概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點總復習-資料下載頁
2025-01-14 17:11本頁面
【正文】 X）=σ2，則對于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式 切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計，它在理論上有重要意義。大數(shù)定律（1）切比雪夫大數(shù)定律（要求方差有界）設隨機變量X1，X2，…相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）C(i=1,2,…),則對于任意的正數(shù)ε，有 特殊情形：若X1，X2，…具有相同的數(shù)學期望E（XI）=μ，則上式成為或者簡寫成：切比雪夫大數(shù)定律指出，n個相互獨立，且具有有限的相同的數(shù)學期望與方差的隨機變量，當n很大時，它們的算術平均以很大的概率接近它們的數(shù)學期望。（2）伯努利大數(shù)定律設μ是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)ε，有 伯努利大數(shù)定律說明，當試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴格的數(shù)學形式描述了頻率的穩(wěn)定性。（3）辛欽大數(shù)定律（不要求存在方差） 設X1，X2，…，Xn，…是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E（Xn）=μ，則對于任意的正數(shù)ε有中心極限定理（1）列維－林德伯格定理設隨機變量X1，X2，…相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學期望和方差：，則隨機變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)x，有或者簡寫成：此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。（2）棣莫弗－拉普拉斯定理 設隨機變量X1，…Xn均為具有參數(shù)n, p(0p1)的二項分布，則對于任意實數(shù)x,有例5．3：某車間有200臺車床，在生產(chǎn)時間內(nèi)由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置、調(diào)換工件等常需停車。，并設每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1Kw，問應供應該車間多少瓦電力，%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第一節(jié) 基本概念總體、個體和樣本（1）總體與樣本總體 在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標的全體稱為總體（或母體）；而把總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。在以后的討論中，我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量（或隨機向量）。 例如單正態(tài)總體X，用來表示 我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。為了使抽取的樣本很好地反映總體地信息，最常用的方法是“簡單隨機抽樣”：（1）代表性。即每一樣品Xi與總體X同分布；（2）獨立性。即樣品抽取互相間不影響。此時的樣本是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。注意：在泛指任一次抽取的結果時，表示n個隨機變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。（2）樣本函數(shù)與統(tǒng)計量設為總體的一個樣本，稱 （）為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（）為一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量（1）常用統(tǒng)計量樣本均值 樣本方差 （與概率論中的方差定義不同）樣本標準差 樣本k階原點矩 樣本k階中心矩 （二階中心矩與概率論中的方差定義相同）（2）統(tǒng)計量的期望和方差，，,其中，為二階中心矩。三個抽樣分布（χt、F分布）（1）χ2分布設n個隨機變量相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明：它們的平方和的分布密度為我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布，記為W～(n)，其中所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。 分布滿足可加性：設則注意兩個結果：E(χ2)=n，D(χ2)=2n（2）t分布設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明：函數(shù)的概率密度為 我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為T～t(n)。注意兩個結果：E(T)=0，D(T)=(n2)（3）F分布設，且X與Y獨立，可以證明：的概率密度函數(shù)為我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為F～f(n1, n2).正態(tài)分布，正態(tài)總體下統(tǒng)計量的分布和性質(zhì)注意一個定理：與獨立。（1）正態(tài)分布 設為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)（2）t分布 設為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中t(n1)表示自由度為n1的t分布。（3） 分布 設為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中表示自由度為n1的分布。（4）F分布 設為來自正態(tài)總體的一個樣本，而為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中 表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。第七章 參數(shù)估計第一節(jié) 基本概念點估計的兩種方法（1）矩法所謂矩法就是利用樣本各階原點矩與相應的總體矩，來建立估計量應滿足的方程，從而求得未知參數(shù)估計量的方法。 設總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成顯示它的k階原點矩中也包含了未知參數(shù)，即。又設為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為 這樣，我們按照“當參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩估計量。20
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