【正文】 拋運(yùn)動(dòng)。 ③分析結(jié)論：解上述方程可知 20v ＝ rgtanθ 可見，最佳情況是 由 0v 、 r、 θ 共同決定的。但前者這兩個(gè)力的合力為零，后者合力不為零。 由圖知， F 向 =mgtanφ =m rv2 2．圓錐擺 擺線張力與擺球重力的合力提供擺球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向 心力．如圖 315 所示，質(zhì)量為 m的小球用長(zhǎng)為 L的細(xì)線連接著，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．細(xì)線與豎直方向夾角為 α ，試分析其角速度 ω 的大小。 討論： ①當(dāng) mg＝ m rv2 ，即 v＝ gr 時(shí)，水恰能過最高點(diǎn)不灑出，這就是水能過最高點(diǎn)的臨界條件； ②當(dāng) mg＞ m rv2 ，即 v＜ gr 時(shí)，水不能過最高點(diǎn)而不灑 出； ③當(dāng) mg＜ m rv2 ，即 v＞ gr 時(shí)，水能過最高點(diǎn)不灑出，這時(shí)水的重力和杯對(duì)水的壓力提供向心力。 【 解析 】 ①水在最高點(diǎn)不流出的條件是重力不大于水做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力即 mg＜ Lmv2 ， 則最小速度 v0＝ gR ＝ gL ＝ m/s。 例 2：汽車質(zhì)量 m 為 104 kg，以不變的速率先后駛過凹圖 317 第 10 頁(yè) 共 41 頁(yè) 形路面和凸形路面，路面圓弧半徑均為 15 m，如圖 317 所示．如果路面承受的最大壓力不得超過 2 105 N，汽車允許的最大速率是多少？汽車以此速率駛過路面的最小壓力是多少？ 【 審題 】 首先要確定汽車在何位置時(shí)對(duì)路面的壓力最大，汽車經(jīng)過凹形路面時(shí)，向心加速度方向向上，汽車處于超重狀態(tài)；經(jīng)過凸形路面時(shí)，向心加速度向下，汽車處于失重狀態(tài)，所以汽車經(jīng)過凹形路面最低點(diǎn)時(shí)，汽車對(duì)路面的壓力最大。 ②當(dāng)產(chǎn)生向心力的合外力消失， F＝ 0，物體便沿所在位置的切線方向飛出去，如圖 320 中A 所示。例 如，離心干燥（脫水）器，離心分離器，離心水泵。 （ 8）難點(diǎn)突破⑧ —— 圓周運(yùn)動(dòng)的功和能 應(yīng)用圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解決實(shí)際生活中的問題，由于較多知識(shí)交織在一起，所以分析問題時(shí)利用能量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的特點(diǎn)作為解題的切入點(diǎn)，可能大大降低難度。當(dāng) NA=0 時(shí)， vA最小， vA= gR 。 小球在圓形軌道最高點(diǎn) A 時(shí)滿足方程 根據(jù)機(jī)械能守恒，小球在圓形軌道最低點(diǎn) B 時(shí)的速度滿足方程 2B2A mv21=R2mg+mv21 （ 2） 解 (1)， (2)方程組得 圖 321 第 12 頁(yè) 共 41 頁(yè) 當(dāng) NA=0 時(shí)， VB=為最小， VB= gR5 所以在 B 點(diǎn)應(yīng)使小球至少具有 VB= gR5 的速度，才能使它到達(dá)圓形 軌道的最高點(diǎn) A。 ① 請(qǐng)將下列實(shí)驗(yàn)步驟按先后排序： ． A．使電火花計(jì)時(shí)器與圓形卡紙保持良好接觸 B．接 通電火花計(jì)時(shí)器的電源，使它工作起來 C．啟動(dòng)電動(dòng)機(jī)，使圓形卡紙轉(zhuǎn)動(dòng)起來 D．關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，拆除電火花計(jì)時(shí)器；研究卡紙上留下的一段痕跡（如圖 322 乙所示），寫出角速度 ω 的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)，得出 ω 的測(cè)量值 ② 要得到 ω 的測(cè)量值，還缺少一種必要的測(cè)量工具，它是 ． A．秒表 B．毫米刻度尺 C．圓規(guī) D．量角器 ③ 寫出角速度 ω 的表達(dá)式，并指出表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義： ． ④ 為了避免在卡紙連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中出現(xiàn)打點(diǎn)重 疊，在電火花計(jì)時(shí)器與盤面保持良好接觸的同時(shí)，可以緩慢地將電火花計(jì)時(shí)器沿圓形卡紙半徑方向向卡紙中心移動(dòng)．則卡紙上打下的點(diǎn)的分布曲線不是一個(gè)圓，而是類似一種螺旋線，如圖 322 丙所示．這對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響嗎？ 【 審題 】 因?yàn)檫@個(gè)題目用的是打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，所以兩點(diǎn)之間的時(shí)間是 ，通過量角器量出圓心到兩點(diǎn)之間的角度，利用ω =θ /t。其之所以成為高中物 理教學(xué)難點(diǎn)之一，不外乎有以下幾個(gè)方面的原因。 不能正確理解物理意義導(dǎo)致概念錯(cuò)誤 衛(wèi)星問題中有諸多的名詞與概念，如，衛(wèi)星、雙星、行星、恒星、黑洞；月球、地球、土星、火星、太陽(yáng)；衛(wèi)星的軌道半徑、衛(wèi)星 的自身半徑；衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期、衛(wèi)星的自轉(zhuǎn)周期；衛(wèi)星的向心加速度、衛(wèi)星所在軌道的重力加速度、地球表面上的重力加速度；衛(wèi)星的追趕、對(duì)接、變軌、噴氣、同步、發(fā)射、環(huán)繞等問題。 不能全面把握衛(wèi)星問題的知識(shí)體系，以致于無(wú)法正確區(qū)分類近知識(shí)點(diǎn)的不同。 二、難點(diǎn)突破策略： （一）明確衛(wèi)星的概念與適用的規(guī)律： 衛(wèi)星的概念： 由人類制作并發(fā)射到太空中、能 環(huán)繞地球在空間軌道上運(yùn)行（至少一圈） 、 用于科研應(yīng)用 的無(wú)人 或載人 航天器，簡(jiǎn)稱人造衛(wèi)星。均適應(yīng)于衛(wèi)星問題。 ② 、同步衛(wèi)星的特性： 不快不慢 具有特定的運(yùn)行線速度（ V=3100m/s）、特定的角速度（ω = ra d/s ）和特定的周期（ T=24 小時(shí)）。 (h 是同步衛(wèi)星距離地面的高度 ) 因此，同步衛(wèi)星一定具有特定的位置高度和軌道半徑。 ④ 月球繞地球運(yùn)行周期是一個(gè)月（約 28 天，折合 672 小時(shí)；實(shí)際是 天） ⑤ 圍繞地球運(yùn)行飛船內(nèi)的物體，受重力，但處于完全失重狀態(tài)。 ⑧ 天體質(zhì)量Ｍ、密度ρ的估算： 測(cè)出衛(wèi)星圍繞天體作勻速圓 周運(yùn)動(dòng)的半徑 r 和周期Ｔ， 由 rTmrMmG 22 2 ??????? ?得：2324GTrM ??，32 33 RGT rVM ?? ??（當(dāng)衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，ρ =3π /GT2） ⑨ 發(fā)射同步通訊衛(wèi)星一般都要采用變軌道發(fā)射的方法：點(diǎn)火，衛(wèi)星進(jìn)入停泊軌道（圓形軌道，高度 200— 300km），當(dāng)衛(wèi)星穿過赤道平面時(shí)，點(diǎn)火，衛(wèi)星進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道（橢圓軌道），當(dāng)衛(wèi)星達(dá)到遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)火，進(jìn)入靜止軌道（同步軌道）。 三、運(yùn)用力學(xué)規(guī)律研究衛(wèi)星問題的基本要點(diǎn) 必須區(qū)別開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律與萬(wàn)有引力定律的不同 （ 1） 開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律 B 同步軌道 地球 A 圖 42 第 17 頁(yè) 共 41 頁(yè) 開 普勒第一定律：所有行星圍繞太 陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道均是橢圓，太陽(yáng)處在這些橢圓軌道的一個(gè)公共焦點(diǎn)上。 開普勒總結(jié)了第谷對(duì)天體精確觀測(cè)的記錄，經(jīng)過辛勤地整理和計(jì)算，歸納出行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的三條基本規(guī)律。 萬(wàn)有引力定律的公式是： F=2 21rmmG， （Ｇ =１０ － 11牛頓 開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律從軌道形狀、運(yùn)動(dòng)速度、轉(zhuǎn)動(dòng)周期、軌道半徑等方面描述、揭示了行星繞太陽(yáng)（或恒星）運(yùn)動(dòng)的宇宙現(xiàn)象，表明了天體運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和規(guī)律。 【 解析】 假想有一顆近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行，由于萬(wàn)有引力提供向心力，則 GMm/R2=m4π 2 R /T2 解之得 K= R3/T2=GM/4π 2， 再設(shè)第一顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球軌道的長(zhǎng)軸為 a, 第二顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期為 T，由開普勒第三定律得 K =（ a/2） 3/T12 =（ a/2+4000） 3/T22 由 以上二式得， a= 107m. T2= min. 第 18 頁(yè) 共 41 頁(yè) 【 總結(jié) 】 由于此題中有兩個(gè)待求物理量，單純地運(yùn)用萬(wàn)有引定律或開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律難以求解，故而聯(lián)立兩個(gè)定律合并求解。因?yàn)榘霃綖?R/2的小球質(zhì)量 M′= MR81)2(34 3 ????；則222 )2/(8)2/( Rd MmGRd MmGF ????，所以挖去球穴后的剩余部分對(duì)球外質(zhì)點(diǎn) m 的引力為 : 【 總結(jié) 】如果先設(shè)法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的質(zhì)量集中于這個(gè)重心上，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式求解．這是不正確的．萬(wàn)有引力存在于宇宙間任何兩個(gè)物體之間，但計(jì)算萬(wàn)有引力的簡(jiǎn) 單公式 2 21rmmGF ? 卻只能適應(yīng)于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻的球體。常量 K 僅由‘中心天體’的質(zhì)量決定而與‘環(huán)繞天體’的質(zhì)量無(wú)關(guān)。 67 1011Nm2/，適用于宇宙間的所有物體。 例 3： 行星繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道是橢圓，這些橢圓在一般情況下可以近似視為圓周軌道，試用萬(wàn)有引力定律和向心力公式證明對(duì)所有繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的行星， 繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)軌道半徑的立方與 運(yùn)轉(zhuǎn) 周期的平方的比值為常量。這一結(jié)論適用于地球與月球系統(tǒng)，也適用于其它‘中心天體’與‘環(huán)繞天體’組成的天體系統(tǒng)。 地面上同一物體在地球上不同緯度處的的重 力是不同的。 在任何星體表面上的物體所受的重力均是 mg=2 21rmmG，而物體在距星體表面高度為 h處的重力為 mg’=Gm1m2/(r+h)2 （ 3）地面物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力： 由于地球的自轉(zhuǎn)，處于地球上的物體均隨地球的自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需圖 44 第 20 頁(yè) 共 41 頁(yè) 向心力由萬(wàn)有引力提供，大小是 F 向 =mω 2r=mr4π 2/T2(ω是地球自轉(zhuǎn)角速度， r 是物體與地軸間的距 離， T 是 地球的自轉(zhuǎn)周期 )，其方向是垂直并指向地軸。以上的分析對(duì)其它的自轉(zhuǎn)天體也是同樣適用的。 此物體在赤道所受到的彈簧秤拉力為 F 拉 =FF 向 =（ ） N =。但應(yīng)該切記兩點(diǎn)： ① 重力一般不等于 萬(wàn)有引力 ，僅在地球的兩極時(shí)才可有圖 45 圖 46 第 21 頁(yè) 共 41 頁(yè) 大小相等、方向相同，但重力與萬(wàn)有引力仍是不同的兩個(gè)概念。 【 總結(jié) 】當(dāng)赤道上的物體“飄”起來時(shí) ,是一種物體 、地球之間接觸與脫離的臨界狀態(tài)，地球?qū)ξ矬w的支持力為零，只有萬(wàn)有引力完全提供向心力，只要正確運(yùn)用牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律列式求解即可。 m/(２Ｒ 火 )2 火g? = 24/ 火火 RGM 。對(duì)星球第 22 頁(yè) 共 41 頁(yè) 表面上空某處的重力加速度公式 ? ? ghR RhRGMg22 ?????? ?????，也可以這樣理解： g′和 必須區(qū)別天體系統(tǒng) 中‘中心天體’與‘環(huán)繞天體’的不同 對(duì)于天體質(zhì)量的測(cè)量，常常是運(yùn)用萬(wàn)有引力定律并通過觀測(cè)天體的運(yùn)行周期 T 和軌道半徑 r（必須明確天體的運(yùn)行周期 T 和軌道半徑 r 是研究衛(wèi)星問題中的兩個(gè)關(guān)鍵物理量），把天體或衛(wèi)星的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)近似視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后求解。此種方法只 能用來測(cè)定‘中心天體’的質(zhì)量，而無(wú)法用來測(cè)定‘環(huán)繞天體’的質(zhì)量。解此題關(guān)鍵是要把式中各字母的含義弄清楚，要區(qū)分天體半徑和天體圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑． 【 解析】 對(duì) A 選項(xiàng)。在此選項(xiàng)中，月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)，月球是“環(huán)繞天體”，而地球是“中心天體”，且已知月球繞地球的運(yùn)轉(zhuǎn)周期 T 和月球與地球之間的距離 r，由萬(wàn)有引力定律與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得 rTmrGMm 222 4??，故有地球質(zhì)量為 M=2324GTr? ， 顯然，式中的各量均為已知量，即地球質(zhì)量由此式可計(jì)算出來。顯然此式中的量均為已知。可以運(yùn)用虛擬物體法計(jì)算地球的質(zhì)量。 【 總結(jié) 】 對(duì)于天體的質(zhì)量是通過測(cè)量計(jì)算得到的，而不是通過稱量獲得。 必須區(qū)別衛(wèi)星的運(yùn)行速度與發(fā)射速度的不同 對(duì)于人造地球 衛(wèi)星，由 rvmrGMm 22 ?可得 v=rGM，這個(gè)速度指的是人造地球衛(wèi)星在軌道上穩(wěn)定運(yùn)行的速度。其發(fā)射第 24 頁(yè) 共 41 頁(yè) 速度的具體數(shù)值由預(yù)定軌道的高度決定，在第一宇宙速度（ km/s）和第二宇宙速度（ 11. 2 km/s）之間取值。（衛(wèi)星掙脫太陽(yáng)束縛的最小發(fā)射速度） 例 8： 1999 年 5 月 10 日，我國(guó)成功地發(fā)射了“一箭雙星”，將“風(fēng)云一號(hào)”氣象衛(wèi)星和“實(shí)驗(yàn)五號(hào)”科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星送入離地面高 870km 的軌道。此題可有兩種不同的解法，一是，根據(jù)題中的三個(gè)特殊速度而作出判斷；二是根據(jù)題中給出的衛(wèi)星高度 h＝ 870km和其他的常量計(jì)算出此衛(wèi)星的實(shí)際運(yùn)行速度，即可選出正確答案。故 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤。然而，由于又在“ D 選項(xiàng)中”有 v=，而同步衛(wèi)星的 軌道高度是 36000km 而不是870km。 （方法二）計(jì)算選定法 由于地球的萬(wàn)有引力提供了人造地球衛(wèi)星的向心力，故得)()(22 hRvmhRG Mm ???，則有 v=hRGM?，代入引力常量 G= 1011 Nm2/Kg2，地球質(zhì)量 M= 1024Kg，地球半徑 R=6400km和衛(wèi) 星的軌道高度 h＝ 870km。如果要運(yùn)用計(jì)算選定法，則需要進(jìn)行繁雜的數(shù)值計(jì)算，稍有不慎不僅會(huì)影響解題速度甚至還會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。對(duì)于地面物體，其重力由萬(wàn)有引力產(chǎn)生，若忽略隨地球自轉(zhuǎn)的影響，則其重力等于萬(wàn)有引力。因此“環(huán)繞天體”（衛(wèi)星）繞其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度 a 向 、運(yùn)行速度 v、運(yùn)行角速度 ω 、運(yùn)行周期T 僅與距離 r 有關(guān)。其中的“ g“也是一個(gè)隨距離 r 而變化的變量，而不能認(rèn)為是一個(gè)恒量。 這一關(guān)系在第 26 頁(yè) 共 41 頁(yè) 解題中經(jīng)常用到。 【 解析】 人造地球衛(wèi)星在軌道上運(yùn)行時(shí)，所需要的向心力等于地球的萬(wàn)有引力，由Ｆ 引＝Ｆ 向 可得， ① GMm/r2 =m v2/r， 則 v = rGM 所以， 3/11221 ?? RRVV 。其原因仍是忘掉了式中“ g” 的不同。 ④ GMm/r2 ＝ ma 向， 則 a 向 ＝ GM/r2 故有，?21aa 222122 31?RR