【正文】 個事件，如果滿足兩兩獨立的條件， P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A) 并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、 B、 C 相互獨立。 ?ni iBA 1?? ， （ 分類討論的 則有 )|()()|()()|()()( 2211 nn BAPBPBAPBPBAPBPAP ???? ?。 此公式即為貝葉斯公式。 （ 17）伯努利概型 我們作了 n 次試驗，且滿足 ? 每次試驗只有兩種可能結果， A 發(fā)生或 A 不發(fā)生； ? n 次試驗是重復進行的，即 A 發(fā)生的概率每次均一樣； ? 每次試驗是獨立的，即每次試驗 A 發(fā)生與否與其他次試驗 A發(fā)生與否是互不影響的。有時也用分布列的形式給出： ?? ?? , ,|)( 2121kkk ppp xxxxXP X? 。 密度函數(shù)具有下面 4 個性質： 1176。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 （ 3）離散與連續(xù)型隨機變量的關系 dxxfdxxXxPxXP )()()( ?????? 積分元 dxxf )( 在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與 kk pxXP ?? )(在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。 分布函數(shù)具有如下性質： 1176。 )()0( xFxF ?? ，即 )(xF 是右連續(xù)的； 5176。事件 A發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設為 X ，則 X 可能取值為n,2,1,0 ? 。 泊松分布 設隨機變量 X 的分布律為 ?? ??? ekkXP k!)( ， 0?? ， ?2,1,0?k ， 則稱隨機變量 X 服從參數(shù)為 ? 的泊松分布，記為)(~ ??X 或者 P(? )。 隨機變量 X服從參數(shù)為 p的幾何分布，記為 G(p)。 X 的分布函數(shù)為 記住積分公式： !0ndxex xn ???? ? 0， xa， ,ab ax?? a≤ x≤ b 1， xb。 )(xf 的圖形是關于 ??x 對稱的； 2176。 Φ( x)＝ 1Φ(x) 且 Φ( 0)＝21。 （ 7）函數(shù)分布 離散型 已知 X 的分布列為 ?? ?? , ,)( 2121nni pppxxxxXP X? ， )(XgY? 的分布列（ )( ii xgy ? 互不相等）如下： ????,),(,),(),()( 2121nni pppxgxgxgyYPY?， 若有某些 )(ixg 相等，則應將對應的 ip 相加作為 )(ixg 的概率。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： Y X y1 y2 ? yj ? x1 p11 p12 ? p1j ? x2 p21 p22 ? p2j ? ? ? ? ? ? xi pi1 ? ijp ? ? ? ? ? ? 這里 pij具有下面兩個性質： （ 1） pij≥ 0（ i,j=1,2,?）； （ 2） .1???iji j p 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 連續(xù)型 對于二維隨機向量),( YX?? ，如果存在非負函數(shù)),)(,( ???????????? yxyxf ，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域 D，即 D={(X,Y)|axb,cyd}有 ???? D dx dyyxfDYXP ,),(}),{( 則稱 ? 為連續(xù)型隨機向量；并稱 f(x,y)為 ? =（ X， Y）的分布密度或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合分布密度。分布函數(shù) F(x,y)具有以下的基本性質： （ 1） 。0,(),(),0(),( ???? yxFyxFyxFyxF （ 4） .1),(,0),(),(),( ???????????????? FxFyFF （ 5）對于 ， 2121 yyxx ?? 0)()()()( 11211222 ???? yxFyxFyxFyxF ， . （ 4）離散型與連續(xù)型的關系 d x d yyxfdyyYydxxXxPyYxXP )()()( ， ?????????? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 （ 5）邊緣分布 離散型 X 的邊緣分布為 ),2,1,()( ????? ?? jipxXPP ijjii ； Y 的邊緣分布為 ),2,1,()( ????? ?? jipyYPP ijijj 。 （ 8）二維均勻分布 設隨機向量（ X， Y）的分布密度函數(shù)為 ??????? ??其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD為區(qū)域 D 的面積，則稱（ X， Y）服從 D 上的均勻分布，記為（ X， Y）～U（ D）。 n 個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。 （ 2）期望的性質 （ 1） E(C)=C （ 2） E(CX)=CE(X) （ 3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， ? ?? ??nini iiii XECXCE 1 1 )()( （ 4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件： X 和 Y 獨立； 充要條件： X 和 Y 不相關。 Y)=D(X)+D(Y) 177。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 相關系數(shù) 對于隨機變量 X 與 Y，如果 D（ X） 0, D(Y)0，則稱 )()( YDXD XY? 為 X 與 Y 的相關系數(shù)，記作 XY? （有時可簡記為 ? ）。 ④ D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 (iv) cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y). （ 7）獨立和不相關 （ i） 若隨機變量 X 與 Y 相互獨立，則 0?XY? ；反之不真。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 棣莫弗－拉普拉斯定理 設隨機變量 nX 為具有參數(shù) n, p(0p1)的二項分布，則對于任意實數(shù) x,有 ? ?? ??? ??????????? ???? x tnn dtexpnp npXP .21)1(l i m 22? （ 3）二項定理 若當),(, 不變時 knpNMN ??? ，則 knkknnNkn MNkM ppCCCC ??? ?? )1( ).( ??N 超幾何分布的極限分布為二項分布。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量（或隨機向量）。在一般情況下，總是把樣本看成是 n 個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。如果 ? 中不包含任何未知參數(shù)，則稱 ? （ nxxx , 21 ? ）為一個統(tǒng)計量。 F 分布 設nxxx , 21 ? 為來自正態(tài)總體 ),( 21??N 的一個樣本，而nyyy , 21 ? 為來自正態(tài)總體 ),( 22??N 的一個樣本，則樣本函數(shù) ),1,1(~// 2122222121 ?? nnFSSF de f ?? 其中 ,)(11 21121 1?? ??? ni i xxnS 。( 21 mxF ??? ? 它的 k 階原點矩 ),2,1)(( mkXEv kk ??? 中也包含了未知參數(shù) m??? , 21 ? ，即 ),( 21 mkk vv ??? ?? 。( 21 mxf ??? ? ，其中 m??? , 21 ? 為未知參數(shù)。(),。 miLiiin ,2,1,0ln ?????????? 若 ?? 為 ? 的極大似然估計， )(xg 為單調函數(shù)，則 )?(?g 為 )(?g 的極大似然估計。若 )()( 21 ?? ? ?? DD ，則稱 21 ?? ??比 有效。 （ 3）區(qū)間估計 置信區(qū)間和置信度 設總體 X含有一個待估的未知參數(shù) ? 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 已知方差，估計均值 （ i） 選擇樣本函數(shù) ).1,0(~/0Nnxu ? ??? (ii) 查表找分位數(shù) .1/0??? ?? ?????????? ???? nxP （ iii）導出置信區(qū)間 ?????? ?? nxnx 00 , ???? 未知方差，估計均值 （ i）選擇樣本函數(shù) ).1(~/ ??? ntnSxt ? (ii)查表找分位數(shù) .1/ ???? ?????????? ????nSxP （ iii）導出置信區(qū)間 ?????? ?? nSxnSx ?? , 方差的區(qū)間估計 （ i）選擇樣本函數(shù) ).1(~)1( 22 2 ??? nSnw ?? （ ii）查表找分位數(shù) .1)1(2221 ???? ?????????? ??? SnP （ iii）導出 ? 的置信區(qū)間 ?????? ?? SnSn 12 1,1 ?? 第八章 假設檢驗 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 公式（全） 知識點總結 1 基本思想 假設檢驗的統(tǒng)計思想是，概率很小的事件在一次試驗中可以認為基本上是不會發(fā)生的，即小概率原理。與 H0相對的假設稱為備擇假設，用 H1表示。這時，我們把客觀上 H0 成立判為H0 為不成立（即否定了真實的假設），稱這種錯誤為“以真當假”的錯誤或第一類錯誤，記 ? 為犯此類錯誤的概率，即 P{否定 H0|H0為真 }=? ； 此處的α恰好為檢驗水平。 兩類錯誤的關系 人們當然希望犯兩類錯誤的概率同時都很小。α大小的選取應根據實際情況而定