等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和全面總結(jié)-資料下載頁(yè)
2025-08-05 15:48本頁(yè)面
【正文】 解析 由等差數(shù)列性質(zhì) a3+a6+a10+a13 =(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32, ∴ a8=8.∴ m=8.B {an}中，若 an1an+1=0 (n∈ N*， n≥2) ，則 S2 009等于 （ ） 009 018 解析 ∵ =an1+an+1=2an,an≠0,∴ an=2. ∴ Sn=2n,S2 009=22 009=4 018.D二、填空題7.（ 2022 遼寧） 等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn,且 6S55S3=5,則 a4= . 解析 由題意知 6 +45d=15(a1+3d)=15a4=5,故 a4= .8.（ 2022 全國(guó) Ⅱ ） 設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為Sn, 若 a5=5a3,則 = . 解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為 d,首項(xiàng)為 a1, 則由 a5=5a3知 a19 Sn為等差數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和，若 a2∶ a4= 7∶6 ，則 S7∶ S3等于 . 解析 ∵2∶1三、解答題 {an}中， a1=1,3anan1+anan1=0 (n≥2).（ 1）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；（ 2）求數(shù)列 {an}的通項(xiàng) .（ 1） 證明 因?yàn)?3anan1+anan1=0 (n≥2), 整理得 =3 (n≥2). 所以數(shù)列 是以 1為首項(xiàng)， 3為公差的等差數(shù)列 .（ 2） 解 由（ 1）可得 =1+3(n1)=3n2, 所以 an= {an}中， a1= ， an=2 (n≥2, n∈ N*),數(shù)列 {bn}滿足 bn= (n∈ N*). （ 1）求證：數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 {an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由. （ 1） 證明 因?yàn)?an=2 (n≥2, n∈ N*),bn= 所以當(dāng) n≥2 時(shí)， bnbn1= 又 b1= 所以，數(shù)列 {bn}是以 為首項(xiàng)，以 1為公差的等差數(shù)列 .（ 2） 解 由（ 1）知， bn=n ,則 an= 設(shè)函數(shù) f(x)=1+ 易知 f(x)在區(qū)間 (∞, ) 和 ( ,+∞) 內(nèi)為減函數(shù) . 所以，當(dāng) n=3時(shí)， an取得最小值 1； 當(dāng) n=4時(shí)， an取得最大值 3. {an}中， a1=5且 an=2an1+2n1 (n≥2 且n∈ N*).（ 1）求 a2,a3的值；（ 2）是否存在實(shí)數(shù) ，使得數(shù)列 為等差數(shù)列 , 若存在，求出 的值；若不存在 ,請(qǐng)說明理由 . 解 （ 1） ∵ a1=5， ∴ a2=2a1+221=13， a3=2a2+231=33.（ 2） 方法一 假設(shè)存在實(shí)數(shù) ，使得數(shù)列 為等 差數(shù)列，設(shè) bn= ,由 {bn}為等差數(shù)列，則有 2b2=b1+b3,∴2 解得 =1.事實(shí)上，綜上可知，存在實(shí)數(shù) =1,使得數(shù)列 為等差數(shù)列 .方法二 假設(shè)存在實(shí)數(shù) ,使得 為等差數(shù)列 .設(shè) bn= ,由 {bn}為等差數(shù)列，則有 2bn+1=bn+bn+2 (n∈ N*)，∴ 2∴ =4 an+14anan+2=2(an+12an)(an+22an+1)=2(2n+11)(2n+21)=1，綜上可知，存在實(shí)數(shù) =1,使得數(shù)列 為等差數(shù)列 . 返回
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