【正文】 nan+1,且an179。n+2(n=1,2,3,L),求證：11+a1+11+a2+11+a3+L+11+an163。12證明：由an+1=an2nan+1,得：an+1=an(ann)+1, Qann179。2,\an+1179。2an+1,\1+an+1179。2(1+an)0, \11+an+111163。121+an11,于是有：1+a211+a311+a4163。21+a111，122163。21+a211163。11+a111+a1, 163。21+a3163。123，淺談用放縮法證明不等式 4 ??, 11+an163。11163。12n121+an111+a1，1\11+a1+11+a2+11+a3+L+1+an111246。1230。163。231。1++2+L+n1247。222232。248。1+a11=11n21163。21=111+a11+32 增大（減小）不等式一邊的部分項在不等式的證明中,有時候增大或減小不等式一邊的所有項會造成放縮過度,因此, 求證證明：Q122+132+142+L+1n2179。n22n(n206。N，*,n179。2).1n2=1nn121n(n+1)12=1n1n+11 \122133,1314,L,(n1)2（n2）個不等式相加,得 122+132+142+L+1(n1)2121n=n22n\122+132+1n2142+L+n22n1(n1)2+1n2n22n+ 增大（減小）分子或分母的值增大或減小不等式一邊分數(shù)中分子或分母的值, 5 例4 求證+91125+L+1(2n+1)2114(n206。N).*證明：Q1(2k+1)219+125(2k+1)211=14k(k+1)=1230。11246。231。247。(k179。1), 4232。kk+1248。\+L(2n+1)2 1233。230。1246。230。11246。1246。249。230。1234。231。1247。+231。247。+L+231。247。 4235。232。2248。232。23248。232。nn+1248。1230。1246。1231。1247。,4232。n+1248。419125+L+114.=即+ 公式放縮法(2n+1)2即利用已有的大家熟悉的不等式來進行放縮,這里我們主要利用的是均值不等式1以及aba+ma+m,a,b,m206。R,ab(+), 均值不等式例5 若n206。N,n1,求證：(n!)*2233。(n+1)(2n+1)249。：Q12Lnn2221+2+L+nn1622，而12+22+L+n2= 故n1222Lnn 即(n!)2234。235。16n(n+1)(n+2)(n+1)(2n+1)n233。(n+1)(2n+1)249。6 已知:Sn=1180。2+2180。3+L+n180。(n+1)n?均值不等式： a1a2Lan163。a1+a2+L+ann,ai206。R+(i=1,2,Ln).淺談用放縮法證明不等式 6 求證:證明:Qn=n(n+1)2Sn(n+1)180。nn(n+1)n+(n+1)2 \Sn=1180。2+2180。3+L+n180。(n+1) =32+52+L2n+12 n(n+1)2(n+1)22 又Sn=1180。2+2180。3+L+n180。(n+1)1+2+L+n= aba+ma+m,a,b,m206。R,abn(n+1)2(+)a1+a+b1+bc1+[4] 若正數(shù)a,b,c滿足a+bc,求證：證明：Qa+bc,\a+bc0。\c1+cc+(a+bc)1+c+(a+bc)=a1+a+b+b1+a+ba1+a+b1+b， 利用函數(shù)的性質(zhì) 利用特殊函數(shù)的單調(diào)性這里的特殊函數(shù)主要指一些已知單調(diào)性的函數(shù), 求證：log23：我們先給出常規(guī)解法；log23log34=lg3lg2lg4lg32=lg3lg2lg4lg2lg322，230。lg2+lg4246。230。lg8246。230。lg9246。2Qlg2lg4231。247。=231。247。231。247。=lg3，2232。248。232。2248。232。2248。 淮南師范學(xué)院2012屆本科畢業(yè)論文 7 \log23log340,\log23,=log827log816log916= 利用特殊函數(shù)的有界性這里的特殊函數(shù)主要指一些大家熟知有界性的函數(shù),如|sinx|163。1,|cosx|163。1,x2179。[5] 已知a,b為整數(shù),并且a+b163。p,求證：1sina2+1sin2b179。sin22a+： Qa0,b0,a+b163。p，\sina0,sinb0,cos(a+b)cos(ab)163。1，\1sina2+41sin2b179。2sinasinb2=4cos(ab)cos(a+b)179。1cos(a+b)=sin2a+b2.(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號). 利用一般函數(shù)的性質(zhì) 求證a163。3時,證明：令f(n)=1n+11n+1++1n+21n+2+L+13n+113n+12a5,)，+L+(n206。1f(n+1)f(n)==213n+2+13n+3+3n+41n+13(n+1)(3n+2)(3n+4)0.\f(n+1)f(n)，f(n)是增函數(shù),其最小值為f(1),f(n)min=f(1)=12+13+14=1312，淺談用放縮法證明不等式 8 故對一切自然數(shù),f(n)179。13121；再由a163。3,知2a5163。1,比較得： 當(dāng)a163。3時，1n+1+1n+2+L+xx+a213n+12a5, 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=的充要條件是a1.,求證：對任意的x,y206。R,|f(x)f(y)|1證明：利用求導(dǎo)數(shù)、均值不等式或判別式法均可求得：f(x)max=12a,f(x)min=(x)max=1a12a,f(x)min=12a，得163。f(x)f(y)163。1a, ，即|f(x)f(y)|max= 故對x,y206。R，1a|f(x)f(y)|1219。|f(x)f(y)|max1219。1a1219。a 已知an=1230。n1t+231。n2232。t1246。,t206。[,2],Tn是{an}的前n247。2248。n項和230。2246。247。求證:Tn2n231。231。2247。:令f(t)=1230。n1246。231。t+n247。,則: 2232。t248。n230。n11246。+n+1247。 231。t2232。t248。 f162。(t)=令f162。(t)=0,得t= 9 1 當(dāng)2163。t1時, f162。(t)0；當(dāng)1t163。2時, f162。(t)0。12從而可知f(t)在[,1]上遞減,在[1,2]上遞增,故：{f(t)}max=max237。f231。247。,f(2)253。=2n+238。232。2248。254。236。230。1246。252。12n\f(t)163。2n+即an163。2n+12n12n ,n=1,2,L2n249。1233。111230。246。230。246。2nTn163。234。2+2+L+2++231。247。+L+231。247。2234。2232。2248。232。2248。235。n1233。230。1246。249。 =21+234。1231。247。2235。232。2248。234。nn233。249。11230。246。n =2234。1+231。247。2234。232。2248。235。n230。1246。