新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)知識點歸納總結(jié)新-資料下載頁
2024-12-17 11:25本頁面
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【正文】 c o s 2 )21s in (1 c o s 2 )2??????????? ??? 2tan1 tan22tan ??. sin 2 1 c o s 2ta n 1 c o s 2 sin 2??? ???? 167。 、簡單的三角恒等變換 注意 正切化弦、平方降次 . 輔助角公式 )s in (c o ss in 22 ?????? xbaxbxay （ 其中 輔助角 ? 所在象限由點 (, )ab 的象限決定 , tan ba?? ). 第二章：平面向量 167。 、向量的物理背景與概念 了解四種常見向量： 力、位移、速度、加速度 . 既有大小又有方向的量叫做 向量 . 167。 、向量的幾何表示 帶有方向的線段叫做 有向線段 ，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度 . 向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的長度（或稱模 ），記作 AB ； 長度為零的向量叫做 零向量 ；長度等于 1個單位的向量叫做 單位向量 . 方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共線向量） .規(guī)定：零向量與任意向量平行 . 167。 、相等向量與共線向量 長度相等且方向相同的向量叫做 相等向量 . 167。 、向量加法運算及其幾何意義 三角形加法法則 和 平行四邊形加法法則 . ba? ≤ ba? . 167。 、向量減法運算及其幾何意義 與 a 長度相等方向相反的向量叫做 a 的 相反向量 . 三角形減法法則 和 平行四邊形減法法則 . 167。 、向量數(shù)乘運算及其幾何意義 規(guī)定：實數(shù) ? 與向量 a 的積是一個向量，這種運算叫做 向量的數(shù)乘 .記作： a? ，它的長度和方向規(guī)定如下： ⑴ aa ?? ? , ⑵當(dāng) 0?? 時 , a? 的方向與 a 的方向相同；當(dāng)0?? 時 , a? 的方向與 a 的方向相反 . 平面向量共線定理 ：向量 ? ?0?aa 與 b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù) ? ，使 ab ?? . 167。 、平面向量基本定理 平面向量基本定理 ：如果 21,ee 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量 a ，有且只有一對實數(shù) 21,?? ，使 2211 eea ?? ?? . 167。 、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 ? ?yxjyixa ,??? . 167。 、平面向量的坐 標(biāo)運算 設(shè) ? ? ? ?2211 , yxbyxa ?? ，則： ⑴ ? ?2121 , yyxxba ???? ， ⑵ ? ?2121 , yyxxba ???? ， ⑶ ? ?11, yxa ??? ? ， ⑷ 1221// yxyxba ?? . 3 設(shè) ? ? ? ?2211 , yxByxA ，則： ? ?1212 , yyxxAB ??? . 167。 、平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè) ? ? ? ? ? ?332211 ,, yxCyxByxA ，則 ⑴線段 AB中點坐標(biāo)為 ? ?22 2121 , yyxx ?? ， ⑵△ ABC的重心坐標(biāo)為 ? ?33 321321 , yyyxxx ???? . 167。 、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 ?cosbaba ?? . a 在 b 方向上的投影為： ?cosa . 22 aa ? . 2aa? . 0???? baba . 167。 、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 設(shè) ? ? ? ?2211 , yxbyxa ?? ，則： ⑴ 2121 yyxxba ??? ⑵ 2121 yxa ?? ⑶ 1 2 1 200a b a b x x y y? ? ? ? ? ? ? ⑷ 1 2 2 1/ / 0a b a b x y x y?? ? ? ? ? 設(shè) ? ? ? ?2211 , yxByxA ，則： ? ? ? ?212212 yyxxAB ???? . 兩向量的夾角公式 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2c o sx x y yabab x y x y?????? ? ? 點的平移公式 平移前的點為 ( , )Pxy （原坐標(biāo)），平移后的對應(yīng)點為 ( , )P x y? ? ? （新坐標(biāo)），平移向量為 ( , )PP h k?? ， 則.x x hy y k????? ???? 函數(shù) ()y f x? 的圖像按向量 ( , )a hk? 平移后的圖像的解析式為 ( ).y k f x h? ? ? 167。 、平面幾何中的向量方法 167。 、向量在物理中的應(yīng)用舉例 知識鏈接：空間向量 空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得 .下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進行總結(jié)歸納 . 直線的方向向量和平面的法向量 ⑴． 直線的方向向量： 若 A、 B是直線 l 上的任意兩點，則 AB 為直線 l 的一個方向向量；與 AB 平行的任意非零向量也是直線 l的方向向量 . ⑵． 平面的法向量： 若向量 n 所在直線垂直于平面 ? ，則稱這個向量垂直于平面 ? ，記作 n ?? ，如果 n ?? ， 那么向量 n叫做平面 ? 的法向量 . ⑶． 平面的法向量的求法（ 待定系數(shù)法 ） ： ① 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系． ② 設(shè)平面 ? 的法向量為 ( , , )n x y z ． ③ 求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo)1 2 3 1 2 3( , , ) , ( , , )a a a a b b b b??． ④ 根據(jù)法向量定義建立方程組 00nanb? ????????. ⑤ 解方程組，取其中一 組 解，即得平面 ? 的法向量 . （如圖） 4 用向量方法判定空間中的平行關(guān)系 ⑴ 線線平行 設(shè)直線 12,ll的方向向量分別是 ab、 ，則要證明 1l ∥2l ，只需證明 a ∥ b ，即 ()a kb k R??. 即：兩直線平行或重合 兩直線的方向向量共線。 ⑵ 線面平行 ①（法一）設(shè)直線 l 的方向向量是 a ，平面 ? 的法向量是 u ，則要證明 l ∥ ? ，只需證明 au? ，即 0au?? . 即：直線與平面平行 直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外 ②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可 . ⑶ 面面平行 若平面 ? 的法向量為 u ，平面 ? 的法向量為 v ，要證 ? ∥ ? ，只需證 u ∥ v ，即證 uv?? . 即：兩平面平行或重合 兩平面的法向量共線。 用向量方法判定空間的垂直關(guān)系 ⑴ 線線 垂直 設(shè)直線 12,ll的方向向量分別是 ab、 ，則要證明12ll? ，只需證明 ab? ，即 0ab?? . 即：兩直線垂直 兩直線的方向向量垂直。 ⑵ 線面垂直 ①（法一）設(shè)直線 l 的方向向量是 a ，平面 ? 的法向量是 u ，則要 證明 l ?? ，只需證明 a ∥ u ，即 au?? . ②（法二）設(shè)直線 l 的方向向量是 a ，平面 ? 內(nèi)的兩個相交向量分別為 mn、 ，若 0 ,.0am lan ?? ??? ?????? 則 即：直線與平面垂直 直線的方向向量與平面的法向量共線 直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。 ⑶ 面面垂直 若平面 ? 的法向量為 u ，平面 ? 的法向量為 v ，要證 ??? ，只需證 uv? ，即證 0uv?? . 即：兩平面垂直 兩平面的法向量垂直。 利用向量求空間角 ⑴ 求異面直線所成的角 已知 ,ab為兩異面直線， A， C 與 B， D分別是 ,ab上的任意兩點， ,ab所成的角為 ? ， 則 cos .AC BDAC BD??? ⑵ 求直線和平面所成的角 ① 定義： 平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角 奎屯王新敞 新疆 ②求法： 設(shè)直線 l 的方向向量為 a ，平面 ? 的法向量為 u ，直線與平面所成的角為 ? ， a 與 u 的夾角為 ? ， 則 ? 為 ? 的余角或 ? 的補角 的余角 .即有： c o ss .in auau?? ??? ⑶ 求二面角 ① 定義： 平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面 奎屯王新敞 新疆 二面角的平面角是指在二面角 ?? ??l 的棱上任取一點 O ，分別在兩個半平面內(nèi)作射線lBOlAO ?? , ，則 AOB? 為二面角 ?? ??l 的平面角 . 如圖：
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