【導讀】步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m×n種方法來完成。稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。①每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。大寫字母A，B，C，?B=Ø，則表示A與B不可能同。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為A。3°對于兩兩互不相容的事件1A，2A，?常稱為可列（完全）可加性。基本事件總數(shù)所包含的基本事件數(shù)A?若隨機試驗的結果為無限不可數(shù)并且每個結果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，其中L為幾何度量。條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合于條件概率。更一般地，對事件A1，A2，?，則稱事件A、B是相互獨。Ø與任何事件都互斥。設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，兩兩互不相容，),,2,1(niBPi???AP，（已經(jīng)知道結果求原因。，n），通常叫先驗概率。，n），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“

　　

【正文】 為來自正態(tài)總體 ),( 22??N 的一個樣本，則樣本函數(shù) ),1,1(~// 2122222121 ?? nnFSSF de f ?? 其中 ,)(11 21121 1?? ??? ni i xxnS 。)(11 21222 2?? ??? ni i yynS )1,1( 21 ?? nnF 表示第一自由度為 11?n ，第二自由度為12?n 的 F 分布。 （ 3）正態(tài)總體下分布的性質 X 與 2S 獨立。 第七章 參數(shù)估計 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 （ 1）點估計 矩估計 設總體 X 的分布中包含有未知數(shù)m??? , 21 ? ，則其分布函數(shù)可以表成).,。( 21 mxF ??? ? 它的 k 階原點矩 ),2,1)(( mkXEv kk ??? 中也包含了未知參數(shù) m??? , 21 ? ，即 ),( 21 mkk vv ??? ?? 。又設nxxx , 21 ? 為總體 X 的 n 個樣本值，其樣本的 k 階原點矩為 ??ni kixn 11 ).,2,1( mk ?? 這樣，我們按照“當參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩”的原則建立方程，即有 ?????????????????????????????????nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(????????????????????? 由上面的 m 個方程中，解出的 m 個未知參數(shù) ),( 21 ??? m??? ? 即為參數(shù)（ m??? , 21 ? ）的矩估計量。 若 ?? 為 ? 的矩估計， )(xg 為連續(xù)函數(shù)，則 )?(?g 為 )(?g 的矩估計。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 極大似然估計 當總體 X 為連續(xù)型隨機變量時，設其分布密度為),。( 21 mxf ??? ? ，其中 m??? , 21 ? 為未知參數(shù)。又設nxxx , 21 ? 為總體的一個樣本，稱 ),。(),( 1 11 22 ??? ni mim xfL ?????? ?? 為樣本的似然函數(shù)，簡記為 Ln. 當總體 X 為 離 型 隨 機 變 量 時 ， 設 其 分 布 律 為),。(}{ 21 mxpxXP ??? ??? ，則稱 ),。(),。,( 1 111 222 ??? ni mimn xpxxxL ?????? ??? 為樣本的似然函數(shù)。 若似然函數(shù) ),。,(22 11 mnxxxL ??? ??在 m??? ??? , 21 ? 處取到最大值，則稱 m??? ??? , 21 ? 分別為 m??? ,21 ?的最大似 然估計值，相應的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。 miLiiin ,2,1,0ln ?????????? 若 ?? 為 ? 的極大似然估計， )(xg 為單調函數(shù)，則 )?(?g 為 )(?g 的極大似然估計。 （ 2）估計量的評選標準 無偏性 設 ),( 21 nxxx ??? ??? 為未知參數(shù) ? 的估計量。若 E （ ?? ） =? ，則稱 ?? 為 ? 的無偏估計量。 E（ X ） =E（ X）， E（ S2） =D（ X） 有效性 設 ),( 2111 nxxx ??? ? ?? 和 ),( 2122 nxxx ??? ? ?? 是未知參數(shù) ?的兩個無偏估計量。若 )()( 21 ?? ? ?? DD ，則稱 21 ?? ??比 有效。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 一致性 設 n?? 是 ? 的一串估計量，如果對于任意的正數(shù) ? ，都有 ,0)|(|lim ?????? ??? nn P 則稱 n?? 為 ? 的一致估計量（或相合估計量）。 若 ?? 為 ? 的無偏估計，且 ),(0)?( ??? nD ? 則 ?? 為 ? 的一致估計。 只要總體的 E(X)和 D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應總體的一致估計量。 （ 3）區(qū)間估計 置信區(qū)間和置信度 設總體 X含有一個待估的未知參數(shù) ? 。如果我們從樣本 nxxx , 21 ? 出發(fā) ， 找 出 兩 個 統(tǒng) 計 量 ),( 2111 nxxx ??? ? 與),( 2122 nxxx ??? ? )( 21 ?? ? ，使得區(qū)間 ],[ 21?? 以)10(1 ??? ?? 的概率包含這個待估參數(shù) ? ，即 ,1}{ 21 ???? ????P 那么稱區(qū)間 ],[ 21?? 為 ? 的置信區(qū)間， ??1 為該區(qū)間的置信度（或置信水平）。 單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估計 設 nxxx , 21 ? 為總體 ),(~ 2??NX 的一個樣本，在置信度為 ??1下，我們來確定 2??和 的置信區(qū)間 ],[ 21?? 。具體步驟如下： （ i）選擇樣本函數(shù)； （ ii）由置信度 ??1 ，查表找分位數(shù)； （ iii）導出 置信區(qū)間 ],[ 21?? 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 已知方差，估計均值 （ i） 選擇樣本函數(shù) ).1,0(~/0Nnxu ? ??? (ii) 查表找分位數(shù) .1/0??? ?? ?????????? ???? nxP （ iii）導出置信區(qū)間 ?????? ?? nxnx 00 , ???? 未知方差，估計均值 （ i）選擇樣本函數(shù) ).1(~/ ??? ntnSxt ? (ii)查表找分位數(shù) .1/ ???? ?????????? ????nSxP （ iii）導出置信區(qū)間 ?????? ?? nSxnSx ?? , 方差的區(qū)間估計 （ i）選擇樣本函數(shù) ).1(~)1( 22 2 ??? nSnw ?? （ ii）查表找分位數(shù) .1)1(2221 ???? ?????????? ??? SnP （ iii）導出 ? 的置信區(qū)間 ?????? ?? SnSn 12 1,1 ?? 第八章 假設檢驗 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 基本思想 假設檢驗的統(tǒng)計思想是，概率很小的事件在一次試驗中可以認為基本上是不會發(fā)生的，即小概率原理。 為了檢驗一個假設 H0是否成立。我們先假定 H0是成立的。如果根據(jù)這個假定導致了一 個不合理的事件發(fā)生，那就表明原來的假定 H0是不正確的，我們拒絕接受 H0；如果由此沒有導出不合理的現(xiàn)象，則不能拒絕接受 H0，我們稱 H0是相容的。與 H0相對的假設稱為備擇假設，用 H1表示。 這里所說的小概率事件就是事件 }{ ?RK? ，其概率就是檢驗水平α，通常我們取α =，有時也取 或 。 基本步驟 假設檢驗的基本步驟如下： (i) 提出零假設 H0； (ii) 選擇統(tǒng)計量 K； (iii) 對于檢驗水平α查表找分位數(shù)λ； (iv) 由樣本值 nxxx , 21 ? 計算統(tǒng)計量之 值 K； 將 ?與?K 進行比較，作出判斷：當 )(|| ?? ?? ?? KK 或 時否定 H0，否則認為 H0相容。 兩類錯誤 第一類錯誤 當 H0 為真時，而樣本值卻落入了否定域，按照我們規(guī)定的檢驗法則，應當否定 H0。這時，我們把客觀上 H0 成立判為H0 為不成立（即否定了真實的假設），稱這種錯誤為“以真當假”的錯誤或第一類錯誤，記 ? 為犯此類錯誤的概率，即 P{否定 H0|H0為真 }=? ； 此處的α恰好為檢驗水平。 第二類錯誤 當 H1 為真時，而樣本值卻落入了相容域，按照我們規(guī)定的檢驗法則，應當接受 H0。這時，我們把客觀上 H0。不成立判為 H0成立（即接受了不真實的假設），稱這種錯誤為“以假當真”的錯誤或第二類錯誤，記 ? 為犯此類錯誤的概率，即 P{接受 H0|H1為真 }=? 。 兩類錯誤的關系 人們當然希望犯兩類錯誤的概率同時都很小。但是，當容量 n 一定時， ? 變 小，則 ? 變大；相反地， ? 變小，則 ?變大。取定 ? 要想使 ? 變小，則必須增加樣本容量。 在實際使用時，通常人們只能控制犯第一類錯誤的概率，即給定顯著性水平α。α大小的選取應根據(jù)實際情況而定。當我們寧可“以假為真”、而不愿“以真當假”時，則應把α取得很小，如 ，甚至 。反之，則應把α取得大些。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 單正態(tài)總體均值和方差的假設檢驗 條件 零假設 統(tǒng)計量 對應樣本 函數(shù)分布 否定域 已知 2? 00 : ???H nxU /0 0? ??? N（ 0， 1） 21|| ???uu 00 : ???H ??? 1uu 00 : ???H ???? 1uu 未知 2? 00 : ???H nSxT / 0??? )1( ?nt )1(|| 21 ?? ? ntt ? 00 : ???H )1(1 ?? ? ntt ? 00 : ???H )1(1 ??? ? ntt ? 未知 2? 220 : ?? ?H 202)1(? Snw ?? )1(2 ?n? )1()1(22122????? nwnw???? 或 2020 : ?? ?H )1(21 ?? ? nw ?? 2020 : ?? ?H )1(2 ?? nw ??