【正文】 x,y),z)xy$z(x+y=z)真命題(4)$xF(f(x,x),g(x,x))$x(2x=x2)真命題(5)F(f(x,a), g(x,a))x+2=2x不是命題(6)x(F(x,y)174。F(f(x,a), f(y,a)))x(x=y174。x+2=y+2)真命題例8(1)~(4)都是閉式, 在I下全是命題.(5)和(6)不是閉式, 在I下(5)不是命題,(6)是命題例9 判斷下列公式的類型:(1)x(F(x)174。G(x))取解釋I1, D1=R，:x是整數(shù)，:x是有理數(shù), 取解釋I2, D2=R，:x是整數(shù)，:x是自然數(shù), 非永真式的可滿足式(2)216。(xF(x))218。(xF(x))這是 216。p218。p 的代換實例, 216。p218。p是重言式，永真式(3)216。(xF(x)$174。yG(y))217。 $yG(y)這是216。(p174。q)217。q的代換實例, 216。(p174。q)217。q是矛盾式矛盾式 例1 消去公式中既約束出現(xiàn)、又自由出現(xiàn)的個體變項真命題 假命題(1)xF(x,y,z)174。 $yG(x,y,z)219。 uF(u,y,z)174。 $yG(x,y,z)換名規(guī)則 219。 uF(u,y,z)174。 $vG(x,v,z)換名規(guī)則或者 219。 xF(x,u,z)174。 $yG(x,y,z)代替規(guī)則219。 xF(x,u,z)174。 $yG(v,y,z)代替規(guī)則(2)x(F(x,y)174。 $yG(x,y,z))219。 x(F(x,y)174。 $tG(x,t,z))換名規(guī)則或者 219。 x(F(x,t)174。 $yG(x,y,z))代替規(guī)則 例2 設個體域D={a,b,c}, 消去下面公式中的量詞:(1)x(F(x)174。G(x))219。(F(a)174。G(a))217。(F(b)174。G(b))217。(F(c)174。G(c))(2)x(F(x)$218。yG(y))219。 xF(x)$218。yG(y)量詞轄域收縮 219。(F(a)217。F(b)217。F(c))218。(G(a)218。G(b)218。G(c))(3)$xyF(x,y)219。 $x(F(x,a)217。F(x,b)217。F(x,c))219。(F(a,a)217。F(a,b)217。F(a,c))218。(F(b,a)217。F(b,b)217。F(b,c))218。(F(c,a)217。F(c,b)217。F(c,c))例3 給定解釋I:(a)D={2,3},(b)(c):x是奇數(shù)，: x=2 218。 y=2，: x=:(1)$x(F(f(x))217。G(x, f(x)))解(F(f(2))217。G(2, f(2)))218。(F(f(3))217。G(3, f(3)))219。(1217。1)218。(0217。1)219。 1(2)$xyL(x,y)解yL(2,y)218。yL(3,y)219。(L(2,2)217。L(2,3))218。(L(3,2)217。L(3,3))219。(1217。0)218。(0217。1)219。 0 例4 證明下列等值式:216。 $x(M(x)217。F(x))219。 x(M(x)174。 216。F(x))證左邊 219。 x 216。(M(x)217。F(x))量詞否定等值式219。 x(216。M(x)218。216。F(x))219。 x(M(x)174。 216。F(x))例5 求公式的前束范式(1)xF(x)$216。217。xG(x)解219。 xF(x)217。x216。G(x)量詞否定等值式 219。 x(F(x)216。217。G(x))量詞分配等值式 解2 219。 xF(x)$216。217。yG(y)換名規(guī)則 219。 xF(x)217。y216。G(y)量詞否定等值式 219。 x(F(x)217。y216。G(y))量詞轄域擴張 219。 xy(F(x)216。217。G(y))量詞轄域擴張第4章 關系 例1 =，求 x, 3y4=2, x+5=y 222。 y=2, x= 3 例2A={0, 1}, B={a, b, c}A180。B={,,}B180。A ={,,}A = {198。}, B = 198。P(A)180。A = {, }P(A)180。B = 198。例3(1)R={ | x,y206。N, x+y={, , , , , }(2)C={ | x,y206。R, x2+y2=1}，其中R代表實數(shù)集合，C是直角坐標平面上點的橫、縱坐標之間的關系，C中的所有的點恰好構(gòu)成坐標平面上的單位圓.(3)R={ | x,y,z206。R, x+2y+z=3}， A={0,1}, B={1,2,3}，R1={}, R2=AB, R3=198。, R4={}，從A到B的關系: R1, R2, R3, R4, ：|A|=n, |B|=m, |AB|=nm, AB 的子集有元關系.|A|=n, A上有 |A|=3, 則 5A={a, b, c, d}, R={,}, R的關系矩陣 MR 和關系圖 GR 如下：233。234。1110249。234。1000234。234。0000235。0100例1R={,}, 則domR =ranR =fldR =例2R={, , , }S={, , , , }R1 =R°S =S°R =個不同的二例3 設A = {a, b, c, d}, R = {,}, 求R的各次冪, R與R2的關系矩陣分別為233。0100249。233。0100249。233。01 234。234。1010234。1010102234。M=234。 M=234。234。0001234。0001234。00 234。234。234。00000000235。235。00235。例1A = {a, b, c}, R1, R2, R3 是 A上的關系, 其中  R1 = {,}  R2 = {,}  R3 = {}00249。233。1234。010=234。01234。0234。00235。0010249。101000000R2自反, R3 反自反, 設A＝{a,b,c}, R1, R2, R3和R4都是A上的關系, 其中R1＝{,}，R2＝{,}  R3＝{,}，R4＝{,} R1 對稱、 對稱， 反對稱， 不對稱、也不反對稱 例3 設A＝{a, b, c}, R1, R2, R3是A上的關系, 其中 R1＝{,} R2＝{,} R3＝{} R1 和 R3 是A上的傳遞關系, 證明若 IA 205。R，則 R 在 A 任取x，x206。A 222。 206。IA 222。 206。R因此 R 在 A 證明若 R=R1 , 則 R 任取206。R 222。 206。R 1 222。 206。R因此 R 在 A 證明若 R∩R1205。IA , 則 R 在 A 任?。牐?06。R 217。206。R 222。 206。R 217。206。R 1222。 206。R∩R 1 222。 206。IA 222。 x=y因此 R 在 A 證明若 R°R205。R , 則 R 在 A 任取，206。R 217。206。R 222。 206。R°R 222。 206。R因此 R 在 A 判斷下圖中關系的性質(zhì), 并說明理由(1)不自反也不反自反；對稱, 不反對稱；不傳遞.(2)反自反, 不是自反；反對稱, 不是對稱；傳遞.(3)自反，不是反自反；反對稱，不是對稱； 設A={a,b,c,d}, R={,}, R和 r(R), s(R), t(R)的關系圖如下圖所示.(1)(2)(3)例1 設 A={1, 2, …, 8}, 如下定義 A上的關系R： R={| x,y?A∧x≡y(mod 3)} 其中 x≡y(mod 3)叫做 x與y 模3相等, 即 x 除以3的余數(shù)與 y , 因為 x?A, 有x≡x(mod 3)x,y?A, 若x≡y(mod 3), 則有y≡x(mod 3)x,y,z?A, 若x≡y(mod 3), y≡z(mod 3), 則有x≡z(mod 3)例2 令A={1, 2, …, 8}，A關于模 3 等價關系R 的商集為A/R = { {1, 4,7}, {2, 5, 8}, {3, 6} } A關于恒等關系和全域關系的商集為：A/IA = { {1},{2}, … ,{8}}A/EA = { {1, 2, … ,8} }例3 設A＝{a, b, c, d}, 給定p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6如下： p 1={{a, b, c},nhcuj7d3}，p 2={{a, b},{c},nhcuj7d3}  p 3={{a},{a, b, c, d}}，p 4={{a, b},{c}}  p 5={198。,{a, b},{c, d}}，p 6={{a,{a}},{b, c, d}} 則p 1和p 2是A的劃分, 給出A＝{1,2,3}上所有的等價關系求解思路：先做出A的所有劃分, 然后根據(jù)劃分寫出 分之間的對應：p 4對應于全域關系EA p 5對應于恒等關系IA p 1, p 2和p 3分別對應于等價關系 R1, R1={,}∪IAR2={,}∪IAR3={,}∪IA 例5設A={1,2,3,4}，在A180。A上定義二元關系 R：,206。R 219。 x+y = u+v，求R A180。A={, , , , , , ，, , , , , , ，}根據(jù)有序?qū)Φ?x+y=2,3,4,5,6,7,8 將A180。A劃分.(A180。A)/R={{}, {,}, {, , }，{, , , }, {, , }，{, }, {}}例6例7已知偏序集的哈斯圖如下圖所示, ={a, b, c, d, e, f, g, h}R={,,，}∪IA例8 設偏序集如下圖所示，求A 的極小元、最小元、極大元、＝{ b, c, d }, 求B 的下界、上界、下 確界、：極小元：a, b, c, g；極大元：a, f, h；, 上界有d 和 f, 最小上界為 函數(shù)例1 設A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, = { f0, f1, … , f7 }, 其中f0={,} f1={,} f2={,} f3={,} f4={,} f5={,} f6={,} f7={,} 例2判斷下面函數(shù)是否為單射, 滿射, 雙射的, 為什么?（1）f : R→R, f(x)= x2+2x1（2）f : Z+→R, f(x)=lnx, Z+為正整數(shù)集（3）f : R→Z, f(x)=235。x（4）f : R→R, f(x)=2x+1（5）f : R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+(1)f : R→R, f(x)= x2+2x1在x=.(2)f : Z+→R, f(x)=lnx單調(diào)上升, , ranf={ln1, ln2, …}.(3)f : R→Z, f(x)= 235。x是滿射的, 但不是單射的, 例如 f()=f()=1.(4)f : R→R, f(x)=2x+1是滿射、單射、雙射的, 因為它是單調(diào)函數(shù)并且ranf=R.(5)f : R+→R+, f(x)=(x2+1)/x有極小值f(1)=A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} 解A={198。,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={ f0, f1, … , f7 }, 其中f0={,}，f1={,}, f2={,}，f3={,}，f4={,}，f5={,}，f6={,}，f7={,}.令f : A→B，f(198。)=f0, f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3，f({1,2})=f4, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f7 例4A=[0,1]B=[1/4,1/2] 構(gòu)造雙射 f : A→B解令f : [0,1]→[1/4,1/2]f(x)=(x+1)/4例5A=Z, B=N，構(gòu)造雙射 f : A→B將Z中元素以下列順序排列并與N中元素對應： Z：0112233 …   ↓↓↓↓↓↓↓ N：0 1 2 4 5 6 … 則這種對應所表示的函數(shù)是： x179。0236。2xf:Z174。N,f(x)=237。238。2x1x0例1 設 f : R→R, g : R→R 236。x2x179。3f(x)=237。 x3238。2 g(x)=x+2求f °g, g° f 和 g 存在反函數(shù), fog:R174。R236。x2+2x179。3fog(x)=237。x3238。0gof:R174。R236。(x+2)2gof(x)=237。238。2x179。1x1 f : R→R不存在反函數(shù)；g : R→R的反函數(shù)是 g1: R→R, g1(x)=x2第6章 圖例1 下述2組數(shù)能成為無向圖的度數(shù)列嗎?(1)3,3,3,4。(2)1,2,2,3解(1).(2)能例2 已知圖G有10條邊, 4個3度頂點, 其余頂點的度數(shù)均小 于等于2, 問G至少有多少個頂點? 解 ，4180。3+2180。(n4)179。2180。10 解得n179。8 例3 已知5階有向圖的度數(shù)列和出度列分別為3,3,2,3,3和 1,2,1,2,1, 求它的入度列 解2,1,1,1,2 例4 證明不存在具有奇數(shù)個面且每個面都具有奇數(shù)條棱的 , 作無向圖G=, 其中 V={v | v為多面體的面}，E={(u,v)| u,v206。V 217。 u與v有公共的棱 217。 u185。v}.根據(jù)假設, |V|為奇數(shù)且v206。V, d(v) 設9階無向圖的每個頂點的度數(shù)為5或6, 證明它至少有 (1)a=0, b=9。(2)a=2, b=7。(3)a=4, b=5。(4)a=6, b=3。(5)a=8, b=1(1)~(3)至少5個6度頂點,(4)和(5)至少6個5度頂點方法二假設b95=, a 179。 6 例6 畫出4階3條邊的所有非同構(gòu)的無向簡單圖解 總度數(shù)為6, 分配給4個頂點, 最大度為3, 且奇度頂點數(shù) 為偶數(shù), 有下述3個度數(shù)列:(1)1,1,1,3。(2)1,1,2,2。(3)0,2,2,1,1,3 1,1,2,2例7 畫出3個以1,1,1,2,2,3為度數(shù)列的非同構(gòu)的無向簡單圖 0,2,2,2例1 右圖有 個面 R1的邊界:a R2的邊界:bce R3的邊界:fgR0的邊界:abcdde, fgdeg(R1)=1 deg(R2)=3 deg(R3)=2 deg(R0)=8 例2 (1)中是外部面, 在(2)中是內(nèi)部面。R2在(1)中是內(nèi)部面, 在(2) R1 R3 R2(1)R2R1(2)說明:(1)一個平面圖可以有多個不同形式的平面嵌入, 它們都同構(gòu).(2)可以通過變換(測地投影法)把平面圖的任何一面作為外部面 例3 證明 K5 和 K3,3不是平面圖證 K5 : n=5, m=10, l=3K3,3 : n=6, m=9, l=4例,3同胚也可收縮到K3,3與K5同胚也可收縮到K5 例6 畫出所有非