【文章內(nèi)容簡介】 221231。247。2232。2248。n1230。2246。247。 =2n231。231。2247。232。248。n 綜合法對于比較復雜的不等式證明,(1985年高考題)證明：Qn(n+1)179。n2[7]n(n+1)2=n12+23+L+n(n+1)(n+1)22,(n206。N)n(n+1)2 12+23+Ln(n+1)179。1+2+L+n= 而n(n+1)n(n+1)2 ①1+22+2+32+Ln+(n+1)2 \12+23+Ln(n+1)淺談用放縮法證明不等式 10 = =32+52+L2n+1212+32+52+L2n+12 ②(1+2n+1)(n+1)22=(n+1)①中運用了增減放縮法,② 數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=231。1+232。230。1246。(n179。1) a+247。n2nn+n248。21(Ⅰ)用數(shù)學歸納法證明an179。2(n179。2)；(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)x對x：(Ⅰ)用數(shù)學歸納法證明,略；(Ⅱ)用遞推公式及(Ⅰ)的結論有 an+1=231。1+232。230。111246。246。230。a+163。1++247。231。247。an,(n179。1) n2n2nn+n248。2n+n2248。232。1 兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得： lnan+1163。ln231。1+232。230。1n+n1n+n1n+n222+1246。247。+lnann2248。+12+n163。lnan+n \lnan+1lnan163。12,(n179。1)上式從1到n1求和可得： \lnan+1lnan163。11180。2+12180。3+L+1n(n1)+12+122+L12n1=11230。11246。+231。247。2232。23248。1n12n1230。1246。231。1n247。112232。2248。+L++1n1n12=1+12 11 數(shù)列不等式的證明在數(shù)列不等式的證明中,我們大量采用放縮法,“疊加”模型的數(shù)列不等式,可以利用放縮法對疊加的數(shù)列進行化簡,“疊加”模型指的是形如：a1+a2+L+an163。f(n),這里的163。也可以是179。、或.例15 已知n179。2,n206。N,證明122+132+L+1n2163。n1n證明：Q122112132=11112；=121323；?? 1n21n(n1)=1n11n；各式相加,得：122+132+L+1n211n163。n1n*例16 若Sn=1+12+13+L+1n,n206。N求證：2(n+11)Sn2n證明：Q1k=2k+1kk2k+2k+kk1=2(kk1) 又Q=2k+k+1=2(k+1k) 當k=1,2,3,L,n1,n時, 2(21) 2(32) ??11122((10)221)淺談用放縮法證明不等式 12 2(nn1) 2(n+1n)1n11n22(n1n2)(nn1) 將上式相加,得到：2(n+11)Sn,放縮的主要目的是使不等式裂項相消,也可以組成等差、等比數(shù)列,利用公式求和,或者運用根式有理化后的放縮,探索n項相加的遞推式, 調(diào)整放縮量的大小放縮量的大小,即放縮的“精確度”,縮小多少,把握“度”的火候, 已知Sn=1+(Ⅰ)Sn179。12+13+L+1n,求證：n；(Ⅱ)Sn2(n+11)；(Ⅲ)Sn：(Ⅰ)Sn=1+1n12+13+L+1n1n 179。+1n+L+1n=n=n；(Ⅱ)是(Ⅰ)的加強不等式,為此需調(diào)整放縮幅度, Q1k=22k=22k+k+1k+1(12k,k=1,2,3,L,n) \Sn=1++13+L+1n淮南師范學院2012屆本科畢業(yè)論文 132=2((21+2)()32+L+2)(n+1n)n+11.(Ⅲ)改變放縮方向,故 Q1k=22k=22k+k1(kk1,k=1,2,3,L,n) \Sn=1+2=212+13+L+1n2(10+2)(1+L+2)(nn1)(n).1n!2；(Ⅱ)11!+12!+L+1n!74,(n206。N).例18 求證(Ⅰ)+1!112!+L+證明：(Ⅰ)1n!=1n(n1)(n2)L2112n1122L21=(n179。3) 12!2+1n1 \左邊1+ =2122+123+L+12n1(Ⅱ)是(Ⅰ)的加強不等式,將放縮間距調(diào)整小些,得到：1n!=1n(n1)(n2)L21123n2133L321=(n1163。4) +13!+12 則左邊1+23717 =n2412342!+1233+L+123n2 限制放縮的項和次數(shù)若對不等式中的每一項都進行放縮,很可能造成放得過大或縮得太小,若限制放縮淺談用放縮法證明不等式 14 的項,保留一些特定項不變,可以通過這樣來調(diào)整放縮的“度”,逼近欲證明的目標, 求證112+122+L+1n261361n(n179。3,n206。N).*證明：這是一個常見問題的改編題,我們先給出一般算法： 112+122+L+1n2112+11180。21n+12180。3+L1(n1)n=2 由21n61361n ,顯然放得過大,要減少放大的項；先試試減少一項： 112+122+L+1n2112+122+12180。3+13180。4+L1(n1)n=1+ = 由 11211246。230。11246。230。11246。230。1+231。247。+231。247。+L+231。247。4232。23248。232。34248。232。n1n248。1n74741n：112+122+L+1n2+122+132+13180。4+L1(n1)n=61361n如此可得出, 將不等式的一邊分組進行放縮把不等式的一邊進行分組,將有關聯(lián)的項放在一起進行放縮,不僅可以減少放縮的項,還可以有效地控制放縮的“度”,減少誤差,并且更有方向性, 已知數(shù)列的通項公式是an=3(2)nn(Ⅰ)求證：當k為奇數(shù)時,1ak+1ak+143k+1；淮南師范學院2012屆本科畢業(yè)論文 15(Ⅱ)求證：1a1+1a2+L1an12(n206。N).*證明：(Ⅰ)略(Ⅱ)當n為偶數(shù)時, 1a1+1a2+L1an230。11246。247。+=231。+231。a247。a2248。232。1432230。1230。11246。1246。231。247。+L+231。247。 ++231。a247。231。a247。aa4248。n248。232。3232。n16 =+434+43+L+43n1230。1246。1231。1n247。2232。3248。21an+11a2當n為奇數(shù)時,因為1a11a21an1a10,則：++L++L1an+1an+1246。247。 247。248。230。11246。247。++ =231。231。a247。232。1a2248。432230。1230。11246。1231。247。231。++L++231。a231。aa4247。an+1232。3248。232。n+L+43n+1+434+436=12+1314++1230。1246。1231。1n+1247。2232。3248。21210例21 求證5證明：由于12+13+1214+L+1215=+1216102=1； +1714+14+14+14=144=1；?? ??1210129+12+19+L+121011119++L+=2=1； 99992442221424443291 由1,將