【正文】 題： （ 1）如 上 圖 38 所示，沒有物體支撐的小球， 在繩和軌道的約束下， 在豎直平面做圓周運動過最高點的情況： ① 臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的做用： mg＝ mRv2? v 臨界 ＝ Rg 。 ② 能過最高點的條件： v≥ Rg ，當 v＞ Rg 時，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力 。 ③ 不能過最高點的條件： v＜ v 臨界 （實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道） （ 2）如圖 39 球過最高點時，輕質(zhì)桿對球產(chǎn)生的彈力情況： ① 當 v＝ 0 時， FN＝ mg（ FN為支持力） 。 ② 當 0＜ v＜ Rg 時， FN隨 v 增大而減小，且 mg＞ FN＞ 0， FN為支持力 。 ③ 當 v＝ Rg 時， FN＝ 0。 ④ 當 v＞ Rg 時， FN為拉力， FN隨 v 的增大 而增大 。 如圖所示 310 的小球在軌道的最高點時，如果 v≥ Rg 此時將脫離軌道做平拋運動，因為軌道對小球不能產(chǎn)生拉力 。 例 7：半徑為 R 的光滑半圓球固定在水平面上，如圖 311 所示。頂部有一小物體甲，今給它一個水平初速度 gRv ?0 ，則物體甲將（ ） A．沿球面下滑至 M 點 B．先沿球面下滑至某點 N，然后便離開球面作斜下拋運動 C．按半徑大于 R 的新的圓弧軌道作圓周運動 D．立即離開半圓球作平拋運動 【 審題 】 物體在初始位置受豎直向下的重力，因為 v0= gR ，所以，球面支持力為零，又因為物體在豎直方向向下運動，所以運動速率將逐漸增大，若假設(shè)物體能夠沿球面或某一大于 R 的新的圓弧做圓周運動，則所需的向心力應不斷增大。而重力沿半徑方向的分力逐漸減少，對以上兩種情況又不能提供其他相應的指向圓心的力的作用，故不能提供不斷增大的圖 39 圖 310 圖 311 圖 38 第 7 頁 共 41 頁 向心力，所以不能維持圓周運動。 【 解析 】 物體應該 立即離開半圓球做平拋運動，故選 D。 【 總結(jié) 】 當物體到達最高點，速度等于 gR 時，半圓對物體的支持力等于零，所以接下來物體的運動不會沿著半圓 面，而是做平拋運動。 （ 6）圓周運動的應用 。 ①受力分析：如圖所示 312 火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓心，成為使火車拐彎的向心力。 ②動力學方程：根據(jù)牛頓第二定律得 mgtanθ ＝ mrv20 其中 r 是轉(zhuǎn)彎處軌道的半徑， 0v 是使內(nèi)外軌均不受側(cè)向力的最佳速度。 ③分析結(jié)論：解上述方程可知 20v ＝ rgtanθ 可見，最佳情況是 由 0v 、 r、 θ 共同決定的。 當火車實際速度為 v 時，可有三種可能， 當 v＝ 0v 時，內(nèi)外軌均不受側(cè)向擠壓的力； 當 v＞ 0v 時，外軌受到側(cè)向擠壓的力（這時向心力增大，外軌提供一部分力）； 當 v＜ 0v 時，內(nèi)軌受到側(cè)向擠壓的力（這時向心力減少，內(nèi)軌抵消一部分力）。 還有一些實例和這一模型相同，如自行車轉(zhuǎn)彎，高速公路上汽車轉(zhuǎn)彎等等 我們討 論的火車轉(zhuǎn)彎問題，實質(zhì)是物體在水平面的勻速圓周運動，從力的角度看其特點是：合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在豎直方向，因此物體除了重力外，至少再受到一個力，才有可能使物體產(chǎn)生在水平面做勻速圓周運動的向心力． 實際在修筑鐵路時，要根據(jù)轉(zhuǎn)彎處的半徑 r 和規(guī)定的行駛速度 v0，適當選擇內(nèi)外軌的高度差，使轉(zhuǎn)彎時所需的向心力完全由重力 G 和支持力 FN的合力來提供，如上圖 312 所示 .必須注意，雖然內(nèi)外軌有一定的高度差，但火車仍在水平面內(nèi)做圓周運動，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿 “ 斜面 ” 向上 ， F=Gtgθ =mgtgθ， 故 mgtgθ =mrv20。 汽車靜止在橋頂與通過橋頂是否同種狀態(tài)？不是的，汽車靜止在橋頂、或通過橋頂，雖然都受到重力和支持力。但前者這兩個力的合力為零，后者合力不為零。 汽車過拱橋橋頂?shù)南蛐牧θ绾萎a(chǎn)生？方向如何？汽車在橋頂受到重力和支持力，如圖313 所示，向心力由二者的合力提供，方向豎直向下。 圖 312 圖 313 第 8 頁 共 41 頁 運動有什么特點？①動力學方程： 由牛頓第二定律 G－ 1F ＝ mrv2 解得 1F ＝ G－ m mg=rv2 rvm2 ②汽車處于失重狀態(tài) 汽車具有豎直向下的加速度， 1F ＜ mg，對橋的壓力小于重力．這也是為什么橋一般做成拱形的原因． ③汽車在橋頂運動的最大速度為 rg 根據(jù)動力學方程可知，當汽車行駛速度越大，汽車和橋面的壓力越小，當汽車的速度為rg 時，壓力為零，這是汽車保持在橋頂運動的最大速度，超過這個速度，汽車將飛出橋頂，做平拋運動。 另： c．人騎自行車轉(zhuǎn)彎 由于速度較大，人、車要向圓心處傾斜，與豎直方向成 φ 角，如圖 314所示，人、車的重力 mg 與地面的作用力 F 的合力作為向心力．地面的作用力是地面對人、車的支持力 FN 與地面的摩擦力的合力，實際上仍是地面的摩擦力作為向心力。 由圖知， F 向 =mgtanφ =m rv2 2．圓錐擺 擺線張力與擺球重力的合力提供擺球做勻速圓周運動的向 心力．如圖 315 所示，質(zhì)量為 m的小球用長為 L的細線連接著，使小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動．細線與豎直方向夾角為 α ，試分析其角速度 ω 的大小。 對小球而言，只受兩個力：重力 mg 和線的拉力 T．這兩個力的合力 mgtanα提供向心力，半徑 r＝ Lsinα ，所以由 F＝ mrω 2得， mgtanα ＝ mLsinα ω 2 整理得 ω ＝ ?cos?L g 可見，角速度越大，角 α 也越大。 3．雜技節(jié)目“水流星” 表演時，用一根繩子兩端各拴一個盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面內(nèi)做圓周運動，在最高點杯口朝下，但水不會流下，如圖所示，這是為什么？ 圖 314 圖 315 圖 316 第 9 頁 共 41 頁 分析： 以杯中之水為研究對象進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知： F 向 ＝ m rv2 ，此時重力 G 與 FN的合力充當了向心力即 F 向 ＝ G＋ FN 故： G＋ FN＝ m rv2 由上式可知 v 減小， F 減小 ，當 FN＝ 0 時， v 有最小值為 gr 。 討論： ①當 mg＝ m rv2 ，即 v＝ gr 時，水恰能過最高點不灑出，這就是水能過最高點的臨界條件； ②當 mg＞ m rv2 ，即 v＜ gr 時，水不能過最高點而不灑 出； ③當 mg＜ m rv2 ，即 v＞ gr 時，水能過最高點不灑出，這時水的重力和杯對水的壓力提供向心力。 例 8：繩系著裝有水的水桶，在豎直面內(nèi)做圓周運動，水的質(zhì)量 m＝ kg，繩長 L＝ 60 cm，求： ①最高點水不流出的最小速率。 ②水在最高點速率 v＝ 3 m/s 時，水對桶底的壓力。 【 審題 】 當 v0= gR 時，水恰好不流出，要求水對桶底的壓力和判斷是否能通過最高點，也要和這個速度 v 比較， vv0時，有壓力； v=v0時，恰好無壓力； v≤ v0時，不能到達最高點。 【 解析 】 ①水在最高點不流出的條件是重力不大于水做圓周運動所需要的向心力即 mg＜ Lmv2 ， 則最小速度 v0＝ gR ＝ gL ＝ m/s。 ②當水在最高點的速率大于 v0 時，只靠重力提供向心力已不足，此時水桶底對水有一向下的壓力，設(shè)為 F，由牛頓第二定律 F＋ mg＝ m Lv2 得： F＝ N。 由牛頓第三定律知，水對水桶的作用力 F′＝－ F＝－ N，即方向豎直向上。 【 總結(jié) 】 當速度大于臨界速率時，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因此桶底對 水產(chǎn)生向下的壓力。 例 2：汽車質(zhì)量 m 為 104 kg，以不變的速率先后駛過凹圖 317 第 10 頁 共 41 頁 形路面和凸形路面，路面圓弧半徑均為 15 m，如圖 317 所示．如果路面承受的最大壓力不得超過 2 105 N，汽車允許的最大速率是多少？汽車以此速率駛過路面的最小壓力是多少？ 【 審題 】 首先要確定汽車在何位置時對路面的壓力最大，汽車經(jīng)過凹形路面時，向心加速度方向向上，汽車處于超重狀態(tài)；經(jīng)過凸形路面時，向心加速度向下，汽車處于失重狀態(tài)，所以汽車經(jīng)過凹形路面最低點時，汽車對路面的壓力最大。 【 解析 】 當汽車經(jīng)過凹形路面最低點時，設(shè)路面支 持力為 FN1，受力情況如圖 318 所示，由牛頓第二定律， 有 FN1－ mg＝ mRv2 要求 FN1≤ 2 105 N 解得允許的最大速率 vm＝ m/s 由上面分析知，汽車經(jīng)過凸形路面頂點時對路面壓力最小，設(shè)為 FN2，如圖 319 所示，由牛頓第二定律有 mg－ FN2＝ Rmv2m 解得 FN2＝ 1 105 N。 【 總結(jié) 】 汽車過拱橋時，一定要按照實際情況受力分析，沿加速度方向列式。 （ 7）離心運動 離心現(xiàn)象條件分析 ①做圓周運動的物體，由于本身具有慣性，總是想沿著切線方向運動，只是由于向心力作用，使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運動，如圖 320 中 B 所示。 ②當產(chǎn)生向心力的合外力消失， F＝ 0，物體便沿所在位置的切線方向飛出去，如圖 320 中A 所示。 ③當提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于應當具有的向心力，即合外力不足以提供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運動，如圖 320 所示。 圖 320 圖 318 圖 319 第 11 頁 共 41 頁 在實際中，有一些利用離心運動的機械，這些機械叫做離心機械。離心機械的種類很多，應用也很廣。例 如，離心干燥（脫水）器，離心分離器，離心水泵。 例 9： 一把雨傘邊緣的半徑為 r，且高出水平地面 h．當雨傘以角速度 ω 旋轉(zhuǎn)時，雨滴自邊緣甩出落在地面上成一個大圓周．這個大圓的半徑為 _______。 【 審題 】 想象著實際情況，當以一定速度旋轉(zhuǎn)雨傘時，雨滴甩出做離心運動，落在地上，形成 一個大圓。 【 解析 】雨滴離開雨傘的速度為 v0＝ ωr 雨滴做平拋運動的時間為 t＝gh2 雨滴的水平位移為 s＝ v0t＝ ωrgh2 雨滴落在地上形成的大 圓的半徑為 R＝gωh2+1r=gh2rω+r=s+r222222 【 總結(jié) 】 通過題目的分析，雨滴從傘邊緣沿切線方向，以一定的初速度飛出，豎直方向上是自由落體運動，雨滴做的是平拋運動，把示意圖畫出來，通過示意圖就可以求出大圓半徑。 （ 8）難點突破⑧ —— 圓周運動的功和能 應用圓周運動的規(guī)律解決實際生活中的問題，由于較多知識交織在一起，所以分析問題時利用能量守恒定律和機械能守恒定律的特點作為解題的切入點，可能大大降低難度。 例 9： 使一小球沿半徑為 R 的圓形軌道從最低點上升，那么需給它最小速度為多大時，才能使它達到軌道 的最高點？ 【 審題 】 小球到達最高點 A 時的速度 vA不能為零，否則小球早在到達 A 點之前就離開了圓形軌道。要使小球到達 A 點（自然不脫離圓形軌道），則小球在 A 點的速度必須滿足 Mg+NA=m Rv2A ， 式中， NA為圓形軌道對小球的彈力。上式表示小球在 A 點作圓周運動所需要的向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。當 NA=0 時， vA最小， vA= gR 。這就是說，要使小球到達 A 點，則應該使小球在 A 點具有的速度 vA≥ gR 。 【 解析 】 以小球為研究對象。小球在軌道最高點時，受重力和軌道給的彈力。 小球在圓形軌道最高點 A 時滿足方程 根據(jù)機械能守恒，小球在圓形軌道最低點 B 時的速度滿足方程 2B2A mv21=R2mg+mv21 （ 2） 解 (1)， (2)方程組得 圖 321 第 12 頁 共 41 頁 當 NA=0 時， VB=為最小， VB= gR5 所以在 B 點應使小球至少具有 VB= gR5 的速度，才能使它到達圓形 軌道的最高點 A。 【 總結(jié) 】 在桿和管子的約束下做圓周運動時，可以有拉力和支持力，所以在最高點的速度可以等于零；在圓軌道和繩子的約束下做圓周運動時， 只能有拉力，所以在最高點的速度必須大于 gR 。 （ 9）實驗中常見的圓周運動 綜合題往往以圓周運動和其他物理知識為背景，這類題代表了理科綜合命題方向，要在平日的做題中理解題目的原理，靈活的把握題目。 例 10： 圖 322 甲所示為測量電動機轉(zhuǎn)動角速度的實驗裝置，半徑不大的圓形卡紙固定在電動機轉(zhuǎn)軸上，在電動機的帶動下勻速轉(zhuǎn)動．在圓形卡紙的旁邊垂直安裝一個改裝了的電火花計時器 。 ① 請將下列實驗步驟按先后排序： ． A．使電火花計時器與圓形卡紙保持良好接觸 B．接 通電火花計時器的電源，使它工作起來 C．啟動電動機，使圓形卡紙轉(zhuǎn)動起來 D．關(guān)閉電動機，