【正文】 第 1 頁 共 41 頁 難點(diǎn)之三：圓周運(yùn)動的實(shí)例分析 一、難點(diǎn)形成的原因 對向心力和向心加速度的定義把握不牢固，解題時(shí)不能靈活的應(yīng)用。 圓周運(yùn)動線速度與角速度的關(guān)系及速度的合成與分解的綜合知識應(yīng)用不熟練，只是了解大概，在解題過程中不能靈活應(yīng)用； 圓周運(yùn)動有一些要求思維長度較長的題目，受力分析不按照一定的步驟，漏掉重力或其它力，因?yàn)橐稽c(diǎn)小失誤，導(dǎo)致全盤皆錯(cuò)。 圓周運(yùn)動的周期性把握不準(zhǔn)。 缺少生活經(jīng)驗(yàn)，缺少仔細(xì)觀察事物的經(jīng)歷，很多實(shí)例知道大概卻不能理解本質(zhì)，更不能把物理知識與生活實(shí)例很好的聯(lián)系起來。 二、難點(diǎn)突破 （ 1）勻速圓周運(yùn)動與非勻速圓周運(yùn)動 ，因?yàn)槲矬w的運(yùn)動方向（即速度方向）在不斷變化。圓周運(yùn)動也不可能是勻變速運(yùn)動，因?yàn)榧词故莿蛩賵A周運(yùn)動，其加速度方向也是時(shí)刻變化的。 ：①天體（包括人造天體）在萬有引力作用下的運(yùn)動；②核外電子在庫侖力作用下繞原子核的運(yùn)動；③帶電粒子在垂直勻強(qiáng)磁場的平面里在磁場力作用下的運(yùn)動；④物體在各種外力（重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力等）作用下的圓周運(yùn)動。 ，而速度大小不變。做勻速圓周運(yùn)動的物體，它所受的所有 力的合力提供向心力，其方向一定指向圓心。非勻速圓周運(yùn)動的物體所受的合外力沿著半徑指向圓心的分力，提供向心力，產(chǎn)生向心加速度；合外力沿切線方向的分力，產(chǎn)生切向加速度，其效果是改變速度的大小。 例 1：如圖 31 所示，兩根輕繩同系一個(gè)質(zhì)量 m= 的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的 A、 B 兩處，上面繩 AC 長 L=2m，當(dāng)兩繩都拉直時(shí)，與軸的夾角分別為 30176。和 45176。，求當(dāng)小球隨軸一起在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動角速度為ω =4rad/s 時(shí)，上下兩輕繩拉力各為多少？ 【 審題 】 兩繩張緊時(shí)，小球受的力 由 0 逐漸增大時(shí)，ω可能出 現(xiàn)兩個(gè)臨界值。 【 解析 】 如圖 31 所示，當(dāng) BC 剛好被拉直，但其拉力 T2恰為零，設(shè)此時(shí)角速度為ω 1，AC 繩上拉力設(shè)為 T1，對小球有： mgT ??30cos1 ① ?? 30s inLωm=30s inT AB211 ② 代入數(shù)據(jù)得： srad / ?? ， 要使 BC 繩有拉力，應(yīng)有ω ω 1，當(dāng) AC 繩恰被拉直，但其拉力 T1恰為零，設(shè)此時(shí)角速度為ω 2， BC 繩拉力為 T2，則有 mgT ??45cos2 ③ T2sin45176。 =m 22ω LACsin30176。④ 代入數(shù)據(jù)得：ω 2=。要使 AC 繩有拉力，必須ω ω 2，依題意ω =4rad/sω 2，故 AC 繩已無拉力， AC 繩是松馳狀態(tài)， BC 繩與桿的夾角θ 45176。，對小球有： 圖 31 第 2 頁 共 41 頁 圖 33 mgT ??cos2 T2cosθ =m ω 2LBCsin θ ⑤ 而 LACsin30176。 =LBCsin45176。 LBC= 2 m ⑥ 由⑤、⑥可解得 NT ? ； 01?T 【 總結(jié) 】 當(dāng)物體做勻速圓周運(yùn)動時(shí)，所受合外力一定指向圓心，在圓周的切線方向上和垂直圓周平面的方向上的合外力必然為零。 （ 2）同軸裝置與皮帶傳動裝置 在考查皮帶轉(zhuǎn)動現(xiàn)象的問題中，要注意以下兩點(diǎn)： a、同一轉(zhuǎn)動軸上的各點(diǎn)角速度相等； b、 和同一皮帶接觸的各點(diǎn)線速度大小相等，這兩點(diǎn)往往是我們解決皮帶傳動的基本方法。 例 2： 如圖 32 所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為 r， a 是它邊緣上的一點(diǎn)，左側(cè)是一輪軸，大輪半徑為 4r，小輪半徑為 2r，b 點(diǎn)在小輪上，到小輪中心距離為 r， c 點(diǎn)和 d 點(diǎn)分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則 A． a 點(diǎn)與 b 點(diǎn)線速度大小相等 B． a 點(diǎn)與 c 點(diǎn)角速度大小相等 C． a 點(diǎn)與 d 點(diǎn)向心加速度大小相等 D． a、 b、 c、 d 四點(diǎn)，加速度最小的是 b 點(diǎn) 【 審題 】 分析本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：其一是同一輪軸上的各點(diǎn)角速度 相同；其二是皮帶不打滑時(shí)，與皮帶接觸的各點(diǎn)線速度 大小 相同 。 這兩點(diǎn)抓住了，然后再根據(jù)描述圓周運(yùn)動的各物理量之間的關(guān)系就不難得出正確的結(jié)論 。 【 解析 】由圖 32 可知， a 點(diǎn)和 c 點(diǎn)是與皮帶接觸的兩個(gè)點(diǎn)，所以在傳動過程中二者的線速度 大小 相等，即 va＝ vc，又 v＝ ωR ， 所以 ω ar＝ ω c2 r，即 ω a＝ 2ω c．而 b、 c、 d三點(diǎn)在同一輪軸上，它們的角速度相等，則 ω b＝ ω c＝ ω d＝21ω a，所以選項(xiàng)Ｂ錯(cuò)．又 vb＝ω b r＝ 21ω ar＝ 2va ，所以選項(xiàng) A 也錯(cuò)．向心加速度： aa＝ ω a2r； ab＝ ω b2 r＝（ 2ωa ） 2r＝41ω a2r＝41aa； ac＝ ω c22 r＝（21ω a） 22 r＝ 21ω a2r＝21aa； ad＝ ω d24 r＝（21ω a）24 r＝ ωa2r＝ aa．所以選項(xiàng) C、 D 均正確 。 【 總結(jié) 】 該題除了同軸角速度相等和同皮帶線速度大小相等的關(guān)系外， 在皮帶傳動裝置中，從動輪的轉(zhuǎn)動是靜摩擦力 作 用的結(jié)果．從動輪 受到 的摩擦力帶動輪子轉(zhuǎn)動，故輪子受到的摩擦力方向沿從動輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動方向相同；主動輪靠摩擦力帶動皮帶，故主動輪所受摩擦力方向沿輪的切線與輪的轉(zhuǎn)動方 向相反 。是不是所有 的題目都要是例 1 這種類型的呢？當(dāng)然不是，當(dāng)輪與輪之間不是依靠皮帶相連圖 32 第 3 頁 共 41 頁 轉(zhuǎn)動，而是依靠摩擦力的作用或者是齒輪的嚙合，如圖 33 所示，同樣符合 例 1 的條件。 （ 3）向心力的來源 a． 向心力是根據(jù)力的效果命名的．在分析做圓周運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)， 切記 在物體的作用力（重力、彈力、摩擦力等）以外 不要 再添加一個(gè)向心力 。 b．對于勻速圓周運(yùn)動的問題，一般可按如下步驟進(jìn)行分析： ①確定做勻速圓周運(yùn)動的物體作為研究對象。 ②明確運(yùn)動情況，包括搞清運(yùn)動速率 v，軌跡半徑 R 及軌跡圓心 O 的位置等。只有明確了上述幾點(diǎn)后，才能知道運(yùn)動物體在運(yùn)動過程中所需的向心力大小 ( mv2/R )和向心力方向（指向圓心）。 ③分析受力情況，對物體實(shí)際受力情況做出正確的分析，畫出受力圖，確 定指向圓心的合外力 F（即提供向心力）。 ④選用公式 F=mRv2=mRω 2=mR 22 ??????T?解得結(jié)果。 c．圓周運(yùn)動中向心力的特點(diǎn)： ①勻速圓周運(yùn)動：由于勻速圓周運(yùn)動僅是速度方向變化而速度大小不變，故只存在向心加速度，物體受到外力的合力就是向心力?？梢姡贤饬Υ笮〔蛔?，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，是物體做勻速圓周運(yùn)動的條件。 ②變速圓周運(yùn)動：速度大小發(fā)生變化，向心加速度和向心力都會相應(yīng)變化。求物體在某一點(diǎn)受到的向心力時(shí)，應(yīng)使用該點(diǎn) 的瞬時(shí)速度，在變速圓周運(yùn)動中，合外力不僅大小隨時(shí)間改變，其方向也不沿半徑指向圓心。合外力沿半徑方向的分力（或所有外力沿半徑方向的分力的矢量和）提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向；合外力沿軌道切線方向的分力，使物體產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小。 ③當(dāng)物體所受的合外力 F 小于所需要提供的向心力 mv2/R 時(shí)，物體做離心運(yùn)動。 例 3：如圖 34 所示，半徑為 R 的半球形碗內(nèi)，有一個(gè)具有一定質(zhì)量的物體 A，A 與碗壁間的動摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)碗繞豎直軸 OO/勻速轉(zhuǎn)動時(shí)，物體 A 剛好能緊貼在碗口附近隨碗一起勻速轉(zhuǎn)動而 不發(fā)生相對滑動，求碗轉(zhuǎn)動的角速度． 【 審題 】 物體 A 隨碗一起轉(zhuǎn)動而不發(fā)生相對滑動，則物體做勻速圓周運(yùn)動的角速度ω就等于碗轉(zhuǎn)動的角速度ω。物體 A 做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力方向指向球心 O，故此向心力不是由重力而是由碗壁對物體的彈力提供，此時(shí)物體所受的摩擦力與重力平衡。 【 解析 】 物體 A 做勻速圓周運(yùn)動，向心力： RmFn 2?? 而摩擦力與重力平衡，則有： mgFn ?? 即： ?mgFn ? 由以上兩式可得： ?? mgRm ?2 即碗勻速轉(zhuǎn)動的角速度為： Rg??? 圖 34 第 4 頁 共 41 頁 【 總結(jié) 】 分析受力時(shí)一定要明確向心力的來源，即搞清楚什么力充當(dāng)向心力．本題還考查了摩擦力的有關(guān)知識：水平方向的彈力為提供摩擦力的正壓力，若在剛好緊貼碗口的基礎(chǔ)上，角速度再大，此后摩擦力為靜摩擦力，摩擦力大小不變，正壓力變大。 例 4： 如圖 35 所示，在電機(jī)距軸 O為 r 處固定一質(zhì)量為 m 的鐵塊．電機(jī)啟動后，鐵塊以角速度 ω 繞軸 O 勻速轉(zhuǎn)動．則電機(jī)對地面的最大壓力和最小壓力之差為__________。 【 審題 】鐵 塊在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，其向心力是重力 mg 與輪對它的力 F 的合力．由圓周運(yùn)動的規(guī)律可知：當(dāng) m 轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí) F 最大，當(dāng) m 轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí) F 最小 。 【 解析 】設(shè)鐵塊在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，電機(jī)對其 作 用力分別為 F1和 F2，且都指向軸心，根據(jù)牛頓第二定律有： 在最高點(diǎn)： mg＋ F1＝ mω 2r ① 在最低點(diǎn)： F2－ mg＝ mω 2r ② 電機(jī)對地面的最大壓力和最小壓力分別出現(xiàn)在鐵塊 m 位于最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)，且壓力差的大小為： Δ FN＝ F2＋ F1 ③ 由 ①②③ 式可解得： Δ FN＝ 2mω 2r 【 總結(jié) 】 （ 1）若 m 在最高點(diǎn)時(shí)突然與電機(jī)脫離，它將如何運(yùn)動 （ 2）當(dāng)角速度 ω 為何值時(shí)，鐵塊在最高點(diǎn)與電機(jī)恰無 作 用力 （ 3）本題也可認(rèn)為是一電動打夯機(jī)的原理示意圖 。 若電機(jī)的質(zhì)量為 M，則 ω 多大時(shí)，電機(jī)可以 “ 跳 ” 起來 ?此情況下，對地面的最大壓力是多少 解： （ 1） 做初速度沿圓周切線方向，只受重力的平拋運(yùn)動。 （ 2）電機(jī)對鐵塊無 作 用力時(shí)，重力提供鐵塊的向心力，則 mg＝ mω 12r 即 ω 1＝rg （ 3）鐵塊在最高點(diǎn)時(shí)，鐵塊與電動機(jī)的相互做用力大小為 F1，則 F1＋ mg＝ mω 22r F1＝ Mg 即當(dāng) ω 2≥mr gmM )( ?時(shí)，電動機(jī)可以跳起來，當(dāng) ω 2＝mr gmM )( ?時(shí)，鐵塊在最低點(diǎn)時(shí)電機(jī)對地面壓力最大，則 F2－ mg＝ mω 22r FN＝ F2＋ Mg 解得電機(jī)對地面的最大壓力為 FN＝ 2（ M＋ m） g （ 4）圓周運(yùn)動的周期性 利用圓周運(yùn)動的周期性把另一種運(yùn)動（例如勻速直線運(yùn)動、平拋運(yùn)動）聯(lián)系起來。圓周運(yùn)動是一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動，而另一個(gè)運(yùn)動通常也是獨(dú)立的，分別明確兩個(gè)運(yùn)動過程，注意用時(shí)間相等來聯(lián)系。 在 這類問題中，要注意尋找兩種運(yùn)動之間的聯(lián)系，往往是通過時(shí)間相等來建立聯(lián)系的。同時(shí)，要注意圓周運(yùn)動具有周期性，因此往往有多個(gè)答案。 例 5：如圖 36 所示，半徑為 R 的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉(zhuǎn)動，其正圖 35 圖 36 第 5 頁 共 41 頁 上方 h 處沿 OB方向水平拋出一個(gè)小球，要使球與盤只碰一次，且落點(diǎn)為 B，則小球的初速度 v＝ _________，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度 ω ＝ _________。 【 審題 】 小球做的是平拋運(yùn)動，在小球做平拋運(yùn)動的這段時(shí)間內(nèi)，圓盤做了一定角度的圓周運(yùn)動。 【 解析 】 ①小球做平拋運(yùn)動，在豎直方向上： h＝21gt2 則運(yùn)動時(shí)間 t＝gh2 又因?yàn)樗轿灰茷?R 所以球的速度 v＝tR＝ Rhg2 ②在時(shí)間 t 內(nèi)，盤轉(zhuǎn)過的角度 θ ＝ n 2π ，又因?yàn)?θ ＝ ω t 則轉(zhuǎn)盤角速度： ω ＝tn ?2?＝ 2nπh2g(n＝ 1， 2， 3? ) 【 總結(jié) 】 上題中涉及圓周運(yùn)動和平拋運(yùn)動這兩種不同的運(yùn)動，這兩種不同運(yùn)動規(guī)律在解決同一問題時(shí)， 常常用“時(shí)間”這一物理量把兩種運(yùn)動聯(lián)系起來。 例 6：如圖 37 所示，小球 Q 在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng) Q 球轉(zhuǎn)到圖示位置時(shí)，有另一小球 P 在距圓周最高點(diǎn)為 h 處開始自由下落 .要使兩球在圓周最高點(diǎn)相碰，則 Q球的角速度 ω 應(yīng)滿足什么條件？ 【 審題 】 下落的小球 P 做的是自由落體運(yùn)動，小球 Q 做的是圓周運(yùn)動，若要想碰，必須滿足時(shí)間相等這個(gè)條件。 【 解析 】 設(shè) P 球自由落體到圓周最高點(diǎn)的時(shí)間為 t，由自由落體可得 21gt2=h 求得 t=gh2 Q 球 由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的時(shí)間也是 t，但做勻速圓周運(yùn)動，周期為 T，有 t=(4n+1)4T(n=0， 1， 2， 3?? ) 兩式聯(lián)立再由 T=?π2得 (4n+1)?π2=gh2 所以 ω =2π(4n+1) h2g (n=0， 1， 2， 3?? ) 【 總結(jié) 】 由于圓周運(yùn)動每個(gè)周期會重復(fù)經(jīng) 過同一個(gè)位置，故具有重復(fù)性。在做這類題目圖 37 第 6 頁 共 41 頁 時(shí)，應(yīng)該考慮圓周運(yùn)動的周期性。 （ 5）豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題 圓周運(yùn)動的臨界問