f(x,y)dy=237。x239。x163。0238。0,242。fY(y)=242。+165。165。236。239。f(x,y)dx=237。239。238。242。y0eydx=yey,y0,0,y163。0, 22236。cxy,x163。y163。1239。10．[七] 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f(x,y)=237。239。0,其它238。（1）試確定常數(shù)c。（2）求邊緣概率密度。 解: l=242。242。165。+165。+165。165。f(x,y)dxdy=242。dy242。 1+yycxydx=c2242。1022421ydy=c222。c=32145212236。1212239。242。2xydy=x(1x4)