【導讀】其它力，因為一點小失誤，導致全盤皆錯。能把物理知識與生活實例很好的聯(lián)系起來。不可能是勻變速運動，因為即使是勻速圓周運動，其加速度方向也是時刻變化的。運動；④物體在各種外力作用下的圓周運動。做勻速圓周運動的物體，它所受。非勻速圓周運動的物體所受的合外力沿。向加速度，其效果是改變速度的大小。上的A、B兩處，上面繩AC長L=2m，當兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為30°和45°，求。兩繩張緊時，小球受的力由0逐漸增大時，ω可能出現(xiàn)兩個臨界值。如圖3-1所示，當BC剛好被拉直，但其拉力T2恰為零，設(shè)此時角速度為ω1，垂直圓周平面的方向上的合外力必然為零。②明確運動情況，包括搞清運動速率v，軌跡半徑R及軌跡圓心O的位置等。指向圓心，是物體做勻速圓周運動的條件。③當物體所受的合外力F小于所需要提供的向心力mv2/R時，物體做離心運動。

　　

【正文】 ，由天體表面上的重力加速度和天體的半徑求天體的質(zhì)量，其公式推證過程是： 由 mg=G2RMm 得 GgRM 2?.（式中 M、 g、 R 分別表示天體的質(zhì)量、天體表面的重力加速度和天體的半徑．） （ 2）根據(jù)繞中心天體運動的衛(wèi)星的運行周期和軌道半徑，求中心天體的質(zhì)量 衛(wèi)星繞中心天體運動的向心力由中心天體對衛(wèi)星 的萬有引力提供，利用牛頓第二定律得 22222 4TmrmrrvmrMmG ?? ??? 若已知衛(wèi)星的軌道半徑 r 和衛(wèi)星的運行周期 T、角速度 ? 或線速度 v，可求得中心天體的質(zhì)量為GrGT rGrvM 322 322 4 ?? ??? 例 7： 已知引力常量 G 和以下各組數(shù)據(jù)，能夠計算出地球質(zhì)量的是： A． 地球繞太陽運行的周期和地球與太陽間的距離 B． 月球繞地球運行的周期和月球與地球間的距離 C． 人造地球衛(wèi)星在地面附近處繞行的速度與周期 D． 若不考慮地球的自轉(zhuǎn)，已知地球的半徑與地面的重力加速度 【 審題 】 此題中的目的是求解‘地球’的質(zhì)量，其關(guān)鍵在于題中所給四個情景中“地球”是否是一個‘中心天體’．若地球是一個‘中心天體’，則可在題中所給的四個情景中找到以地球為‘中心天體’、以‘月球’或‘衛(wèi)星’為運‘環(huán)繞天體’的系統(tǒng)，再運用萬有引力定律和勻速圓周運動的規(guī)律聯(lián)合求解。此外，還要注意到每一個選項中給定的兩個物理量能否用得上，只有做好這樣的分析判斷之后，解題才能事半功倍。解此題關(guān)鍵是要把式中各字母的含義弄清楚，要區(qū)分天體半徑和天體圓周運動的軌道半徑． 【 解析】 對 A 選項。此選項之中“地球繞太陽運轉(zhuǎn) ”，給定的條件是 ”地球繞太陽的運轉(zhuǎn)周期 ”和 ”地球與太陽之間的距離 ”。顯然此處的 ”中心天體 ”是太陽而非地球，地球是一個 ”環(huán)繞天體 ”， 而 已知的是地球繞太陽運行的周期和地球的軌道半徑，只能求出太陽的質(zhì)量，因第 23 頁 共 41 頁 此無法計算出地球的質(zhì)量。故 A 選項錯誤 . 對 B 選項。在此選項中，月球繞地球運轉(zhuǎn)，月球是“環(huán)繞天體”，而地球是“中心天體”，且已知月球繞地球的運轉(zhuǎn)周期 T 和月球與地球之間的距離 r，由萬有引力定律與勻速圓周運動的規(guī)律可得 rTmrGMm 222 4??，故有地球質(zhì)量為 M=2324GTr? ， 顯然，式中的各量均為已知量，即地球質(zhì)量由此式可計算出來。故 B 選項正確。 對 C 選項。在此項中人造地球衛(wèi)星是 “環(huán)繞天體“，而地球則是中心天體，又已知人造地球衛(wèi)星的運行速度 v 和運動周期 T，由萬有引力定律與勻速圓周運動規(guī)律可得 hRmvhRGMm ???22)(和222 4)( TmhRG Mm ???，又因為此人造地球衛(wèi)星是 ”近地“衛(wèi)星，則 hR，可視為 h ≈ 0 ，必有 R+h ≈ R ，則以上兩式可分別化為RmvRGMm 22 ? ① 和RTRGmm 222 4?? ② ， 又由于 v=Tr?2，代入 ① 式（當然也可以代入 ② 式）可得，地球的質(zhì)量為 M=234GTR? 。顯然此式中的量均為已知。即可由此式計算出地球質(zhì)量。故 C 選項正確。 對 D 選項?？梢赃\用虛擬物體法計算地球的質(zhì)量。假設(shè)有一個在地面上靜止的物體，對其運用萬有引力定律可得： mgRGMm?2，則 M=GgR2。其中的 g 為地面上的重力加速度，R 為地球半徑，均為已知，可以由此計算出地球質(zhì)量。故 D 選項正確。 【 總結(jié) 】 對于天體的質(zhì)量是通過測量計算得到的，而不是通過稱量獲得。首先要明確，這種方法只能用來計算“中心天體”的質(zhì)量，而不能計算“環(huán)繞天體”的質(zhì)量。其次還必須明確利用題中所給的天文數(shù)據(jù)能否計算出被測天體的質(zhì)量。只有滿足這兩方面面的要求，才可以運用萬有引力定律和勻速圓周運動的規(guī)律計算求得天體的質(zhì)量。 必須區(qū)別衛(wèi)星的運行速度與發(fā)射速度的不同 對于人造地球 衛(wèi)星，由 rvmrGMm 22 ?可得 v=rGM，這個速度指的是人造地球衛(wèi)星在軌道上穩(wěn)定運行的速度。其大小僅隨軌道半徑 r 的增大而減小，與衛(wèi)星的質(zhì)量、形狀等因素無關(guān)。只要衛(wèi)星能運行在半徑為 r`的軌道上，其運行的速度就必須是而且也只能是 v=rGM，此式是人造地球衛(wèi)星穩(wěn)定運行速度的決定公式。 人造地球衛(wèi)星在圓軌道上的運行速度是隨著高度的增大而減小的，由于人造地球衛(wèi)星的發(fā)射過程中必須克服地球引力做功，從而增大了衛(wèi)星 的引力勢能，故要將衛(wèi)星發(fā)射到距地球越遠的軌道，需要克服地球的引力做功就越多，在地面上需要的發(fā)射速度就要越大。其發(fā)射第 24 頁 共 41 頁 速度的具體數(shù)值由預定軌道的高度決定，在第一宇宙速度（ km/s）和第二宇宙速度（ 11. 2 km/s）之間取值。要明確三個宇宙速度均指發(fā)射速度。而第一宇宙速度（ km/s）既是衛(wèi)星的最小發(fā)射速度又是衛(wèi)星的最大運行速度。 人造地球衛(wèi)星的三個發(fā)射速度分別是： 第一宇宙速度（環(huán)繞速度）： v= 千米／秒；（地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度） 第二宇宙速度（脫離速度）： v= 千米／秒；（衛(wèi)星掙 脫地球束縛的最小發(fā)射速度） 第三宇宙速度（逃逸速度）： v= 千米／秒。（衛(wèi)星掙脫太陽束縛的最小發(fā)射速度） 例 8： 1999 年 5 月 10 日，我國成功地發(fā)射了“一箭雙星”，將“風云一號”氣象衛(wèi)星和“實驗五號”科學實驗衛(wèi)星送入離地面高 870km 的軌道。這顆衛(wèi)星的運行速度為（ ） A、 、 km/s C、 km/s D、 km/s 【 審題 】 題目中敘述的是人造地球衛(wèi)星的“發(fā)射”與“運行”，考查的是人造地球衛(wèi)星的“發(fā)射速度”與“運行速度”的物理意 義。此題給出的四個速度中有三個具有特定的物理意義。只要明確這三個特殊速度的物理意義，此題求解也就十分容易。此題可有兩種不同的解法，一是，根據(jù)題中的三個特殊速度而作出判斷；二是根據(jù)題中給出的衛(wèi)星高度 h＝ 870km和其他的常量計算出此衛(wèi)星的實際運行速度，即可選出正確答案。 【 解析】 （方法一）判斷選定法 對選項 A， v＝ ，是發(fā)射速度。以此速度發(fā)射的人造地球衛(wèi)星會以 v＝ 。其軌道半徑近似等于地球半徑，即 r≈ R 地 ，不會處在 h=870km 的軌道 上。故 A 選項錯誤。 對選項 B， v=，是發(fā)射速度，以此速度發(fā)射的人造地球衛(wèi)星會脫離地球的引力范圍，飛到距地球的“無限遠處”（在理論上此衛(wèi)星的軌道半徑 r=∞，其繞地球運行速度 v=0），不會穩(wěn)定運行在 h =870km 的軌道上，故 B 選項錯誤。 對選項 C， v=＜ （第一宇宙速度），則肯定是衛(wèi)星的運行速度。但是否以此速度運行的衛(wèi)星就一定處在 h=870km 的軌道上？還要計算判定。然而，由于又在“ D 選項中”有 v=，而同步衛(wèi)星的 軌道高度是 36000km 而不是870km。故運用排除法即可得知 C 選項正確。 對選項 D， v=，而同步衛(wèi)星的軌道高度是距地球赤道地面 36000km ，而不是 870km。故 D 選項錯誤。 （方法二）計算選定法 由于地球的萬有引力提供了人造地球衛(wèi)星的向心力，故得)()(22 hRvmhRG Mm ???，則有 v=hRGM?，代入引力常量 G= 1011 Nm2/Kg2，地球質(zhì)量 M= 1024Kg，地球半徑 R=6400km和衛(wèi) 星的軌道高度 h＝ 870km?？傻?v=，即此衛(wèi)星的運行速度為 。故 C 選項正確。 【 總結(jié) 】 以上兩種方法相比，顯然是前一種“判斷選定法”更為簡捷方便，但是要熟知題中給的各個速度的含義，只要排除不合理的答案即可得到正確答案。如果要運用計算選定法，則需要進行繁雜的數(shù)值計算，稍有不慎不僅會影響解題速度甚至還會導致錯誤。故而注重選擇題的解答技巧十分重要。 第 25 頁 共 41 頁 必須區(qū)別由萬有引力、重力、向心力構(gòu)成的三個等量關(guān)系式的不同 針對天體（行星，衛(wèi)星）和人造地球衛(wèi)星的運行問題（包括線速度、周期、高度 ），可以看作勻速圓周運動，從而運用萬有引力定律。這類“天上”的物體作勻速圓周運動的向心力僅由萬有引力提供。對于地面物體，其重力由萬有引力產(chǎn)生，若忽略隨地球自轉(zhuǎn)的影響，則其重力等于萬有引力。由于 “天上”的物體（如行星、衛(wèi)星）與地面上的物體雖然遵守相同的牛頓力學定律，但也有本質(zhì)的區(qū)別，通常在解決衛(wèi)星問題時要特別注重以下三個等量關(guān)系： 若萬有引力提供向心力，則有 GMm/r2 =ma 向 若重力提供向心力， 則有 mg= ma 向 若萬有引力等于重力， 則有 GMm/r2 =mg 以上三式不僅表現(xiàn)形式有異，而且其物理意義更是各有不同，必須注意區(qū)別辨析。同時因向心加速度 a 向 又具有多種不同的形式，如 a 向 =v2/r =ω 2r= 4π 2 r/T2 …… 則可以得以下幾組公式： （ 1）由 GMm/r2 =ma 向 得 GMm/r2 ＝ ma 向 → a 向＝ GM/r2→ a 向 ∝１／ r2。 GMm/r2 =m v2/r→ v = rGM → v∝１ / r GMm/r2 =mω 2r→ω =3rGM→ω∝１ / 3r GMm/r2=m4π T 2 r/T2→ T=2πGMr3 → T∝ 3r 對于以上各式，“中心天體”（如地球）一定，則其質(zhì)量 M 是一定的。因此“環(huán)繞天體”（衛(wèi)星）繞其做勻速圓周運動的向心加速度 a 向 、運行速度 v、運行角速度 ω 、運行周期T 僅與距離 r 有關(guān)。即以上各量僅由距離 r 即可得出，故以上各式可稱之為 “決定式”。這組決定式適應(yīng)于用 “ G、 M、 r”表示待求物理量的題目。 （ 2）由 mg= ma 向 可得 mg= ma 向 → a 向 ＝ g mg= m v2/r→ v= gr → v∝ r mg= mω 2r→ω =rg→ω∝１ / r mg= m4π 2 r/T2→ T=2πg(shù)r→ T∝ r 以上各式之中，作勻速圓周運動的物體（如衛(wèi) 星）的運行速度 v、角速度 ω 、周期 T由距離 r 和重力加速度 g 共同決定。其中的“ g“也是一個隨距離 r 而變化的變量，而不能認為是一個恒量。這組公式是由 GMm/r2 =mg 的代換關(guān)系得到的，一般適應(yīng)于已知“ g、 r”而不知“ G、 M”的題目。 （ 3）由 GMm/r2 =mg 得，對于地面上的物體可由 r=Ro (Ro 為地球半徑 )， g=go（ go 為地球表面的重力加速度）若忽略地球自轉(zhuǎn)，則有 GMm/ R2o =m go。即 GM= go R2o—— 此即所謂的“黃金代換 ”，可用來作為“ G、 M”與“ go 、 Ro”之間的等量代換。 這一關(guān)系在第 26 頁 共 41 頁 解題中經(jīng)常用到。 例 9： （ 200６年五市區(qū)聯(lián)考）設(shè)有兩顆人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量之比為 m1： m2 ＝１：２，其運行軌道半徑之比為Ｒ １： Ｒ ２ ＝３：１，試求此兩顆衛(wèi)星運行的： ① 線速度之比， ② 角速度之比， ③周期之比，④ 向心加速度之比。 【 審題 】 根據(jù)此題要求求解的四個“比”值，其給定的已知條件中的“ m1： m2 ＝１：２”是無用的“干擾項”，只須運用已知條件“Ｒ １ ：Ｒ ２ ＝３：１”即可求解，但是必須注意所用公式。因為只是已知兩顆衛(wèi)星的軌道半徑的比例關(guān)系，故而求解時也只能選用上面（ 1）中的“決定 式”，而不能選用（ 2）中的公式。 【 解析】 人造地球衛(wèi)星在軌道上運行時，所需要的向心力等于地球的萬有引力，由Ｆ 引＝Ｆ 向 可得， ① GMm/r2 =m v2/r， 則 v = rGM 所以， 3/11221 ?? RRVV 。 如果此處運用了 v= gr ，而認為 v∝ r ，則可得到1221 RRVV ? ＝ 13 ，顯然這是錯誤的。 因為對于這兩顆衛(wèi)星而言其公式 v= gr 中的“ g”是不同的。 ② 因為 GMm/r2 =mω 2r，有 ω =3rGM，故，313221 RR??? ＝ 271 ；如果此處運用公式ω =rg而認為ω∝１ / r ，則可得，1221 RR??? ＝ 31 ，顯然也是錯誤的。其原因仍是忘掉了式中“ g” 的不同。 ③ 因為 GMm/r2 =m4π 2 r/T2 ，則， T=2πGMr3 ，故有21TT ＝3231RR ＝ 3313 ＝ 127 。如果此處運用了 T=2πg(shù)r而認為 T∝ r ，則得21TT ＝ 1321 ?RR ，顯然也是錯誤的。其原因仍是忘掉了式中“ g” 的不同。 ④ GMm/r2 ＝ ma 向， 則 a 向 ＝ GM/r2 故有，?21aa 222122 31?RR ＝１／９。如果此處運用了 a 向 ＝ g 而認為 a向 軌道半徑無關(guān)，則得 ?21aa 1?gg ，必然錯誤， 其原因仍是忘掉了式中“ g”的不同。 圖４－７ 第 27 頁 共 41 頁 【 總結(jié) 】 在求解天體（如，行星、衛(wèi)星等）的圓周運動時，由于圓周運動的特點以及“黃金代換”關(guān)系（ GM＝ go R2o）的存在，會使得圓