高三數(shù)學(xué)均值不等式-資料下載頁(yè)
2024-11-06 22:00本頁(yè)面
【正文】 、寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？（2）已知矩形的周長(zhǎng)是36m，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，矩形的面積最大？最大面積是多少？由此題可以得出兩條重要規(guī)律：兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù)時(shí)，它們的和有______值； 兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù)時(shí)，它們的積有______值。等待兩名同學(xué)做完后，適時(shí)終止討論，學(xué)生各就各位。首先針對(duì)黑板上這兩道題發(fā)動(dòng)學(xué)生上來(lái)捉錯(cuò)（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學(xué)生對(duì)定理及應(yīng)用條件的認(rèn)識(shí)。其次，老師根據(jù)剛才巡視掌握的情況，結(jié)合多媒體進(jìn)行有針對(duì)性的講解（重點(diǎn)應(yīng)強(qiáng)調(diào)均值定理的幾何解釋：半徑不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過(guò)程，使定理“形化”），進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)定理的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用能力，初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”第二步：課內(nèi)探究（二）精講點(diǎn)撥 ：求函數(shù)f(x)=2x+x3x(x0)的最大值，及此時(shí)x的值。先和學(xué)生們一起探討該問(wèn)題的解題思路，先拆分再提出“”號(hào)，為使用均值定理創(chuàng)造條件，后由學(xué)生們獨(dú)立完成，教師通過(guò)巡視或提問(wèn)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，通過(guò)多媒體演示來(lái)解決問(wèn)題，該例題主要讓學(xué)生注意定理的應(yīng)用條件及一些變形技巧。2．多媒體展示辨析對(duì)錯(cuò)：?這幾道辨析題先讓學(xué)生們捉錯(cuò)，再由多媒體給出答案，創(chuàng)設(shè)情境加深學(xué)生對(duì)用均值定理求函數(shù)最值時(shí)注意“一正、二定、三相等”的認(rèn)識(shí)（三）有效訓(xùn)練1.(獨(dú)立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()A、y=x+1xB、y=sinx+1sinx(0xp)C、y=+1D、y=tanx+本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，待學(xué)生完成后，隨機(jī)抽取幾名學(xué)生說(shuō)一下答案，選D，應(yīng)該不會(huì)有問(wèn)題。2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長(zhǎng)為一常值C(C0)，當(dāng)α為何值時(shí)，扇形面積最大，并求此最大值。本題若直接運(yùn)用均值不等式不會(huì)出現(xiàn)定值，需要拼湊。待學(xué)生討論過(guò)后，先通答案，a=2時(shí)扇形面積最大值為ctanx(0xp)。若有必要，抽派小組代表到講臺(tái)上講解，及時(shí)反饋矯正。（四）本節(jié)小結(jié)小結(jié)本節(jié)課主要內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)，由學(xué)生總結(jié)，教師完善，不外乎： a+b179。2ab(a,b206。R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”)2a+b2179。a,b206。R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”)+“一正、二定、三相等”。（一）、雙基達(dá)標(biāo)（必做，獨(dú)立完成）：課本第71頁(yè)練習(xí)A、B；已知x1,求y=x+6+x+1的最值；（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：+2若a,b206。R且a+b=1,求a最大值及此時(shí)a,、a0,b0,且求函數(shù)f(x)=1a+9b=1,求a++1x+1(x1)的最小值。通過(guò)作業(yè)使學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，注重分層次設(shè)計(jì)題目，更加關(guān)注學(xué)生的差異。七、板書設(shè)計(jì)：由于本節(jié)采用多媒體教學(xué)，板書比較簡(jiǎn)單，且大部分是學(xué)生的展示。八、效果分析：本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學(xué)模式，通過(guò)學(xué)案導(dǎo)學(xué)，多媒體展示，師生互動(dòng)，生生互動(dòng)。學(xué)生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運(yùn)用均值不等式解決一些較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。但用均值定理求函數(shù)最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”，說(shuō)起來(lái)容易做起來(lái)難，學(xué)生還得通過(guò)反思和課后訓(xùn)練進(jìn)一步體會(huì)。我的說(shuō)課到此結(jié)束，懇請(qǐng)各位評(píng)委和老師們批評(píng)指正，謝謝！第五篇：常用均值不等式及證明證明常用均值不等式及證明證明這四種平均數(shù)滿足Hn163。Gn163。An163。QnL、anaa206。R+，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=L=an時(shí)取“=”號(hào)僅是上述不等式的特殊情形，即D(1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用均值不等式的變形：(1)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有a2+b2179。2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào))，a,b02ab(4)對(duì)實(shí)數(shù)a,b，有a(ab)179。b(ab)a2+b2179。2ab179。0(5)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b，有(8)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有a2+b2+c2179。ab+bc+aca+b+c179。abc(10)對(duì)實(shí)數(shù)a,b,c，有均值不等式的證明：方法很多，數(shù)學(xué)歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A+B)179。An+nA(n1)Bn注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數(shù)學(xué)歸納法)。當(dāng)n=2時(shí)易證；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)ak+1是則設(shè)a1,a2,L,ak+1中最大者，kak+1179。a1+a2+L+ak+1 s=a1+a2+L+ak用歸納假設(shè)下面介紹個(gè)好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函數(shù)f(x),x1,x2,L,xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)，設(shè)f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數(shù)所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）
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