小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論作業(yè)答案大全-資料下載頁
2024-11-19 01:29本頁面
【正文】 概念、步驟、運用。它包括數(shù)學(xué)素養(yǎng)，把數(shù)學(xué)看做一種強有力的審視情境的方式。素養(yǎng)不僅指態(tài)度，而且指具有思考的傾向和積極的行動方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)體現(xiàn)在他們是否能夠自信地接近目標，樂于探索，具有意志力和興趣，以及能否有反映他們自己思維的傾向性等幾方面?！保绹鴶?shù)學(xué)教師國家委員會.第五篇：小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論167。167。4具有某些特性的函數(shù)Ⅰ.教學(xué)目的與要求、單調(diào)性、奇偶性、單調(diào)性、奇偶性、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的圖形特征，并加以合理地應(yīng)用.Ⅱ.教學(xué)重點與難點:重點: 有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、: 有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇（偶）函數(shù)、周期函數(shù)的概念.Ⅲ.講授內(nèi)容一有界函數(shù)定義1設(shè)f為定義在D上的函數(shù)．若存在數(shù)M(L)，使得對每一個x206。D有f(x)163。M(f(x)179。L)，則稱f為D上的有上(下)界函數(shù)，M(L)稱為f在D上的一個上(下)界．根據(jù)定義，f在D上有上(下)界，意味著值域f(D)是一個有上(下)界的數(shù)集．又若M(L)為f在D上的上(下)界，則任何大于(小于)M(L)的數(shù)也是f在D上的上(下)界．定義2 設(shè)f為定義在D上的函數(shù)．若存在正數(shù)M，使得對每一個x206。D有f(x)163。M，(1)則稱f為D上的有界函數(shù)．根據(jù)定義，f在D上有界，意味著值域f(D)是一個有界集．又按定義不難驗證： f在D上有界的充要條件是f在D上既有上界又有下界．(1)式的幾何意義是：若f為D上的有界函數(shù)，則f的圖象完全落在直線y=M與y=M之間．例如，正弦函數(shù)sinx和余弦函數(shù)cosx為R上的有界函數(shù)，因為對每一個x206。r都有sinx163。1和cosx163。、無下界或無界的定義，．例如，設(shè)f為定義在D上的函數(shù)，若對任何M(無論M多大)，都存在x206。D，使得f(x0)M，則稱f為D上的無上界函數(shù)．167。例1 證明f(x)=1x為(0,1]+1證 對任何正數(shù)M，取(0,1]上一點x0=f(x0)=1x0，則有=M+1，f為(0,1]上的無上界函數(shù)．前面已經(jīng)指出，f在其定義域D上有上界，是指值域f(D)為有上界的數(shù)集．于是由確界原理，數(shù)集f(D)有上確界．通常，我們把f(D)的上確界記為supf(x)，并稱之為f在x206。DD上的上確界．類似地，若f在其定義域D上有下界，則f在D上的下確界記為inff(x)．x206。D例2 設(shè)f，：(i)inff(x)+infg(x)163。inf{f(x)+g(x)} ；x206。Dx206。Dx206。D(ii)sup{f(x)+g(x)}163。supf(x)+supg(x)．x206。Dx206。Dx206。D證(i)對任何x206。D有inff(x)163。f(x),infg(x)163。g(x)222。inff(x)+infg(x)163。f(x)+g(x)．x206。Dx206。Dx206。Dx206。d上式表明，數(shù)inff(x)+infg(x)是函數(shù)f+g在D上的一個下界，從而x206。Dx206。Dinff(x)+infg(x)163。inf{f(x)+g(x)}．x206。Dx206。Dx206。D(ii)可類似地證明(略)．注例2中的兩個不等式，其嚴格的不等號有可能成立．例如，設(shè)f(x)=x,g(x)=x,x206。[1,1]，則有inff(x)=infg(x)=1,supf(x)=supg(x)=1,而|x|163。1|x|163。1|x|163。1|x|163。1inf{f(x)+g(x)}=sup{f(x)+g(x)}=0.|x|163。1|x|163。1二單調(diào)函數(shù)定義3 設(shè)f為定義在D上的函數(shù)．若對任何x1,x2206。D,當x1x2時，總 有（i）f(x1)163。f(x2),則稱f為D上的增函數(shù)，特別當成立嚴格不等式f(x1)f(x2)時，稱f為D上的嚴格增函數(shù)；167。(ii)f(x1)179。f(x2)，則稱f為D上的減函數(shù)，特別當成立嚴格不等式f(x1)f(x2)時，稱f為D上的嚴格減函數(shù)；增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴格增函數(shù)和嚴格減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴格單調(diào)函數(shù)．例3 函數(shù)y=x3在R上是嚴格增的．因為對任何，x1,x2206。R,當x1x2時總有x2x1=(x2x1)[(x2+x12)+234x1]0，即x1例4 函數(shù)y=[x]在R上是增的．因為對任何x1x2206。R，當x1x2時,顯然有[x1]163。 [x2]．但R上不是嚴格增的，若取x1=0,x2=12，則有[x1]=[x2]=0，即定義中所要求的嚴格不等式不成立．此函數(shù)的圖象如圖1—3所示．嚴格單調(diào)函數(shù)的圖象與任一平行于x軸的直 線至多有一個交點，這一特性保證了它必定具有反 函數(shù)．定理1．2設(shè)y=f(x),x206。D為嚴格增(減)函數(shù)，則f必有反函數(shù)f定義域f(D)上也是嚴格增(減)函數(shù)．證設(shè)f在D上嚴格增．對任一y206。f(D)，有x206。D使f(x)=y．下面證明這樣的x只能有一個．事實上，對于D內(nèi)任一x1185。x，由f在D上的嚴格增性，當x1x2時f(x1)y，當x1x時有f(x1)y，總之f(x1)185。y．這就說明，對每一個y206。f(D)，1，且f1在其都只存在唯一的一個x206。D，使得f(x)=y，從而函數(shù)f存在反函數(shù)x=fy206。f(D)．1(y)，現(xiàn)證f1也是嚴格增的．任取y1,y2206。f(D)，y1y2設(shè)x1=f1(y1),x2=f1(y2)，則y1=f(x1),y2=f(x2)．由y1y2及f的嚴格增性，顯然有x1x2，即f1(y1)f1(y2)．所以反函數(shù)f21是嚴格增的．例5 函數(shù)y=x在[—165。，0)上是嚴格減的，有反函數(shù)(按習(xí)慣記法)y=x，x206。(0,+165。)。y=x在（0，+165。)上是嚴格增的，有反函數(shù)y=2x,x206。[0，+165。)。但y=x在2167。整個定義域R上不是單調(diào)的，也不存在反函數(shù)．上節(jié)中我們給出了實指數(shù)冪的定義，從而將指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,a185。1)的定義域拓廣到整個實數(shù)集R．下面證明指數(shù)函數(shù)在R上的嚴格單調(diào)性．例6 證明：，y=ax當a1時在R上嚴格增；當0證設(shè)a1．給定x1,x2206。R,x1，可取到有理數(shù)r1,r2，使x1r1r2x2，故有ax1=x sup{ar|r為有理數(shù)}163。arar2163。sup{ar|r為有理數(shù)}=ax2，1rx1rx2這就證明了a當0a1時在R上嚴格遞增．注由例6及定理1．2還可得出結(jié)論：對數(shù)函數(shù)y=log嚴格遞增，當0三奇函數(shù)和偶函數(shù)定義4設(shè)D為對稱于原點的數(shù)集，f為定義在D上的函數(shù)．若對每一個x206。D，有f(x)=f(x)(f(x)=f(x))，ax當a1時在(0，+165。)上則稱f為D上的奇(偶)函數(shù)．從函數(shù)圖形上看，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象則關(guān)于y軸對稱．例如，正弦函數(shù)y=sinx和正切函數(shù)y=tanx工是奇函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，符號函數(shù)y=sgnx是奇函數(shù)(見圖1—1)．而函數(shù)f(x)= sinx+cosx既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，因若取x0=p4，則f(x0)=2，f(x0)=0，顯然既不成立f(x0)=f(x0)，也不成立f(x0)=f(x0)．四周期函數(shù)設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)．若存在s0，使得對一切x206。D有f(x177。s)=f(x)，則稱f為周期函數(shù)，s稱為f的一個周期．顯然，若s為f的周期，則ns(n為正整數(shù))也是f的周期．若在周期函數(shù)f的所有周期中有一個最小的周期，則稱此最小周期為f的基本周期，或簡稱周期．167。例如，sinx的周期為2p，tanx的周期為p．函數(shù) f(x)=x[x],x206。R的周期為1(見圖1—4)． 常量函數(shù)f(x)=c 是以任何正數(shù)為周期的周期函數(shù)，但不存在基本周期.(Dirichl)et
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