用放縮法處理數(shù)列和不等問(wèn)題教師版(編輯修改稿)
2025-07-04 21:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 令，得， ，又由條件有，上述兩式相減，注意到得 ∴ 所以， ， 所以（2）因?yàn)?，所以，所以；練?xí)：1.（08南京一模22題）設(shè)函數(shù)，已知不論為何實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和，.(Ⅰ) 求實(shí)數(shù)b的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試比較和的大小并證明之.解：(Ⅰ) （利用函數(shù)值域夾逼性）；（II）；（Ⅲ）∵，∴2.（04全國(guó)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：， （1）寫出數(shù)列的前三項(xiàng)，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：（n1）化簡(jiǎn)得：,故數(shù)列{}是以為首項(xiàng), 公比為的等比數(shù)列.故 ∴∴數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為：.⑶觀察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=，如果我們把上式中的分母中的去掉，就可利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來(lái)一起進(jìn)行放縮，嘗試知：，因此，可將保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對(duì)進(jìn)行分類討論，（1）當(dāng)
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