【正文】 位于球心和空穴 中心邊線上、與球心相距 d 的質點 m的引力是多大？ 【 解 析 】 把整個球體對質點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質點的引力之和，即可求解完整的均質球體對球外質點 m 的引力 此引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分對質點的引力 F1與半徑為 R/2 的小球對近質點的引力 F2之和，即 F=F1+F2。 （ 2） 萬有引力定律中的常量 G： 萬有引力定律中的常量 G 是由萬有引力定律 F=2 21rmmG變形求出的， G=F r2/m1m2，數(shù)值是 G=6。 顯然，由于太陽質量一定， K 的數(shù)值僅由太陽質量 M 決定，與其它因素無關。 一般說來，同一物 體的重力隨所在緯度的變化而發(fā)生的變化很小， 有時可以近似認為重力等于萬有引力，即 mg=2 21rmmG。 【 解析】在 赤道附近處的 質量 m=1Kg的物體所受地球的萬有引力為 F=GMm/R2= 1011 1024 1/ ( 106)2 N= 此物體在赤道所需向心力為 F 向 =mω 2R=mR4π 2/T2= 1（606024 XXX） 2 106 N= N。 【 解析】 設地球原來自轉的角速度為 1? ，用 F 表示地球對赤道上的物體的萬有引力 , N表 示 地 面 對 物 體 的 支 持 力 ， 由 牛 頓 第 二 定 律 得 mamRNF ??? 21? ① 由于物體受到的支持力與物體的重力是一對平衡力 ,所以有 mgGN ?? ② 當赤道上的物體“飄”起來時 ,只有萬有引力提供向心力，設此時地球轉動的角速度為 2? ，有 22?mRF ? ③ 聯(lián)立① 、②、 ③ 三式可得 ?12?? aag? ，所以 正確答案為 B 選項。 22 / 火地 RR ＝ P/q2 【 總結 】 由于引力定律公式中只有乘法與除法，故可以運用比例法進行求解。此外，還要注意到每一個選項中給定的兩個物理量能否用得上，只有做好這樣的分析判斷之后，解題才能事半功倍。在此項中人造地球衛(wèi)星是 “環(huán)繞天體“，而地球則是中心天體，又已知人造地球衛(wèi)星的運行速度 v 和運動周期 T，由萬有引力定律與勻速圓周運動規(guī)律可得 hRmvhRGMm ???22)(和222 4)( TmhRG Mm ???，又因為此人造地球衛(wèi)星是 ”近地“衛(wèi)星，則 hR，可視為 h ≈ 0 ，必有 R+h ≈ R ，則以上兩式可分別化為RmvRGMm 22 ? ① 和RTRGmm 222 4?? ② ， 又由于 v=Tr?2，代入 ① 式（當然也可以代入 ② 式）可得，地球的質量為 M=234GTR? 。故 D 選項正確。 人造地球衛(wèi)星在圓軌道上的運行速度是隨著高度的增大而減小的，由于人造地球衛(wèi)星的發(fā)射過程中必須克服地球引力做功，從而增大了衛(wèi)星 的引力勢能，故要將衛(wèi)星發(fā)射到距地球越遠的軌道，需要克服地球的引力做功就越多，在地面上需要的發(fā)射速度就要越大。只要明確這三個特殊速度的物理意義，此題求解也就十分容易。但是否以此速度運行的衛(wèi)星就一定處在 h=870km 的軌道上？還要計算判定。 【 總結 】 以上兩種方法相比，顯然是前一種“判斷選定法”更為簡捷方便，但是要熟知題中給的各個速度的含義，只要排除不合理的答案即可得到正確答案。 GMm/r2 =m v2/r→ v = rGM → v∝１ / r GMm/r2 =mω 2r→ω =3rGM→ω∝１ / 3r GMm/r2=m4π T 2 r/T2→ T=2πGMr3 → T∝ 3r 對于以上各式，“中心天體”（如地球）一定，則其質量 M 是一定的。即 GM= go R2o—— 此即所謂的“黃金代換 ”，可用來作為“ G、 M”與“ go 、 Ro”之間的等量代換。 ② 因為 GMm/r2 =mω 2r，有 ω =3rGM，故，313221 RR??? ＝ 271 ；如果此處運用公式ω =rg而認為ω∝１ / r ，則可得，1221 RR??? ＝ 31 ，顯然也是錯誤的。如果此處運用了 a 向 ＝ g 而認為 a向 軌道半徑無關，則得 ?21aa 1?gg ，必然錯誤， 其原因仍是忘掉了式中“ g”的不同。 如果此處運用了 v= gr ，而認為 v∝ r ，則可得到1221 RRVV ? ＝ 13 ，顯然這是錯誤的。這組公式是由 GMm/r2 =mg 的代換關系得到的，一般適應于已知“ g、 r”而不知“ G、 M”的題目。由于 “天上”的物體（如行星、衛(wèi)星）與地面上的物體雖然遵守相同的牛頓力學定律，但也有本質的區(qū)別，通常在解決衛(wèi)星問題時要特別注重以下三個等量關系： 若萬有引力提供向心力，則有 GMm/r2 =ma 向 若重力提供向心力， 則有 mg= ma 向 若萬有引力等于重力， 則有 GMm/r2 =mg 以上三式不僅表現(xiàn)形式有異，而且其物理意義更是各有不同，必須注意區(qū)別辨析。可得 v=，即此衛(wèi)星的運行速度為 。 對選項 B， v=，是發(fā)射速度，以此速度發(fā)射的人造地球衛(wèi)星會脫離地球的引力范圍，飛到距地球的“無限遠處”（在理論上此衛(wèi)星的軌道半徑 r=∞，其繞地球運行速度 v=0），不會穩(wěn)定運行在 h =870km 的軌道上，故 B 選項錯誤。這顆衛(wèi)星的運行速度為（ ） A、 、 km/s C、 km/s D、 km/s 【 審題 】 題目中敘述的是人造地球衛(wèi)星的“發(fā)射”與“運行”，考查的是人造地球衛(wèi)星的“發(fā)射速度”與“運行速度”的物理意 義。其大小僅隨軌道半徑 r 的增大而減小，與衛(wèi)星的質量、形狀等因素無關。假設有一個在地面上靜止的物體，對其運用萬有引力定律可得： mgRGMm?2，則 M=GgR2。故 B 選項正確。這是解題時必須注意的。離地對表面Ｒ 地 高處： m 地g? =GＭ 地 ② 不能因為物體隨地球自轉所需要的向心力很小而混淆了 萬有引力、重力、向心力的本質區(qū)別。 （ 4）萬有引力、重力、向心力三者間的關系： 地 面 物體隨地球自轉所需向心力 F 向 =mω 2r=mr4π 2/T 由萬有引力 F 引 =GMm/R2提供，F(xiàn) 向 是 F 引 的一個分力，引力 F 引 的另一個分力才是物體的重力 mg， 引力 F 引 是向心力 F 向 和重力 mg 的合力，三者符合力的平行四邊形定則，大小關系是 F 引 ≥ mgF 向 。在地球的兩極上最大，在地球赤道上最小，隨著位置從赤道到兩極的移動而逐漸增大 這種現(xiàn)象不是‘超重’，應該與‘超重’現(xiàn)象嚴格區(qū)別開來。論述此常量的決定因素有哪些 ?此結論是否也適用于地球與月球的系統(tǒng)？ 【 審題 】 本題中行星繞太陽運轉的軌道近似視為圓周軌道時，只要運用萬有引力定律 和向心力公式即可證明得出結論?！行奶?體’相同的天體系統(tǒng)中的常量 K 相同，‘中心天體’不同的天體系統(tǒng)的常量 K也不同。同時，再假想有一顆近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運行，由萬有引力提供向心力的關系求出衛(wèi)星的 R3/T2，由開普勒第三定律得知所有繞地球運行的衛(wèi)星的 r3/T2 值均相等，找出等量關系即可求解。米 2／千克 2，叫作萬有引力恒量）。 開普勒第二定律（面積定律）：太陽和運動著的行星之間的聯(lián)線，在相等的時間內(nèi)掃過的面積總相等。 ⑥ 發(fā)射衛(wèi)星時，火箭要克服地球引力做功。 不高不低 具有特定的位置高度和軌道半徑，高度 H= x107m, 軌道半徑r= x107m. 不偏不倚 同步衛(wèi)星的運行軌道平面必須處于地球赤道平面上，軌道中心與地心重合，只能‘靜止’在赤道上方的特定的點上。只有明確的把握這些類近而相關的知識點的異同時才能正確的分析求解衛(wèi)星問題。 。 例 10： 圖 322 甲所示為測量電動機轉動角速度的實驗裝置，半徑不大的圓形卡紙固定在電動機轉軸上，在電動機的帶動下勻速轉動．在圓形卡紙的旁邊垂直安裝一個改裝了的電火花計時器 。上式表示小球在 A 點作圓周運動所需要的向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。離心機械的種類很多，應用也很廣。 【 總結 】 當速度大于臨界速率時，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因此桶底對 水產(chǎn)生向下的壓力。 3．雜技節(jié)目“水流星” 表演時，用一根繩子兩端各拴一個盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面內(nèi)做圓周運動，在最高點杯口朝下，但水不會流下，如圖所示，這是為什么？ 圖 314 圖 315 圖 316 第 9 頁 共 41 頁 分析： 以杯中之水為研究對象進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可知： F 向 ＝ m rv2 ，此時重力 G 與 FN的合力充當了向心力即 F 向 ＝ G＋ FN 故： G＋ FN＝ m rv2 由上式可知 v 減小， F 減小 ，當 FN＝ 0 時， v 有最小值為 gr 。 汽車靜止在橋頂與通過橋頂是否同種狀態(tài)？不是的，汽車靜止在橋頂、或通過橋頂，雖然都受到重力和支持力。 【 解析 】 物體應該 立即離開半圓球做平拋運動，故選 D。 ③ 不能過最高點的條件： v＜ v 臨界 （實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道） （ 2）如圖 39 球過最高點時，輕質桿對球產(chǎn)生的彈力情況： ① 當 v＝ 0 時， FN＝ mg（ FN為支持力） 。 【 解析 】 ①小球做平拋運動，在豎直方向上： h＝21gt2 則運動時間 t＝gh2 又因為水平位移為 R 所以球的速度 v＝tR＝ R 【 解析 】設鐵塊在最高點和最低點時，電機對其 作 用力分別為 F1和 F2，且都指向軸心，根據(jù)牛頓第二定律有： 在最高點： mg＋ F1＝ mω 2r ① 在最低點： F2－ mg＝ mω 2r ② 電機對地面的最大壓力和最小壓力分別出現(xiàn)在鐵塊 m 位于最低點和最高點時，且壓力差的大小為： Δ FN＝ F2＋ F1 ③ 由 ①②③ 式可解得： Δ FN＝ 2mω 2r 【 總結 】 （ 1）若 m 在最高點時突然與電機脫離，它將如何運動 （ 2）當角速度 ω 為何值時，鐵塊在最高點與電機恰無 作 用力 （ 3）本題也可認為是一電動打夯機的原理示意圖 。求物體在某一點受到的向心力時，應使用該點 的瞬時速度，在變速圓周運動中，合外力不僅大小隨時間改變，其方向也不沿半徑指向圓心。 b．對于勻速圓周運動的問題，一般可按如下步驟進行分析： ①確定做勻速圓周運動的物體作為研究對象。 r＝（ 2ωa ） 2r＝41ω a2r＝41aa； ac＝ ω c2 =LBCsin45176。 例 1：如圖 31 所示，兩根輕繩同系一個質量 m= 的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的 A、 B 兩處，上面繩 AC 長 L=2m，當兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為 30176。 圓周運動的周期性把握不準。圓周運動也不可能是勻變速運動，因為即使是勻速圓周運動，其加速度方向也是時刻變化的。 【 解析 】 如圖 31 所示，當 BC 剛好被拉直，但其拉力 T2恰為零，設此時角速度為ω 1，AC 繩上拉力設為 T1，對小球有： mgT ??30cos1 ① ?? 30s inLωm=30s inT AB211 ② 代入數(shù)據(jù)得： srad / ?? ， 要使 BC 繩有拉力，應有ω ω 1，當 AC 繩恰被拉直，但其拉力 T1恰為零，設此時角速度為ω 2， BC 繩拉力為 T2，則有 mgT ??45cos2 ③ T2sin45176。 例 2： 如圖 32 所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為 r， a 是它邊緣上的一點，左側是一輪軸，大輪半徑為 4r，小輪半徑為 2r，b 點在小輪上，到小輪中心距離為 r， c 點和 d 點分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則 A． a 點與 b 點線速度大小相等 B． a 點與 c 點角速度大小相等 C． a 點與 d 點向心加速度大小相等 D． a、 b、 c、 d 四點，加速度最小的是 b 點 【 審題 】 分析本題的關鍵有兩點：其一是同一輪軸上的各點角速度 相同；其二是皮帶不打滑時，與皮帶接觸的各點線速度 大小 相同 。4 r＝（21ω a）2 ③分析受力情況，對物體實際受力情況做出正確的分析，畫出受力圖，確 定指向圓心的合外力 F（即提供向心力）。 例 3：如圖 34 所示，半徑為 R 的半球形碗內(nèi)，有一個具有一定質量的物體 A，A 與碗壁間的動摩擦因數(shù)為μ，當碗繞豎直軸 OO/勻速轉動時，物體 A 剛好能緊貼在碗口附近隨碗一起勻速轉動而 不發(fā)生相對滑動，求碗轉動的角速度． 【 審題 】 物體 A 隨碗一起轉動而不發(fā)生相對滑動，則物體做勻速圓周運動的角速度ω就等于碗轉動的角速度ω。圓周運動是一個獨立的運動，而另一個運動通常也是獨立的，分別明確兩個運動過程，注意用時間相等來聯(lián)系。 例 6：如圖 37