函數(shù)極限-資料下載頁
2025-11-06 02:19本頁面
【正文】 當(dāng)x174。a時(shí)的左極限。記作 limf(x)=A，或f(a0)=A。x174。a右極限：e0,$d0,使得當(dāng)axa+d時(shí),都有f(x)A(x)當(dāng)x174。a時(shí)的右極限。記作 lim+f(x)=A，或f(a+0)=A。x174。a由左、右極限的定義不難看出，函數(shù)f(x)當(dāng)x174。a時(shí)極限存在219。函數(shù)左、右極限存在且相等，即limf(x)=lim+f(x).x174。ax174。a若左、右極限存在不相等，則極限不存在。236。1,x0,239。例4 函數(shù)f(x)=sngx=237。0,x=0,當(dāng)x174。0時(shí)極限不存在。239。1,x證明：事實(shí)上，f(x)的左極限limf(x)=1，右極限lim+f(x)=1，左右極限不相等，所以x174。0x174。0limf(x)不存在。x174。0Ⅳ、當(dāng)x174。165。時(shí)，函數(shù)f(x)的極限（一）當(dāng)x174。165。時(shí)，函數(shù)f(x)的極限定義：對于任意給定的e0，總存在一個(gè)M0,使得對于滿足不等式xM的一切x,均有不等式f(x)Ae成立，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x174?！迺r(shí)以A為極限，記作limf(x)=Ax174。165。x174。+165。x174。165。，或 f(x)→A(x→∞).同樣可以定義limf(x)=A,limf(x)=：(1)limf(x)=A可看作數(shù)列極限limf(n)=a的直接推廣。它們不同之處在于，這里所x174。+165。n174。165?？紤]的是所有大于M的實(shí)數(shù)（連續(xù)），而不僅僅是正整數(shù)(跳躍性的)。(2)limf(x)=A219。limf(x)=limf(x)=A。x174。165。x174。+165。x174。165。（3）幾何意義：當(dāng)xM或xM時(shí),函數(shù)y=f(x)圖形完全落在以直線y=A為中心線,寬為2e的帶形區(qū)域內(nèi).（二）例題 例5 證明lim=174。165。x2110|=e|x|M=，只需，如果取，則對x2x2證明：任意給定e0，要使|一切滿足xM的x，均有|例6 證明limsinx=174。165。x0|e，證畢。x2證：要使11sinxsinx10=e,只需|x|.，因此對e0,取M=,當(dāng)xM時(shí),有eexxxsinxsinx0e,故lim=174。165。xxⅤ、函數(shù)極限的性質(zhì)下面以limf(x)為代表敘述函數(shù)極限的性質(zhì)，174。a(唯一性)若limf(x)存在，174。a(局部有界性)若limf(x)=A,存在某個(gè)d00和常數(shù)M0,當(dāng)0xx0d0時(shí),有x174。a|f(x)|：如果一個(gè)數(shù)列收斂，則這個(gè)數(shù)列有界。但函數(shù)f(x)在點(diǎn)a有極限，只能斷言它在某個(gè)局部范圍，即在點(diǎn)a的某空心鄰域有界，稱為局部有界。(局部保號性)若limf(x)=A＞0(或＜0），則存在d00，使當(dāng)0xx0d0時(shí),有f(x)0x174。a（或f(x)0）。A，則由limf(x)=A，對上述e0，總存在d00，使當(dāng)0xx0d0時(shí),x174。a2AA有|f(x)A|e0，因而f(x)Ae0=A=A若Ax174。a2AA|f(x)A|e0，因而f(x)A+e0=A=、四則運(yùn)算法則證：設(shè)A0，取e0=設(shè)limf(x)與limg(x)存在，則函數(shù)f177。g，fg，(若limg(x)≠0)當(dāng)x→a時(shí)極限存在且x174。ax174。afgx174。x01)lim[f(x)177。g(x)]=limf(x)177。limg(x)；x174。ax174。ax174。a2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)；x174。ax174。ax174。af(x)f(x)limx174。a3)lim=.(limg(x)≠0)x174。ag(x)limg(x)x174。x0x174。a注意：公式（1）、（2）可以推廣到任意有限個(gè)函數(shù)的情況。特別地，有l(wèi)im[(f(x))n]=[limf(x)]174。ax174。a例7 求lim[(3x22x+1)(x3+3)].x174。2x23x+2例8 求lim.（先約分）x174。1x312x3+13x例9 求lim3.（分子分母同除以）x174。165。x+8x2+7x236。x1,x0239。例10 設(shè)f(x)=237。x2+3x1，求limf(x),limf(x).x174。0x174。165。,x179。0239。3238。x+1（注意求limf(x)時(shí)，由于時(shí)分段函數(shù)，所以要求在x174。0時(shí)的左右極限。）x174。0四、習(xí)題處理五、小結(jié)，作業(yè)：p36ex：設(shè)limf(x)=A，limg(x)=B。證明：x174。x0x174。x0f(x)A=，（當(dāng) B≠0時(shí)）x174。x0x174。x0x174。x0g(x)B證明因?yàn)閘imf(x)=A，limg(x)=B所以e0，分別存在d10，d20，使得當(dāng)（1）lim[f(x)177。g(x)]=A177。B；（2）lim[f(x)g(x)]=AB；（3）limx174。x0x174。x00|xx0|d1時(shí)，有|f(x)A|e；當(dāng)0|xx0|d2時(shí)，有|g(x)B|e。（1）取d=min{d1,d2}，于是當(dāng)0|xx0|d時(shí)，有|(f(x)+g(x))(A+B)|163。|f(x)A|+|g(x)B|e+e=2e，所以lim[f(x)+g(x)]=A+B。x174。x0同理可證：lim[f(x)g(x)]=ABx174。x0（2）因?yàn)閘imf(x)=A，由局部有界性定理，知存在d30，使f(x)在U0(x0,d3)有界。即存在x174。x0M0，當(dāng)0|xx0|d3時(shí)，|f(x)|163。M?，F(xiàn)在取d=min{d1,d2,d3}，于是當(dāng)0|xx0|d時(shí)，有|f(x)g(x)AB|163。|f(x)g(x)f(x)B|+|f(x)BAB|=|f(x)||g(x)B|+B|f(x)A|Me+Be=(M+B)e所以lim[f(x)g(x)]=ABx174。x0B20，于是由局部保號性定理知，存在d40，（3）因?yàn)閘img(x)=B185。0，limBg(x)=Bx174。x0x174。x02B2當(dāng)0|xx0|d4時(shí)，|Bg(x)|。現(xiàn)在取d=min{d1,d2,d4}，于是當(dāng)0|xx0|d時(shí)，有f(x)ABf(x)Ag(x)|Bf(x)AB+ABAg(x)|==g(x)BBg(x)|B||g(x)||B||f(x)A|+|A||Bg(x)||B|e+|A|e|B|+|A|=e22|B||g(x)|BBf(x)A=。所以limx174。x0g(x)B163。
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