【導讀】性,即頻率分布與總體分布之間的關系,進一步體會用樣本估計總體的思想.解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想和邏輯推理的數(shù)學方法.出總體估計,認識到數(shù)學知識源于生活并指導生活的事實,體會數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.請問從上面的數(shù)據(jù)中你能否看出甲、乙兩名運動員哪一位發(fā)揮比較穩(wěn)定？如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出正確的判斷呢？如下樣本是隨機抽取近年來北京地區(qū)7月25日至8月24日的日最高氣溫.我國是世界上嚴重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了節(jié)約生活用水,頻率分布直方圖的特征是什么？用水量在哪個范圍的居民最多,他們占全市居民的百分比情況等.因此采用抽樣調(diào)查的方式,①計算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差,即求極差；②決定組距與組數(shù)；連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得到頻率分布折線圖.③將各個數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谄淝o右(左)側(cè).

　　

【正文】 x2,…,x n到 x 的 “平均距離 ”是 S= n xxxxxx n |||||| 21 ?????? ?. 由于上式含有絕對值 ,運算不太方便 ,因此 ,通常改用如下公式來計算標準差 : s= ])()()[(1 22221 xxxxxxn n ?????? ?. 意義：標準差用來表示穩(wěn)定性 ,標準差越大 ,數(shù)據(jù)的離散程度就越大 ,也就越不穩(wěn)定 .標準差越小 ,數(shù)據(jù)的離散程度就越小 ,也就越穩(wěn)定 .從標準差的定義可以看出 ,標準差 s≥0,當 s=0時 ,意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣 本平均數(shù) . 標準差還可以用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋 .例如 , 在關于居民月均用水量的例子中 ,平均數(shù) x =，標準差 s=，所以 x +s=, x +2s=； x s=, x 2s=. 這 100 個數(shù)據(jù)中，在區(qū)間［ x 2s,x +2s］ =［ ,］外的只有 4 個，也就是說，［ x 2s, x +2s］幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù) . 從數(shù)學的角度考慮，人們有時用標準差的平方 s2——方差來代替標準差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具： s2=n1 ［ (x1x )2+(x2x )2+…+(x nx )2］ . 顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標準差是一樣的 .但在解決實際問題時，一般多采用標準差 . 需要指出的是 ,現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的 ,總體的平均數(shù)與標準差是不知道的 .如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢 ?通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差 .這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的 .只要樣本的代表性好 ,這樣做就是合理的 ,也是可以接受的 . 兩 者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小 ,實際應用中比較廣泛的是標準差 .如導入中的運動員成績的標準差的計算器計算 . 用計算器計算運動員甲的成績的標準差的過程如下 ： 即 s 甲 =2. 用類似的方法，可得 s 乙 ≈. 由 s 甲 s 乙 可以知道 ,甲的成績離散程度大 ,乙的成績離散程度小 .由此可以估計 ,乙比甲的射擊成績穩(wěn)定 . 應用示例 思路 1 例 1 畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖 ,說明它們的異同點 . (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5； (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6； (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7； (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 分析： 先畫出數(shù)據(jù)的條形圖 ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù) ,利用標準差的計算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標準差 . 解： 四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如下 ： 四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是 ,標準差分別是： ,. 它們有相同的平均數(shù) ,但它們有不同的標準差 ,說明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的 . 例 2 甲 、 乙兩人同時生產(chǎn)內(nèi)徑為 mm 的一種零件 .為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進行評比 ,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出 20件 ,量得其內(nèi)徑尺 寸如下 (單位 :mm): 甲 乙 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高 ? 分析 :每一個工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個總體 .由于零件的生產(chǎn)標準已經(jīng)給出(內(nèi)徑 mm),生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標準差兩個角度來衡量 .總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標準尺寸 mm 的差異大時質(zhì)量低 ,差異小時質(zhì)量高 。當總體的平均數(shù)與標準尺寸很接近時 ,總體的標準差小的時候質(zhì)量高 ,標準差大的時候質(zhì)量低 .這樣 ,比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量 ,只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個總體的平均數(shù)與標 準差的大小即可 .但是 ,這兩個總體的平均數(shù)與標準差都是不知道的 ,根據(jù)用樣本估計總體的思想 ,我們可以通過抽樣分別獲得相應的樣本數(shù)據(jù) ,然后比較這兩個樣本的平均數(shù) 、 標準差 ,以此作為兩個總體之間差異的估計值 . 解： 用計算器計算可得 甲x ≈， 乙x ≈。 s 甲 ≈,s乙 ≈. 從樣本平均數(shù)看 ,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標準 ( mm),但是差異很小 。從樣本標準差看 ,由于 s 甲 s 乙 ,因此甲 生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的穩(wěn)定程度高得多 .于是 ,可以作出判斷 ,甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些 . 點評： 從上述例子我們可以看到 ,對一名工人生產(chǎn)的零件內(nèi)徑 (總體 )的質(zhì)量判斷 ,與所抽取的零件內(nèi)徑 (樣本數(shù)據(jù) )直接相關 .顯然 ,我們可以從這名工人生產(chǎn)的零件中獲取許多樣本 .這樣 ,盡管總體是同一個 ,但由于樣本不同 ,相應的樣本頻率分布與平均數(shù) 、 標準差等都會發(fā)生改變 ,這就會影響到我們對總體情況的估計 .如果樣本的代表性差 ,那么對總體所作出的估計就會產(chǎn)生偏差 。樣本沒有代表性時 ,對總體作出錯誤估計的可能性就非常大 .這也正是我們在前面講隨機 抽樣時反復強調(diào)樣本代表性的理由 .在實際操作中 ,為了減少錯誤的發(fā)生 ,條件許可時 ,通常采取適當增加樣本容量的方法 .當然 ,關鍵還是要改進抽樣方法 ,提高樣本的代表性 . 變式訓練 某地區(qū)全體九年級的 3 000名學生參加了一次科學測試 ,為了估計學生的成績 ,從不同學校的不同程度的學生中抽取了 100名學生的成績?nèi)缦拢? 100分 12人 ,90分 30人 ,80分 18人 ,70分 24人 ,60分 12人 ,50分 4人 . 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該地區(qū) 3 000名學生的平均分、合格率（ 60或 60 分以上均屬合格） . 解： 運用計算器計算得： 100 450126024701880309012100 ??????????? =, (12+30+18+24+12)247。100=96%, 所以樣本的平均分是 ,合格率是 96%,由此來估計總體 3 000名學生的平均分是 分 ,合格率是 96%. 思路 2 例 1 甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù) 5 年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位： t/hm2） ,試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定 . 品種 第 1年 第 2年 第 3年 第 4年 第 5年 甲 10 乙 解： 甲品種的樣本平均數(shù)為 10,樣本方差為 ［（ ） 2 +（ ） 2+（ ） 2+（ 1010） 2+（ ） 2］ 247。5=. 乙品種的樣本平均數(shù)也為 10,樣本方差為 ［（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2+（ ） 2］ 247。5=. 因為 ,所以 ,由這組數(shù)據(jù)可以認為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定 . 例 2 為了保護學生的視力 ,教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換 .已知某校使用的100只日光燈在必須 換掉前的使用天數(shù)如下 ,試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差 . 天數(shù) 151—180 181—210 211—240 241—270 271—300 301—330 331—360 361—390 燈泡數(shù) 1 11 18 20 25 16 7 2 分析： 用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應日光燈的使用壽命 ,再求平均壽命 . 解： 各組中值分別為 165,195,225,255， 285,315,345,375,由此算得平均數(shù)約為 1651%+195 11%+22518%+25520%+28525%+31516%+3457%+3752%=≈268(天 ). 這些組中值的方差為101［ 1(165268)2+11(195268)2+18(225268)2+20(255268)2+ 25(285268)2+16(315268)2+7(345268)2+2(375268)2］ =2 (天 2). 故所求的標準差約 ≈46（天） . 答：估計這種日光燈的平均使用壽命約為 268天 ,標準差約為 46 天 . 知能訓練 （ 1）在一次歌手大獎賽上 ,七位評委為歌手打出的分數(shù)如下： ,,去掉一個最高分和一個最低分后 ,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為 ____________. （ 2）若給定一組數(shù)據(jù) x1,x2,…,x n,方差為 s2,則 ax1,ax2,…,ax n的方差是 ____________. (3)在相同條件下對自行車運動員甲、乙兩人進行了 6次測試 ,測得他們的最大速度 (單位： m/s)的數(shù)據(jù)如下： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 試判斷選誰參加某項重大比賽更合適？ 答案： （ 1） , （ 2） a2s2 (3) 甲x ＝ 33， 乙x ＝ 33, 337347 22 ??? 乙甲 ss , 乙的成績比甲穩(wěn)定 ,應選乙參加比賽更合適 . 拓展提升 某養(yǎng)魚專業(yè)戶在一個養(yǎng)魚池放入一批魚苗 ,一年以后準備出售 ,為了在出售以前估計賣掉魚后有多少收入 ,這個專業(yè)戶已經(jīng)了解到市場的銷售價是每千克 15 元 ,請問 ,這個專業(yè)戶還應該了解什么？怎樣 去了解？請你為他設計一個方案 . 解： 這個專業(yè)戶應了解魚的總重量 ,可以先捕出一些魚（設有 x 條） ,作上標記后放回魚塘 ,過一段時間再捕出一些魚（設有 a 條） ,觀察其中帶有標記的魚的條數(shù) ,作為一個樣本來估計總體 ,則 魚塘中魚的總條數(shù) 魚的條數(shù)魚塘中所有帶有標記的條魚中帶有標記的條數(shù) )( xaa ? 這樣就可以求得總條數(shù) ,同時把第二次捕出的魚的平均重量求出來 ,就可以估計魚塘中的平均重量 ,進而估計全部魚的重量 ,最后估計出收入 . 課堂小結(jié) ： 用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù) ,平均數(shù)對數(shù)據(jù)有 “取齊 ”的作用 ,代表一組數(shù)據(jù)的平均水平 . 用樣本標準差估計總體標準差 .樣本容量越大 ,估計就越精確 ,標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小 ,反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度 . （用樣本的頻率分布估計總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征） ,需要從總體中抽取一個質(zhì)量較高的樣本 ,才能不會產(chǎn)生較大的估計偏差 ,且樣本容量越大 ,估計的結(jié)果也就越精確 . 作業(yè) 習題 7,B組 2. 設計感想 統(tǒng)計學科 ,最大的特點就是與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系 ,也是新教材的亮點 .僅僅想借助 “死記硬背一些概念及公式 ,簡單模仿課本例題 ”來學習 ,是絕對不行的 .用樣本估計總體時 ,如果抽樣的方法比較合理 ,那么樣本可以反映總體的信息 ,但從樣本得到的信息會有偏差 ,其原因在于樣本的隨機性 .這種偏差是不可避免的 .雖然我們從樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正分布、均值和標準差 ,而只是總體的一個估計 ,但這種估計是合理的 ,特別是當樣本的容量很大時 ,它們確實反映了總體的信息 .教師建議：親身經(jīng)歷 “提出問題 ,收集數(shù)據(jù) ,分析數(shù)據(jù) ,并作出合理決策 ”過程 ,在此過程中不僅可以加深對概念等知識的深刻理解 ,更 重要的是發(fā)展了思維 ,培養(yǎng)了分析及解決問題能力 ,同時在情感、意志等領域也得到了協(xié)調(diào)發(fā)展 ,這才是學校學習的科學而全面的目標 ,習題設置有層次 ,盡量源于教材 ,又高于教材 ,這也是高考命題原則 .