【正文】 創(chuàng)新能力和科學(xué)的思維方法． 任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容主要涉及等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)公式及其應(yīng)用．對(duì)公式的推導(dǎo)，為便于學(xué)生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和問(wèn)題的興趣，另一方面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列中任意的第ｋ項(xiàng)與倒數(shù)第ｋ項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)求等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和的一般方法，這樣自然地過(guò)渡到一般等差數(shù)列的求和問(wèn)題．對(duì)等差數(shù)列的求和公式，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)公式本身的結(jié)構(gòu)特征，弄清前ｎ項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系．為加深對(duì)公式的理解和運(yùn)用，要強(qiáng)化對(duì)實(shí)例的教學(xué)，并通過(guò)對(duì)具體實(shí)例的分析，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解決問(wèn)題的方法．特別是對(duì)實(shí)際問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的模型，恰當(dāng)選擇公式．對(duì)于等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和公式和二次函數(shù)之間的聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸． 教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景，有個(gè)10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問(wèn)題：“1＋2＋3＋…＋100＝？”時(shí)，很快地就算出了結(jié)果．他是怎么算出來(lái)的呢？他發(fā)現(xiàn)1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝10150＝5050．，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和． ？這種方法能否推廣到求一般等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和？二、建立模型對(duì)于數(shù)列｛ａn｝，我們稱ａ1＋ａ2＋…＋ａn為數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn． （1）如何用高斯算法來(lái)推導(dǎo)等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式？ 對(duì)于公差為ｄ的等差數(shù)列｛ａn｝：Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，①依據(jù)高斯算法，將Sn表示為Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．②由此得到等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式小結(jié)：這種方法稱為反序相加法，是數(shù)列求和的一種常用方法．（2）結(jié)合通項(xiàng)公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎樣的公式？（３）兩個(gè)公式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，各反映了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：相同點(diǎn)是利用二者求和都須知道首項(xiàng)ａ1和項(xiàng)數(shù)ｎ；不同點(diǎn)是前者還須要知道ａn，后者還須要知道ｄ．因此，在應(yīng)用時(shí)要依據(jù)已知條件合適地選取公式．公式本身也反映了等差數(shù)列的性質(zhì)：前者反映了等差數(shù)列的任意的第ｋ項(xiàng)與倒數(shù)第ｋ項(xiàng)的和都等于首、末兩項(xiàng)之和，后者反映了等差數(shù)的前ｎ項(xiàng)和是關(guān)于ｎ的沒有常數(shù)項(xiàng)的“二次函數(shù)”．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)和Sn．（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．（2）ａ1＝14．5，ｄ＝，ａn＝32． 注：恰當(dāng)選用公式進(jìn)行計(jì)算．｛ａn｝前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220．由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和的公式嗎？ 分析：將已知條件代入等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和的公式后，可得到兩個(gè)關(guān)于ａ1與ｄ的關(guān)系式，它們都是關(guān)于ａ1與ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1與ｄ，從而得到所求前ｎ項(xiàng)和的公式． 解：由題意知注：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到等差數(shù)列前ｎ項(xiàng)和公式，就是一個(gè)關(guān)于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使學(xué)生能把方程思想和前ｎ項(xiàng)和公式相結(jié)合，再結(jié)合通項(xiàng)公式，對(duì)ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn這五個(gè)量知其三便可求其二．（2）本題的解法還有很多，教學(xué)時(shí)可鼓勵(lì)學(xué)生探索其他的解法．例如，《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》．某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)．據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)500萬(wàn)元．為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元．那么從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 教師引學(xué)生分析：每年“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)數(shù)構(gòu)成公差為５０的等差數(shù)列．問(wèn)題實(shí)質(zhì)是求該數(shù)列的前10項(xiàng)的和．解：根據(jù)題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬(wàn)元．所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列｛ａn｝，表示從2001年起各年投入的資金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50． 那么，到2010年（ｎ＝10），投入的資金總額為答：從2001～2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬(wàn)元．注：教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范應(yīng)用題的解題步驟．｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)和Sn＝ｎ2＋ｎ，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？ 解：根據(jù)由此可知，數(shù)列｛ａn｝是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列．思考：一般地，數(shù)列｛ａn｝前ｎ項(xiàng)和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），這時(shí)｛ａn｝是等差數(shù)列嗎？為什么？ ［練習(xí)］：從時(shí)速10ｋｍ／ｈ開始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果測(cè)試時(shí)間是30ｓ，測(cè)試距離是多長(zhǎng)？ｎ2＋｛ａn｝的前ｎ項(xiàng)的和為Sn＝個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．ｎ＋4，＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和．四、拓展延伸｛ａn｝前ｎ項(xiàng)和Sn為Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ?yàn)槌?shù)且ｐ≠０），則｛ａn｝成等差數(shù)列的條件是什么？，4，3，…的前ｎ項(xiàng)和為Sn，求使Sn最大的序號(hào)ｎ的值．分析1：等差數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和公式可以寫成Sn＝ｎ2＋（ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函數(shù)ｙ＝x2＋（ａ1－）ｘ（ｘ∈N*）．當(dāng)ｘ＝ｎ時(shí)的函數(shù)值．另一方面，容易知道Sn關(guān)于ｎ的圖像是一條拋物線上的一些點(diǎn)．因此，我們可以利用二次函數(shù)來(lái)求ｎ的值．解：由題意知，等差數(shù)列5，4，3，…的公差為－，所以于是，當(dāng)ｎ取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，Sn取最大值． 分析2：因?yàn)楣睿洌?－＜０，所以此數(shù)列為遞減數(shù)列，如果知道從哪一項(xiàng)開始它后邊的項(xiàng)全為負(fù)的，而它之前的項(xiàng)是正的或者是零，那么就知道前多少項(xiàng)的和最大了．即使點(diǎn) 評(píng)然后從中求出ｎ．這篇案例從具體的實(shí)例出發(fā)，引出等差數(shù)列的求和問(wèn)題，在設(shè)計(jì)上，設(shè)計(jì)者注意激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，通過(guò)等差數(shù)列求和公式的探索過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問(wèn)題的能力． 對(duì)例題、練習(xí)的安排，這篇案例注意由淺入深，完整，全面．拓展延伸的設(shè)計(jì)有新意，有深度，符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，有利于學(xué)生理解、掌握這節(jié)內(nèi)容．就總體而言，這篇案例體現(xiàn)了新課程的基本理念，尤其關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力．另外，這篇案例對(duì)于繼承傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)注重“雙基”、關(guān)注學(xué)生的落實(shí)，同時(shí)注意著眼于學(xué)生的全面發(fā)展，有比較好的體現(xiàn)。