【正文】 snacos2a，所以an+bn=(sinna+cosna)(sin2a+cos2a)=。根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進行放縮求解。，b∈R，求證x1+xa+b1+a+b163。a1+a+b1+b。證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=f(x1)f(x2)=x11+x1(x179。0)，首先判斷其單調(diào)性，設(shè)0163。x1x2，因為x21+x2=x1x2(1+x1)(1+x2)0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在[0,+165。]上是增函數(shù)，取x1=a+b，x2=a+b，顯然滿足0163。x1163。x2，所以f(a+b)163。f(|a|+|b|)，即|a+b|1+|a+b|163。|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|163。|a|1+|a|+|b|1+|b|。證畢。第四篇：淺談用放縮法證明不等式淺談用放縮法證明不等式山東省 許 曄不等式的證明是中學數(shù)學教學的重點，也是學生接受時感到頭痛的難點。不等式的證明方法很多。如：比較法（比差商法）、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法、反證法和放縮法等。限于篇幅，下面僅就用放縮法證明不等式的問題加以證明。所謂放縮法，就是針對不等式的結(jié)構(gòu)特征，運用不等式及有關(guān)的性質(zhì)，對所證明的不等式的一邊進行放大或縮小或兩邊放大縮小同時兼而進行，似達到證明結(jié)果的方法。但無論是放大還是縮小都要遵循不等式傳遞性法則，保證放大還是縮小的連續(xù)性，不能牽強附會，須做到步步有據(jù)。比如：證a＜b，可先證a＜h1，成立，而h1＜b又是可證的，故命題得證。利用放縮法證明不等式，既要掌握放縮法的基本方法和技巧，又須熟練不等式的性質(zhì)和其他證法。做到放大或縮小恰到好處，才有利于問題的解決?，F(xiàn)舉例說明用放縮法證明不等式的幾種常用方法。一、運用基本不等式來證明①求證：lg8lg12＜1證明：∵lg8＞0，lg12＞0，而 lg96＜lg100=2 ∴l(xiāng)g8lg12＜：本題應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性利用不等式平均值，不等式兩次放大，使不等式獲證。說明：本題采用了與基本不等式結(jié)合進行放縮的有關(guān)解題技巧。解：∵a2b2≥2ab（當且僅當a=b時，等號成立）同理a2+c2≥2ac（當且僅當a=c時，等號成立）b2＋c2≥2bc（當且僅當b=c時，等號成立）∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（當且僅當a=b=c時，等號成立）∵由已知可得a2+b2＋c2=ab＋bc＋ac，說明：此題完全使用了不等式的基本性質(zhì)便可解此題。二、運用放大、縮小分母或分子的辦法來達到放縮的目的證明：說明：本題觀察數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，采用通項放縮的技巧把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列，從而達到簡化證題的目的。證明：本題說明采用了分別把各項的分母換成最大的2m或最小的m＋1的技巧。③求證：證明：本題說明：此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即放不能太寬、縮不能太窄，真正做到恰到好處。④求證：證明：本題說明，此題采用了通項放縮，使放縮后能拆項相消的技巧。⑤若a、b、c為不全相等的非實數(shù) 求證：證明：∵a、c、b不全為零，上述三式不能全取等號，相加得說明：本題考慮到是齊次對稱式，應(yīng)用不舍棄非負項縮小的技巧。⑥求證：證明：當a＋b=0時，不等式顯然成立。當a＋b≠0時，∵0＜｜a＋b｜≤｜a｜+｜b｜，即：左邊≤：本題是運用了放大分母而縮小一個正分數(shù)的技巧。三、放縮法在數(shù)學歸納法和數(shù)列中的應(yīng)用證明：當n=k+1時，則得本題采用放縮法和數(shù)學歸納法相結(jié)合的解題方法。證明：由遞推公式有：∴x100＞。以上例題足以說明，如果掌握了不等式證明的基本方法，并能巧用放縮法，很多難下手的題型，就能找到解題途徑，使不等式證明簡化。誠然，要掌握放縮法必須掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。第五篇：用放縮法證明不等式1用放縮法證明不等式時間:20090113 10:47 點擊:1230次不等式是高考數(shù)學中的難點，而用放縮法證明不等式學生更加難以掌握。不等式是衡量學生數(shù)學素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學式的變形能力不等式是高考數(shù)學中的難點，而用放縮法證明不等式學生更加難以掌握。不等式是衡量學生數(shù)學素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。放縮法的理論依據(jù)是不等式性質(zhì)的傳遞性，難在找中間量，難在怎樣放縮、怎樣展開。證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)姆趴s方法。⒈利用三角形的三邊關(guān)系［例1］ 已知a，b，c是△ABC的三邊，求證：證明：∴﹥。∵=為增函數(shù)，又∵點評：學生知道要利用三角形的三邊關(guān)系，但無法找到放縮的方法，難在構(gòu)造函數(shù)。⒉利用函數(shù)的單調(diào)性［例2］ 求證：對于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。證明： 原不等式變形為，令 則，所以。即 是單調(diào)增函數(shù)（n=2，3，?），所以。故原不等式成立。點評：一開始學生就用數(shù)學歸納法進行嘗試，結(jié)果失敗，就放棄了。若使不等式的右邊變?yōu)槌?shù)，再用單調(diào)性放縮就好了。⒊利用基本不等式［例3］已知f（x）=x+證明：設(shè)（1）+（2）得(x﹥0)求證：－，（1）（2）點評：用數(shù)學歸納法證明，思路簡單，但是難度很大，可以通過二項式定理展開，倒序法與基本不等式相結(jié)合進行放縮。⒋利用絕對值不等式 ［例4］設(shè)證明：∵=，∴，當，時，總有，求證：。又∵所以∴，∴=7。點評：本題是一道函數(shù)與絕對值不等式綜合題，學生不能找到解題的突破口，關(guān)鍵在于找到a，b，c與f（0），f（1），f（1）的聯(lián)系，再利用絕對值內(nèi)三角形不等式適當放縮。⒌利用不等式和等比數(shù)列求和［例5］求證：。證明：=，利用不等式∴﹤=﹤。點評：有些學生兩次用錯位相減進行放縮，但是沒有找到恰當?shù)淖冃畏趴s，對利用不等式進行放縮不熟悉。若經(jīng)過“湊”與不等式求和放縮就到了。⒍ 利用錯位相減法求和相結(jié)合，再利用等比數(shù)列［例6］已知a1, a2, a3, ??, an, ??構(gòu)成一等差數(shù)列，其前n項和為Sn＝n2, 設(shè)bn＝記{bn}的前n項和為Tn,(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：Tn解：(1)a1＝S1＝1, 當n≥2時, an＝Sn－Sn－1＝2n－1。由于n＝1時符合公式，, ∴ an＝2n－1(n≥1).(2)Tn＝, , ∴ Tn＝ 兩式相減得Tn＝＋＝＋(1－)－, ∴ Tn＝＋(1－)－⒎ 利用裂項法求和［例7］已知函數(shù)在上有定義，且滿足①對任意的②當證明：，則.，則，故.在，且由可得，則由題有，即從而函數(shù)在時，.，所以為，即.點評：本題將數(shù)列與不等式、函數(shù)綜合考查數(shù)學邏輯推理能力，分析問題能力，變形能力，可以用數(shù)學歸納法證明不等式，但學生解題的過程不過完善。若用裂項法進行數(shù)列求和放縮就簡單 ⒏利用二項式定理展開［例8］已知數(shù)列滿足(n∈N*),是的前n項的和，并且．（1）求數(shù)列的前項的和；（2）證明：≤．（3）求證： 解：(1)由題意得兩式相減得所以再相加所以數(shù)列是等差數(shù)列．又又所以數(shù)列的前項的和為．而≤.（3）證明：點評：這是一道很有研究價值的用放縮法證明不等式的典例。考查了與 an 的關(guān)系，有些學生沒有對an中的n進行討論，也沒有合并，雖用了二項式展開，但無法構(gòu)造不等式進行放縮。對第3小題的放縮也可裂項法求和進行放縮。