【正文】 d／2。師：這是同學們通過自學獲得的，你們能用什么方法證明這一結論是正確的呢?生1：我可以用尺測量一下直徑和半徑的長度，然后考查它們之間的關系。師：那我們一起用這一方法檢測一下。??師：還有其他方法嗎?生2：通過折紙，我能看出它們的關系。??思考題：兩案例的主要共同點是什么？是否真正了解學生的起點？從線性與非線性的觀點分析兩教法。預測兩教法的教學效果。案例分析：答：兩個案例都注重學生的實踐操作,通過動手操作來理解直徑和半徑的特征及聯(lián)系B教師設計,是學生不斷激活“內存”的過程。建構主義是非常強調個體的經驗的，個體的一切學習活動都是以經驗為基礎展開的，讓學生充分調集和展示經驗，是師生高效對話的前提。我們不僅要充分承認學生不是一張白紙，還要盡可能了解學生已經有了哪些顏色。很明顯，第二位老師已經為學生創(chuàng)設了一次成功的數(shù)學活動，我們可以預測這樣的活動一定能讓學生感受到了數(shù)學的無窮魅力。這種魅力，一方面是因為它承接了學生原有的認知經驗，學生感受到數(shù)學很簡單、很日常、很好玩，有信心，有興趣去學習。另一方面，學生通過多感官的活動，探究這些親切有趣的現(xiàn)象背后的原理，建立一定的數(shù)學模型，培養(yǎng)一定的數(shù)學能力，由此得到更多的發(fā)展空間和持續(xù)動力。二、[案例描述]平行四邊形面積公式推導的教學片斷：⒈教師布置學生獨立思考的內容：我們如何把平行四邊形轉化為已經知道面積公式的平面圖形來研究它的面積公式呢？ ⒉學生合作交流不到2分鐘，當教師發(fā)現(xiàn)有一個小組的同學“過平行四邊形的一個頂點作平行四邊形的高，把平行四邊形分割成一個直角三角形和一個直角梯形，然后再等量拼成一個長方形，所以平行四邊形的面積就是底乘高”的方法后，就立即宣布合作結束。[案例分析]（主要從與合作學習有關的因素的角度上加以分析）答：作為新課程倡導的三大學習方式之一，小組合作學習在形式上成為了有別于傳統(tǒng)教學的一個最明顯特征。它有力地挑戰(zhàn)了教師的“一言堂”的專制，在課堂上給了學生自主、合作的機會，當前，很多教師都已經有意識地把它引入課堂，但很多時候的小組合作只是作了個形式而已。在組織小組合作學習前，你可以先回答下列問題：（1）為什么這節(jié)課（或者這個環(huán)節(jié)）要進行小組合作學習？不用可以嗎？（2）如果要用，什么時候進行？問題怎么提？大概需要多少時間？可能會出現(xiàn)哪些情況？教師該如何點拔、引導？（3）如何把全班教學、小組教學、個人自學三種具體的教學形式結合起來，做到優(yōu)勢互補？（4）學習中，哪些內容適合進行班級集體教學、哪些內容適合小組合作學習、哪些內容適合個人自學？小組合作學習與傳統(tǒng)的教學形式不是替代的關系，而是互補的關系。廣大的教師在小組合作學習的研究和實踐中要有一個科學的態(tài)度，不要從一個極端走向另一個極端，從而將傳統(tǒng)的教學形式說得一無是處。不講原則的過多的合作學習也可能限制學生思考的空間，對學生個人能力的發(fā)展也是不利的。（三）[案例描述]北師大版三年級上冊《需要多少錢》（兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算）的教學片斷：① 出示買賣的情境圖（圖標有泳圈的單價12元，籃球的單價15元）。② 引導學生提出數(shù)學問題。③ 探索算法多樣化。師：買3個球需要多少錢？算式怎樣列？生：153=師：應該怎樣算呢？生1：我用加法15+15+15=30+15=45（元）生2：我用乘法103=30 53=15 30+15=45（元）生3：把15看成3個5，共有9個5，得45（元）師：你喜歡用什么方法？生1：用加法。師：用加法也可以。生2：用乘法。師：好的。④練習133 705 242 135 313 342 244師：你喜歡用什么方法就用什么方法。學生練習時筆者觀察了7位小朋友所用的方法，其中有4位是采用加法的??[案例分析]（主要從算法多樣化與優(yōu)化的層面上加以分析）：答：有的教師認為，如果對算法進行優(yōu)化，那就談不上算法多樣化，似乎多樣化與優(yōu)化之間存在矛盾。其實不然，方法和方法之間根本不存在優(yōu)劣之分，任何優(yōu)越性與不足都是與一定的環(huán)境相聯(lián)系的。算法優(yōu)化是學生個體的學習、體驗與感悟的過程，不是群體或教師的優(yōu)化。對個體而言，是個體對原有的計算方法優(yōu)化的過程，是個體思維發(fā)展、提高的過程。如果不對算法進行優(yōu)化，那么我們的學生就沒有收獲，沒有提高。在優(yōu)化算法的過程，教師必須注意兩點：第一，優(yōu)化的主體是學生，要尊重學生的想法，教師應把選擇判斷的主動權交給學生，優(yōu)化的過程是學生自我完善的過程，產生修正自我的內需，從而“悟”出屬于自己的最佳方法。教師在評價算法時，不要講“優(yōu)點”，而要講“特點”，把優(yōu)點讓學生自己去感悟，這才能達到優(yōu)化的目的。第二，教師要明確“優(yōu)化”并不是統(tǒng)一一種方法，把優(yōu)化的過程作為引導學生主動尋找更好方法的過程，尊重學生的選擇，只要學生認為合適、自己喜歡，教師就應加以肯定和鼓勵。（四）、[案例描述]記得那是一節(jié)順利而精彩的課，上課內容是“分數(shù)的意義”。在課的結尾，教者沒有安排學生圍繞知識點去小結，而是讓學生在小組內、班里用分數(shù)表述一下自己這節(jié)課的學習情緒。令人難忘的是有一位學生在小組里的表述：“我把整節(jié)課的學習情緒看成單位‘1’，高興的占了3份，即3/4高興，遺憾的占了一份，即1/4遺憾。因為面對這么多的老師聽課，我們班的同學一個個都正確地回答了老師的提問，展示了我們班的風采，為班級爭了光，我為我們班而自豪，感到十分高興。我之所以遺憾，是因為整堂課我一直認真思考，積極舉手，許多問題又不難，但老師沒有給我一次機會，我感到很遺憾??”下課后我找到這位同學了解情況：問：小朋友，你知道老師為什么沒讓你發(fā)言嗎？答：老師有可能沒有看到我舉手，也有可能怕我回答不準確吧，因為數(shù)學這門課我學得不太好。問：平時課堂上，老師都叫哪些同學發(fā)言呢？答：差不多都是成績較好的同學。[案例反思]（可以從面向全體的角度分析）：答：這是我們數(shù)學課堂中存在的普遍想象，我們的數(shù)學課堂教學如何來面向全體學生呢？只有最大限度地尊重個體，才有可能真正面向全體，這樣的道理已經很難在傳統(tǒng)的教學組織形式下得以落實。我們想，我們可以采用開展小組合作交流，讓學生的個人想法在小組內得到展示，在小組內得到表現(xiàn)。??（五）案例描述：教學“乘數(shù)是三位數(shù)的乘法”時，原題的內容是一個糧店三月份售出面粉674袋，每袋25千克，一共售出面粉多少千克?這樣一道例題讓學生感覺與自己生活太遠，和白己的關系又不是很密切，所以不能激發(fā)學生學習的興趣，如果照著原例題講，學生肯定會覺得枯燥無味。于是，我們聯(lián)系學生的生活來進行延伸。上課伊始，就讓學生猜測一個滴水的水龍頭每天要白白流掉多少千克水?學生們一聽是生活中經常能遇到的事情，興趣盎然，有的猜測5千克，有的猜測10千克，還有的猜測20千克，有個別學生看到了課后的內容說出來是12千克。教師接著問，照這樣計算，一年要流掉多少千克水?學生馬上算出平年是4380千克，閏年是4392千克。隨著計算結果的出現(xiàn)，學生覺得非常吃驚：“哇!這么多呀!”看著學生吃驚的樣子，教師又提出新的要求：“你家所住的樓房一共有多少戶?如果按一家一個水龍頭計算，一年要白白流掉多少水?”思考題：原題與改動后的題目比較有什么異同（包括與學生生活的聯(lián)系、目標的維度、教學效果）？案例分析答：“乘數(shù)是三位數(shù)的乘法”是一個比較抽象化的數(shù)學知識練習，但是它同樣包含了豐富的過程性學習目標，教師在教學時應提供具體有趣的素材，引導學生通過觀察、比較、思考，使學生獲得“乘數(shù)是三位數(shù)的乘法”的學習體驗，并掌握“乘數(shù)是三位數(shù)的乘法”算理。從上面的兩個情景中，我們可以看出第一個情景，由于學生缺乏真實的體驗，缺少吸引學生的素材，學生很難對這教材產生學習積極性，也不可能很好的參與學習的過程了。不少專家指出，“教科書，只是教與學的工具，決不是唯一的資源”?！按竽懚鴦?chuàng)造性處理教材，甚至重組或改編教材，那時教師的業(yè)務權利”。因此，在第二個教學情景中，老師進行了大膽的替換改造，用學生熟悉的、感興趣的、貼近學生實際的生活素材來取代。在上面的片段中，我們可以深刻體會到學生已初步學會了用數(shù)學的思維方式去觀察、分析周圍世界，并且在這現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的探究活動中，學生加深了對數(shù)學知識的理解與掌握，真正體會到了生活中充滿了數(shù)學，感受到數(shù)學的真諦與價值。