【正文】 4x3，y2=m，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出它們的圖象，其中注意0163。x3，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在[0，3）上有唯一公共點(diǎn)時(shí)，原方程有唯一解，由下圖可見，當(dāng)m=1，或3163。m163。0時(shí)，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[－3，0]U{1}。注：一般地，研究方程時(shí)，需先將其作等價(jià)變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。：令y1=4xx2，y2=(a1)x，其中y1=4xx2表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點(diǎn)），如下圖所示，y2=(a1)x表示過原點(diǎn)的直線系，不等式4xx2(a1)x的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對應(yīng)的x值。由于不等式解集A205。{x|0x2}因此，只需要a11，∴a2∴a的取值范圍為（2，+165。）。：將原方程化為：loga(xak)=loga∴xak=x2a2，x2a2，且xak0，x2a20令y1=xak，它表示傾角為45176。的直線系，y10令y2=（a，0）的等軸雙曲線在x2a2，它表示焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)為（－a，0）x軸上方的部分，y20∵原方程有解，∴兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，由下圖，知aka或aak0∴k1或0k1∴k的取值范圍為(165。，1)U(0，1)第五篇：高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：數(shù)形結(jié)合思想高考沖刺：數(shù)形結(jié)合編稿：林景飛審稿：張揚(yáng)責(zé)編：辛文升 熱點(diǎn)分析 高考動向數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結(jié)合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應(yīng)以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，且占比例較大。知識升華數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來，是解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。具體地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。1．高考試題對數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個(gè)方面：（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運(yùn)用；（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用；（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：（1）等價(jià)性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負(fù)面效應(yīng)；（2）雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)；（3）簡單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線為佳。3．進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個(gè)途徑：（1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4．常見的“以形助數(shù)”的方法有：（1）借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；（2）借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；（3）借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點(diǎn)，直線，斜率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予以重視。5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合：主要體現(xiàn)在解析幾何中，類型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題 1．(2010全國Ⅰ理)已知函數(shù)a+2b的取值范圍是A．解析：畫出由題設(shè)有，B．的示意圖.，若，且，則C．D．∴，令，則∵∴，∴ 在，.上是增函數(shù).∴舉一反三：【變式1】已知函數(shù).≤x≤1時(shí)有最大值2，求a的值。解析：∵∴拋物線，的開口向下，對稱軸是，如圖所示：（1）（2）（3）（1）當(dāng)a＜0時(shí)，如圖（1）所示，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，即∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。（2）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，如圖（2）所示，當(dāng)x=a時(shí)，y有最大值，即?！郺―a+1=2，解得2?！?≤a≤1，∴不合題意。（3）當(dāng)a＞1時(shí)，如圖（3）所示。當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，即綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2【變式2】已知函數(shù)（Ⅰ）寫出（Ⅱ）設(shè)的單調(diào)區(qū)間；，求在[0，a]上的最大值?！郺=2。解析：如圖：（1）的單調(diào)增區(qū)間：，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）時(shí)。（2）當(dāng)a≤1時(shí)，當(dāng)當(dāng)【變式3】已知()（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；（2）當(dāng)]時(shí)，都，時(shí)，對于給定的負(fù)數(shù)，有一個(gè)最大的正數(shù)，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，問a為何值時(shí)，M(a)最大？并求出這個(gè)最大值。解析：（1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx當(dāng)2≤x≤2時(shí)，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0；若a≠0，假設(shè)，∴區(qū)間[2,2]在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，∴f(x)在[2，2]上是單調(diào)函數(shù)，（這是不可能的）（2）當(dāng)，時(shí)，∵，所以，（圖1）（圖2）(1)當(dāng)所以即是方程，時(shí)（如圖1），則的較小根，即(2)當(dāng)所以即是方程，時(shí)（如圖2），則的較大根，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題 2．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。思路點(diǎn)撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個(gè)函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡化運(yùn)算。解析：畫出和的圖象，當(dāng)直線過點(diǎn)，即時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)。又由當(dāng)曲線與曲線相切時(shí)，二者只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)又直線，則過切點(diǎn)，即，得，解得切點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根。誤區(qū)警示：作圖時(shí)，圖形的相對位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯(cuò)誤。總結(jié)升華：1．解決這類問題時(shí)要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解。3．在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：①要準(zhǔn)確理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；②要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，：【變式1】若關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是。解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定方程根的個(gè)數(shù)。設(shè)（x∈－1，1）如圖：當(dāng)內(nèi)有1個(gè)實(shí)根。或時(shí)，關(guān)于x的方程在（－1，1）【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個(gè)實(shí)根的和。有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的解析：將原方程與直線轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及α+β的值。設(shè)，在同一坐標(biāo)中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象由圖可知，當(dāng)或時(shí)，y1與y2的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即對應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為.∴.若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為，∴.，這兩個(gè)實(shí)根的和為或。類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答3．(北京2010理)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，設(shè)頂點(diǎn)，則函數(shù)的最小正周期為________；：為便于觀察，不妨先將正方形PABC向負(fù)方向滾動，使P點(diǎn)落在x軸上的點(diǎn)，此點(diǎn)即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)（圖1）.（一）以A為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90176。，此時(shí)頂點(diǎn)B位于x軸上，頂點(diǎn)P畫出了A為圓心，1為半徑的個(gè)圓周（圖2）；（二）繼續(xù)以B為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90176。，此時(shí)頂點(diǎn)C位于x軸上，頂點(diǎn)P畫出B為圓心，為半徑的個(gè)圓周（圖3）；（三）繼續(xù)以C為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90176。，此時(shí)，頂點(diǎn)P位于x軸上，為點(diǎn)，它畫出了C為圓心，1為半徑的個(gè)圓周（圖4）.為又一個(gè)零點(diǎn).∴ 、半徑為的圓和兩個(gè)直角邊長為1的直角三角形，其面積是.舉一反三：2【變式1】已知圓C：(x+2)+y=1，P（x，y）為圓C上任一點(diǎn)。（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3）求x―2y的最大、最小值。解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。（1）表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。（2）表示點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（1，2）兩點(diǎn)連線的斜率，設(shè)Q（1，2），過Q點(diǎn)作圓C的兩條切線，如圖：將整理得kx―y+2―k=0。∴，解得，所以的最大值為，最小值為。（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當(dāng)直線與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時(shí)取得。這時(shí)∴。，最小值為。，∴x―2y的最大值為【變式2】求函數(shù)解析：的最小值。則y看作點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（1，1）與B（3，2）距離之和如圖，點(diǎn)A（1，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）2的取A．B．或C．D．或解析：如圖由題知方程的根，一個(gè)在（0，1）之間，一個(gè)在（1，2）之間，則，即下面利用線性規(guī)劃的知識，則斜率可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）連線的 則，選C。