【正文】 (浙江大學)浙大第四版（高等教育出版社）第一章 概率論的基本概念 1.[一] 寫出下列隨機試驗的樣本空間（1）記錄一個小班一次數(shù)學考試的平均分數(shù)（充以百分制記分）（[一] 1）o1n180。100252。S=236。,LL253。，n表小班人數(shù) n254。238。nn（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（[一] 2）S={10，11，12，???，n，???}（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。 （[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運算關(guān)系表示下列事件。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為： A或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。1 表示為： AB或AB－ABC或AB－C表示為：A+B+C （3）A，B，C中至少有一個發(fā)生（4）A，B，C都發(fā)生， 表示為：ABC表示為：或S－ (A+B+C)或A200。B200。C （5）A，B，C都不發(fā)生， （6）A，B，C中不多于一個發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個同時不發(fā)生 相當于,中至少有一個發(fā)生。故 表示為：++。（7）A，B，C中不多于二個發(fā)生。 相當于：,中至少有一個發(fā)生。故 表示為：++或ABC（8）A，B，C中至少有二個發(fā)生。相當于：AB，BC，AC中至少有一個發(fā)生。故 表示為：AB+BC+AC6.[三] 設(shè)A，B是兩事件且P (A)=，P (B)=. 問(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = ，P (B) = ≠φ，（否則AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=+=amp。gt。1與P (A∪B)≤1矛盾）.從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)（1）從0≤P(AB)≤P(A)知，當AB=A，即A∩B時P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=，（2）從(*)式知，當A∪B=S時，P(AB)取最小值，最小值為P(AB)=+－1= 。7.[四] 設(shè)A，B，C是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=P(AC)=1. 求A，B，C至少有一個發(fā)生的概率。 81,P(AB)=P(BC)=0，42 解：P (A，B，C至少有一個發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)= 315+0= 4888.[五] 在一標準英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞”2∵ 從26個任選兩個來排列，排法有A26種。每種排法等可能。字典中的二個不同字母組成的單詞：55個∴ P(A)=5511 =2130A269. 在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0，1，2??9）記A表“后四個數(shù)全不同”∵ 后四個數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。4后四個數(shù)全不同的排法有A10∴ 4A10P(A)== 1010.[六] 在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀念章，任意選3人記錄其紀念章的號碼。（1）求最小的號碼為5的概率。記“三人紀念章的最小號碼為5”為事件A10246?！? 10人中任選3人為一組：選法有230。231。3247。種，且每種選法等可能。 232。248。5246。又事件A相當于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有1180。230。231。2247。 232。248。3 ∴ 5246。1180。230。231。2247。=1 P(A)=12230。10246。231。3247。232。248。（2）求最大的號碼為5的概率。10246。記“三人中最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有230。231。3247。種，且232。248。4246。每種選法等可能，又事件B相當于：有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有1180。230。231。2247。232。248。種4246。1180。230。231。2247。232。248。=1 P(B)=20230。10246。231。3247。232。248。11.[七] 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運中所標箋脫落，交貨人隨意將這些標箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為A。9在17桶中任取9桶的取法有C17種，且每種取法等可能。432180。C4180。C3取得4白3黑2紅的取法有C10故 432C180。C180。C252P(A)== 62431C1712.[八] 在1500個產(chǎn)品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。（1）求恰有90個次品的概率。記“恰有90個次品”為事件A1500246。∵ 在1500個產(chǎn)品中任取200個，取法有230。231。200247。種，每種取法等可能。 232。248。400246。230。1100246。200個產(chǎn)品恰有90個次品，取法有230。231。90247。231。110247。種 232。248。232。248。4 ∴ 230。400246。230。1100246。231。90247。231。110247。248。232。248。 P(A)=232。230。1500246。231。200247。232。248。（2）至少有2個次品的概率。記：A表“至少有2個次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個次品”，同上，200個產(chǎn)品不含次品，取法1100246。230。400246。230。1100246。有230。231。200247。種，200個產(chǎn)品含一個次品，取法有231。1247。231。199247。種 232。248。232。248。232。248?！? A=B0+B1且B0，B1互不相容?！? 233。230。1100246。230。400246。230。1100246。249。231。1247。231。199247。234。231。200247。232。248。248。232。248。 P(A)=1P()=1[P(B0)+P(B1)]=1234。+232。15001500230。246。230。246。234。231。247。231。200247。200234。248。232。248。235。232。13.[九] 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？ 記A表“4只全中至少有兩支配成一對” 則A表“4只人不配對”10246?！? 從10只中任取4只，取法有230。231。4247。種，每種取法等可能。 232。248。要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有230。5246。180。24 231。4247。232。248。\P()=4C5244C10=821813=2121 P(A)=1P()=115.[十一] 將三個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？記Ai表“杯中球的最大個數(shù)為i個” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能5 對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4179。3179。2種。(選排列：好比3個球在4個位置做排列)P(A1)=4180。3180。26 =16432180。4180。3種。 對A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C32(從3個球中選2個球，選法有C3，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。2C3180。4180。3P(A2)=43=9 16對A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，選法有4種)P(A3)=41 =316416.[十二] 50個鉚釘隨機地取來用在10個部件，其中有三個鉚釘強度太弱，每個部件用3只鉚釘，若將三只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱，問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？記A表“10個部件中有一個部件強度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機試驗E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個部件要分先后次序）3333180。C47180。C44LL180。C23對E：鉚法有C50種，每種裝法等可能3333180。C47180。C44LLC23對A：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有〔C3〕10種3333[C3180。C47180。C44LL180。C23]180。10333C50180。C47180。LL180。C23P(A)==1= 1960法二：用古典概率作6 把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計先后次序）3對E：鉚法有A50種，每種鉚法等可能對A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，?或“28，29，32732732732730”位置上。這種鉚法有A3種 180。A47+A3180。A47+LL+A3+A47=10180。A3180。A47P(A)=32710180。A3180。A4730A50=1= 196017.[十三] 已知P()=,P(B)=,P(A)=,求P(B|A200。)。解一：P(A)=1P()=,P()=1P(B)=,A=AS=A(B200。)=AB200。A注意(AB)(A)=f. 故有P (AB)=P (A)－P (A)=－=。再由加法定理，P (A∪)= P (A)+ P ()－P (A)=+－= 于是P(B|A200。)=P[B(A200。)]P(AB)=== (A200。)P(A200。)解二:P(A)=P(A)P(|A)190。由已知190。190。174。05=07P(|A)\P(|A)==222。P(B|A)=　故　P(AB)=P(A)P(B|A)=1P(BA200。B)P(BA)P(B|A200。)定義===(A200。)P(A)+P()P(A)+ 18.[十四] P(A)=111,P(B|A)=,P(A|B)=,求P(A200。B)。 4327 11180。定義P(AB)P(A)P(B|A)由已知條件143222。P(B)=1 =190。190。190。190。190。174。有=解：由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得P(AB)=P(A)P(B|A)=1 121111+= 46123由加法公式，得P(A200。B)=P(A)+P(B)P(AB)=19.[十五] 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點的概率（用兩種方法）。解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。擲兩顆骰子的試驗結(jié)果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}每種結(jié)果（x, y）等可能。A={擲二骰子，點數(shù)和為7時，其中有一顆為1點。故P(A)=21=} 63方法二：（用公式P(A|B)=P(AB) P(B)S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6。 y = 1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個為“1”點”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。則P(B)=612， =,P(AB)=2266622P(AB)21=== 故P(A|B)=P(B)163620.[十六] 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P{孩子得病}=，P (B