【正文】 }。六、（10分）若函數(shù)f：A→B是雙射，則對(duì)任意x∈A，有f1(f(x))＝x。－證明對(duì)任意的x∈A，因?yàn)閒：A→B是函數(shù)，則∈f，于是－由f－1是B到A的函數(shù)，于是可寫為f1(f(x))＝x。－七、（10分）若G為有限群，則|G|＝|H|[G:H]。證明設(shè)[G:H]＝k，aa…、ak分別為H的k個(gè)左陪集的代表元，G=U[ai]R=UaiHi=1i=1kk又因?yàn)閷?duì)H中任意不同的元素x、y∈H及a∈G，必有a*x≠a*y，所以|a1H|＝…＝|akH|＝|H|。因此|G|=|UaiH|=i=1k229。|aH|=k|H|＝|H|[G:H]。ii=1k八、（20分）（1）畫出3階2條邊的所有非同構(gòu)有向簡單圖。解：由握手定理可知，所畫的有向簡單圖各結(jié)點(diǎn)度數(shù)之和為4，且最大出度和最大入度均小于或等于2。度數(shù)列與入度列、出度列為： 1：入度列為0、1或0、0或0、1；出度列為0或0、1或0、0 0：入度列為0；出度列為0 四個(gè)所求有向簡單圖如圖所示。（2）設(shè)G是n(n≥4)階極大平面圖，則G的最小度d≥3。證明設(shè)v是極大平面圖G的任一結(jié)點(diǎn)，則v在平面圖G－{v}的某個(gè)面f內(nèi)。由于G－{v}是一個(gè)平面簡單圖且其結(jié)點(diǎn)數(shù)大于等于3，所以d(f)≥3。由G的極大平面性，v與f上的結(jié)點(diǎn)之間都有邊，因此d(v)≥3。由v的任意性可得，G的最小度d≥3。離散數(shù)學(xué)試題（B卷答案10）一、（10分）使用將命題公式化為主范式的方法，證明(P174。Q)174。(P∧Q)219。(Q174。P)∧(P∨Q)。證明：因?yàn)?P174。Q)174。(P∧Q)219。216。(216。P∨Q)∨(P∧Q)219。(P∧216。Q)∨(P∧Q)(Q174。P)∧(P∨Q)219。(216。Q∨P)∧(P∨Q)219。(P∧216。Q)∨(216。Q∧Q)∨(P∧P)∨(P∧Q)219。(P∧216。Q)∨P219。(P∧216。Q)∨(P∧(Q∨216。Q))219。(P∧216。Q)∨(P∧Q)∨(P∧216。Q)219。(P∧216。Q)∨(P∧Q)所以，(P174。Q)174。(P∧Q)219。(Q174。P)∧(P∨Q)。二、（10分）證明下述推理： 如果A努力工作，那么B或C感到愉快；如果B愉快，那么A不努力工作；如果D愉快那么C不愉快。所以，如果A努力工作，則D不愉快。解 設(shè)A：A努力工作；B、C、D分別表示B、C、D愉快；則推理化形式為： A174。B∨C，B174。216。A，D174。216。CA174。216。D(1)A 附加前提(2)A174。B∨C P(3)B∨C T(1)(2)，I(4)B174。216。A P(5)A174。216。BT(4)，E(6)216。B T(1)(5)，I(7)C T(3)(6)，I(8)D174。216。C P(9)216。D T(7)(8)，I(10)A174。216。D CP三、（10分）證明xy(P(x)174。Q(y))219。($xP(x)174。yQ(y))。xy(P(x)174。Q(y))219。xy(216。P(x)∨Q(y))219。x(216。P(x)∨yQ(y))219。x216。P(x)∨yQ(y)219。216。$xP(x)∨yQ(y)219。($xP(x)174。yQ(y))四、（10分）設(shè)A＝{198。，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)197。B。解 P(A)＝{198。，{198。}，{1}，{{1}}，{198。，1}，{198。，{1}}，{1，{1}}，{198。，1，{1}}} P(B)－{0}＝{198。，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{198。，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)197。B＝{198。，{0}，{{0}}，{0，{0}}197。{0，{0}}＝{198。，0，{{0}}，{0，{0}}五、（15分）設(shè)X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元關(guān)系，R＝{，，，，}(1)畫出R的關(guān)系圖。(2)寫出R的關(guān)系矩陣。(3)說明R是否是自反、反自反、對(duì)稱、傳遞的。解(1)R的關(guān)系圖如圖所示：(2)R的關(guān)系矩陣為：230。1231。231。0M(R)=231。1231。231。1232。101110110246。247。0247。 0247。247。0247。248。(3)對(duì)于R的關(guān)系矩陣，由于對(duì)角線上不全為1，R不是自反的；由于對(duì)角線上存在非0元，R不是反自反的；由于矩陣不對(duì)稱，R不是對(duì)稱的；經(jīng)過計(jì)算可得230。1231。231。0M(R2)=231。1231。231。1232。101110110246。247。0247。=M(R)，所以R是傳遞的。247。0247。0247。248。六、（15分）設(shè)函數(shù)f：RR174。RR，f定義為：f()＝。(1)證明f是單射。(2)證明f是滿射。(3)求逆函數(shù)f。(4)求復(fù)合函數(shù)fof和fof。證明(1)對(duì)任意的x，y，x1，y1∈R，若f()＝f()，則＝，x＋y＝x1＋y1，x－y＝x1－y1，從而x＝x1，y＝y(tǒng)1，故f是單射。(2)對(duì)任意的∈RR，令x＝－1－1u+wuwu+wuw，y＝，則f()＝＝，所以f是滿射。22(3)f()＝。22－1(4)fof()＝f(f())＝f－1()＝x+y+xy，2x+y(xy)＝ 2fof()＝f(f())＝f()＝＝。七、（15分）給定群，若對(duì)G中任意元a和b，有a*b＝(a*b)，a*b＝(a*b)，a*b＝(a*b)，試證是Abel群。證明 對(duì)G中任意元a和b。因?yàn)閍*b＝(a*b)，所以a*a*b*b＝a*(a*b)*b，即得a*b＝(b*a)。同33333225513111理，由a*b＝(a*b)可得，a*b＝(b*a)。由a*b＝(a*b)可得，a*b＝(b*a)。于是(a*b)*(b*a)＝(b*a)＝a*b，即b*a＝a*b。同理可得，(a*b)*(b*a)＝(b*a)＝a*b，即b*a＝a*b。3333334344433555444由于(a*b)*b＝a*b＝b*a＝b*(b*a)＝b*(a*b)＝(b*a)*b，故a*b＝b*a。八、（15分）（1）證明在n個(gè)結(jié)點(diǎn)的連通圖G中，至少有n－1條邊。證明 不妨設(shè)G是無向連通圖（若G為有向圖，可略去邊的方向討論對(duì)應(yīng)的無向圖）。設(shè)G中結(jié)點(diǎn)為vv?、vn。由連通性，必存在與v1相鄰的結(jié)點(diǎn)，不妨設(shè)它為v2（否則可重新編號(hào)），連接v1和v2，得邊e1，還是由連通性，在vv?、vn中必存在與v1或v2相鄰的結(jié)點(diǎn)，不妨設(shè)為v3，將其連接得邊e2，續(xù)行此法，vn必與vv?、vn1中的某個(gè)結(jié)點(diǎn)相鄰，得新邊en1，由此可見G中至少有n－1條邊。（2）試給出|V|＝n，|E|＝(n－1)(n－2)的簡單無向圖G＝是不連通的例子。解 下圖滿足條件但不連通。12344333第三篇：2012離散數(shù)學(xué)期末考試真題A《毛概（二）》復(fù)習(xí)提綱中國改革開放的依據(jù)、性質(zhì)、特點(diǎn)、意義、成敗評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，及改革發(fā)展穩(wěn)定三者的關(guān)系及處理原則。依據(jù)：也就是改革開放的背景：國內(nèi)：a“文化大革命”使整個(gè)政治局面處于混亂狀態(tài)b經(jīng)濟(jì)上處于緩慢發(fā)展和停滯狀態(tài)，國民經(jīng)濟(jì)到了崩潰邊緣國際：時(shí)代主題的改變，我國經(jīng)濟(jì)科技實(shí)力與國際先進(jìn)水平差距拉大性質(zhì)：改革開放是黨在新的時(shí)代條件下帶領(lǐng)人民進(jìn)行的新的偉大革命，它不是對(duì)原有經(jīng)濟(jì)體制細(xì)枝末節(jié)的修補(bǔ)，而是對(duì)其進(jìn)行根本性的變革；改革開放是決定當(dāng)代中國命運(yùn)的關(guān)鍵抉擇。特點(diǎn)：我國改革開放 有以下七大特點(diǎn)：在改革的性質(zhì)上，堅(jiān)持社會(huì)主義制度的自我完善和發(fā)展在改革的方向上，堅(jiān)持市場取向在改革的目標(biāo)模式上，選擇建立社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)體制在改革的方法上，堅(jiān)持先易后難、逐步深化、漸進(jìn)式推進(jìn)在改革的總體部署上，堅(jiān)持統(tǒng)籌兼顧，處理好若干重要關(guān)系在改革的動(dòng)力上，既依靠黨和政府的領(lǐng)導(dǎo)，又尊重人民的首創(chuàng)精神在對(duì)改革措施、手段和成果的評(píng)價(jià)上，堅(jiān)持“三個(gè)有利于”標(biāo)準(zhǔn)意義：1 改革開放是決定當(dāng)代中國命運(yùn)的關(guān)鍵抉擇，是發(fā)展中國特色社會(huì)主義，實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的必由之路只有社會(huì)主義才能救中國，只有改革開放才能發(fā)展中國，發(fā)展社會(huì)主義，發(fā)展馬克思主義3 改革開放符合當(dāng)心民心，順應(yīng)時(shí)代潮流，方向和道路完全是正確的，成效和功績不容否定，停頓和倒退沒有出路改革成敗得失的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1992年，在南方談話中，鄧小平明確地提出了“三個(gè)有利于”標(biāo)準(zhǔn)，即要以是否有利于發(fā)展社會(huì)主義社會(huì)的生產(chǎn)力、是否有利于增強(qiáng)社會(huì)主義國家的綜合國力、是否有利于提高人民生活水平作為判斷改革得失成敗的標(biāo)準(zhǔn)。改革發(fā)展穩(wěn)定三者關(guān)系：改革是動(dòng)力，發(fā)展是目的，穩(wěn)定是前提。只有堅(jiān)定不移地推進(jìn)發(fā)展，才能不斷增強(qiáng)綜合國力和國際競爭力，更好地解決前進(jìn)中的矛盾和問題。只有堅(jiān)定不移地推進(jìn)改革，才能為經(jīng)濟(jì)和社會(huì)的發(fā)展提供強(qiáng)大的動(dòng)力。只有堅(jiān)定不移地維護(hù)穩(wěn)定，才能不斷為改革發(fā)展創(chuàng)造有利的條件。實(shí)踐表明，改革，發(fā)展，穩(wěn)定三者關(guān)系處理得當(dāng)，就能總攬全局，保證經(jīng)濟(jì)社會(huì)的順利發(fā)展，處理不當(dāng)，就會(huì)吃苦頭，付出代價(jià)。處理原則：1 保持改革，發(fā)展，穩(wěn)定在動(dòng)態(tài)中的相互協(xié)調(diào)和相互促進(jìn)。把改革的力度，發(fā)展的速度和社會(huì)可以承受的程度統(tǒng)一起來。把不斷改善人民生活作為處理改革，發(fā)展，穩(wěn)定關(guān)系的重要結(jié)合點(diǎn)。（每點(diǎn)的具體解釋在書本169頁）中國對(duì)外開放的依據(jù)、特點(diǎn)與格局依據(jù)：歷史依據(jù)：近代中國落后挨打的主要原因是閉關(guān)鎖國，在社會(huì)主義建設(shè)初期遇到挫折的原因也是 因?yàn)楸黄忍幱诜忾]和半封閉狀態(tài)。時(shí)代依據(jù)： 實(shí)行對(duì)外開放是社會(huì)化大生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)生活國際化的客觀要求。3現(xiàn)實(shí)依據(jù)： 實(shí)行對(duì)外開放是總結(jié)國內(nèi)外歷史經(jīng)驗(yàn)的必然結(jié)果。特點(diǎn)：全方位，多層次，寬領(lǐng)域格局：全方位、多層次、寬領(lǐng)域的對(duì)外開放格局A 全方位： 我國的對(duì)外開放是對(duì)世界所有類型的國家開放，不僅對(duì)發(fā)達(dá)國家，而且也對(duì)發(fā)展中國家，對(duì)原蘇聯(lián)東歐地區(qū)的國家開放。但我們對(duì)外開放的重點(diǎn)還是發(fā)達(dá)國家。B 多層次： 我國的對(duì)外開放經(jīng)歷了由東到西、由點(diǎn)到線、由線到面，由沿海到內(nèi)地逐步推進(jìn)的過程，形成了全國性的對(duì)外開放格局。C 多渠道、寬領(lǐng)域： 就是向世界市場開放，包括商品市場、資本市場、技術(shù)市場、勞務(wù)市場等。商品經(jīng)濟(jì)、市場經(jīng)濟(jì)、社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)、社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)的特點(diǎn)、聯(lián)系和區(qū)別。商品經(jīng)濟(jì)的產(chǎn)生和存在需要兩個(gè)基本經(jīng)濟(jì)條件，第一個(gè)是社會(huì)分工的產(chǎn)生和存在，第二個(gè)是生產(chǎn)資料和勞動(dòng)分工屬于不同的所有者。商品經(jīng)濟(jì)的特點(diǎn)有:市場性；自發(fā)性；競爭性；商品的使用價(jià)值；商品的價(jià)值；具有具體勞動(dòng)和抽象勞動(dòng)。市場經(jīng)濟(jì)的特點(diǎn)：社會(huì)主義經(jīng)濟(jì):社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)的特點(diǎn)：堅(jiān)持以公有制為主體，堅(jiān)持以按勞分配為主體，堅(jiān)持以實(shí)現(xiàn)共同富裕為目標(biāo)。社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)體制是社會(huì)主義基本制度與市場經(jīng)濟(jì)的結(jié)合。一是在所有制結(jié)構(gòu)上，以公有制為主體，多種所有制經(jīng)濟(jì)共同發(fā)展，一切符合“三個(gè)有利于”標(biāo)準(zhǔn)的所有制形式都可以而且應(yīng)該用來為社會(huì)主義服務(wù)。二是在宏觀調(diào)控上，以實(shí)現(xiàn)最廣大勞動(dòng)人民利益為出發(fā)點(diǎn)和歸宿，社會(huì)主義國家能夠把人民的當(dāng)前利益與長遠(yuǎn)利益，局部利益與整體利益結(jié)合起來，使市場在社會(huì)主義國家宏觀調(diào)控下對(duì)資源配置起基礎(chǔ)性作用，更好的發(fā)揮計(jì)劃和市場兩種手段的長處。聯(lián)系和區(qū)別:社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)體制是社會(huì)主義基本制度與市場經(jīng)濟(jì)的結(jié)合。一方面，它必然體現(xiàn)社會(huì)主義的制度特征，另一方面，它又具有市場經(jīng)濟(jì)的一般特征。市場經(jīng)濟(jì)與社會(huì)主義制度結(jié)合。就要堅(jiān)持以公有制為主體，堅(jiān)持以按勞分配為主體，堅(jiān)持以實(shí)現(xiàn)共同富裕為目標(biāo)。市場經(jīng)濟(jì)是一種以市場手段為主的資源配置方式，不屬于社會(huì)經(jīng)濟(jì)制度的范疇。與社會(huì)主義基本制度相結(jié)合而形成的社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)體制，在所有制結(jié)構(gòu)，分配制度和宏觀調(diào)控上具有自身的特征。社會(huì)主義初級(jí)階段的基本經(jīng)濟(jì)制度，公有制經(jīng)濟(jì)成分、主體地位、實(shí)現(xiàn)形式?；窘?jīng)濟(jì)制度：以公有制為主體，多種所有制經(jīng)濟(jì)共同發(fā)展是我國社會(huì)主義初級(jí)階段的一項(xiàng)基本經(jīng)濟(jì)制度。經(jīng)濟(jì)成分：國有經(jīng)濟(jì)和集體經(jīng)濟(jì)，混合所有制經(jīng)濟(jì)中的國有成分和集體成分。主體地位：主體地位主要體現(xiàn)在：一是公有資產(chǎn)在社會(huì)總資產(chǎn)中占優(yōu)勢；二是國有經(jīng)濟(jì)控制國民經(jīng)濟(jì)命脈，對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展起主導(dǎo)作用。國有經(jīng)濟(jì)起主導(dǎo)作用，主要體現(xiàn)在控制力上。實(shí)現(xiàn)形式：公有制的實(shí)現(xiàn)形式可以而且應(yīng)當(dāng)多樣化，一切反應(yīng)社會(huì)化生產(chǎn)規(guī)律的經(jīng)營方式和組織形式都可以大膽利用。要大力發(fā)展國有資本，集體資本和非公有資本等參股的混合所有制經(jīng)濟(jì)，實(shí)現(xiàn)投資主體的多元化，使股份制成為公有制的主要實(shí)現(xiàn)形式。社會(huì)主義初級(jí)階段的基本分配制度。社會(huì)主義初級(jí)階段的基本分配制度是按勞分配為主體、多種分配方式并存的分配制度建設(shè)創(chuàng)新型國家，科技是關(guān)鍵，人才是核心，教育是基礎(chǔ)。206頁科技人才是提高自主創(chuàng)新能力的關(guān)鍵所在。我們要進(jìn)一步營造鼓勵(lì)創(chuàng)新的環(huán)境，努力造就世界一流科學(xué)家和科技領(lǐng)軍人才，注重培養(yǎng)一線的創(chuàng)新人才，使全社會(huì)創(chuàng)新智慧迸發(fā)、各方面創(chuàng)新人才大量涌現(xiàn)，形成強(qiáng)大的自主創(chuàng)新能力，支持我國經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)2020年進(jìn)入創(chuàng)新型國家行列的目標(biāo)。中國特色新型工業(yè)化道路，新在哪里？207頁新型工業(yè)化道路的“新”，就在于它同信息化等現(xiàn)代高科技發(fā)展緊密結(jié)合；注重經(jīng)濟(jì)發(fā)展同資源環(huán)境相協(xié)調(diào)；堅(jiān)持城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展；實(shí)現(xiàn)資金技術(shù)密集型產(chǎn)業(yè)同勞動(dòng)密集型相結(jié)合?！叭r(nóng)”問題與建設(shè)社會(huì)主義新農(nóng)村的總要求。211頁建設(shè)社會(huì)主義新農(nóng)村的總要求是生產(chǎn)發(fā)展、生活寬裕、鄉(xiāng)風(fēng)文明、村容整潔、管理民主。生產(chǎn)發(fā)展，是新農(nóng)村建設(shè)的中心環(huán)節(jié)，是實(shí)現(xiàn)其他目標(biāo)的物質(zhì)基礎(chǔ)。生活寬裕，是新農(nóng)村建設(shè)的目的，也是衡量我們工作的基本尺度。鄉(xiāng)風(fēng)文明，是農(nóng)民素質(zhì)的反應(yīng)，體現(xiàn)農(nóng)村精神文明建設(shè)的要求。村容整潔，是展現(xiàn)農(nóng)村新貌的窗口，是實(shí)現(xiàn)人與環(huán)境和諧發(fā)展的必然要求。管理民主，是新農(nóng)村建設(shè)的政治保證，顯示了對(duì)農(nóng)民群眾政治權(quán)利的尊重和維護(hù)。社會(huì)主義民主政治的本質(zhì)，中國的國體與政體。社會(huì)主義民主政治的本質(zhì)：： 解放生產(chǎn)力，發(fā)展生產(chǎn)力，消滅剝削，消除兩極分化，最終達(dá)到共同富裕。中國國體與政體：工人階級(jí)領(lǐng)導(dǎo)的、以工農(nóng)聯(lián)盟為基礎(chǔ)的人民民主專政，政體是人民代表大會(huì)制度。中國的基本政黨制度的特點(diǎn)和特色特點(diǎn)和特色：共產(chǎn)黨執(zhí)政，多黨派參政，共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)，多黨派合作附：中國基本政黨制度：中國共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的多黨合作和政治協(xié)商制度。基本內(nèi)容：第一，中國共產(chǎn)黨是執(zhí)政黨，中國共產(chǎn)黨和各民主黨派是親密友黨。第二，中國共產(chǎn)黨和各民主黨派合作的政治基礎(chǔ)是堅(jiān)持中國共產(chǎn)黨的領(lǐng)導(dǎo)和堅(jiān)持四項(xiàng)基本原則。第三，中國共產(chǎn)黨和各民主黨派合作的基本方針是“長期共存、互相監(jiān)督、肝膽相照、榮辱與共”。第四，中國共產(chǎn)黨和各民主黨派以憲法和法律為根本活動(dòng)準(zhǔn)則。1我國的民族區(qū)域制度和處理民族關(guān)系問題的基本原則。堅(jiān)持實(shí)行各民族平等、團(tuán)結(jié)、合作和共同繁榮的原則（書上）平等團(tuán)結(jié)互助和諧（網(wǎng)上）1中國基層民主制度及其三大基本類型和特點(diǎn)。農(nóng)村基層民主政治城市社區(qū)民主政治建設(shè)職工代表大會(huì)制度建設(shè)特點(diǎn)自我管理 自我教育 自我服務(wù)不知道正確與否你看看吧1社會(huì)主義法制建設(shè)的基本要求（16字概括）。答：有法可依，有法必依，執(zhí)法必嚴(yán)，違法必究（P238）1結(jié)合實(shí)際，如何認(rèn)識(shí)社會(huì)主義社會(huì)的民主、自由和人權(quán)？答：1：“民主”，由“人民”和“權(quán)力”兩詞合成，意為“人民的政權(quán)”，是人民當(dāng)家作主的意思?！懊裰鳌笔钦?quán)的一種構(gòu)成形式。2：“自由”通常是講政治自由，主要是指公民在法律范圍內(nèi)參與國家政治生活的一種權(quán)利，“自由”是政權(quán)給予公民的政治權(quán)利。3：“人權(quán)“泛指人身自由和其他民主權(quán)利，主要包括生存權(quán)，發(fā)展權(quán)，經(jīng)濟(jì)權(quán)，文化權(quán)等。公民在政治上應(yīng)該享有的自由和民主權(quán)利，一般被稱作“人權(quán)”。（P242）1中