時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)-資料下載頁
2025-04-29 12:06本頁面
【正文】 nb n. 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第二章 數(shù)列 欄目導(dǎo)引 解析： 方法一 ：設(shè) an＝ a1＋ ( n － 1) d ， bn＝ b1＋ ( n － 1) e . 取 n ＝ 1 ，則a1b1＝S1T1＝12，所以 b1＝ 2 a1. 所以SnTn＝na1＋n ? n － 1 ?2dnb1＋n ? n － 1 ?2e＝a1＋n － 12db1＋n － 12e＝a1＋n2d －d22 a1＋n2e －e2＝2 n3 n ＋ 1， 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第二章 數(shù)列 欄目導(dǎo)引 故 en2＋ (4 a1－ e ) n ＝32dn2＋??????3 a1－32d ＋d2n ＋ a1－d2. 從而??????? a1－d2＝ 0 ，4 a1－ e ＝ 3 a1－ d ，e ＝32d .即????? d ＝ 2 a1，e ＝ 3 a1. 所以anbn＝2 n － 13 n － 1. 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第二章 數(shù)列 欄目導(dǎo)引 方法二 ：設(shè) Sn＝ an2＋ bn ， Tn＝ pn2＋ qn ( a ， b ， p ， q 為常數(shù) ) ， 則SnTn＝an ＋ bpn ＋ q＝2 n3 n ＋ 1，所以 3 an2＋ (3 b ＋ a ) n ＋ b ＝ 2 pn2＋2 qn ， 從而????? 3 a ＝ 2 p ，3 b ＋ a ＝ 2 q ，b ＝ 0 ，即????? a ＝ 2 q ，b ＝ 0 ，p ＝ 3 q ，所以 Sn＝ 2 qn2， Tn＝3 qn2＋ qn . 當(dāng) n ＝ 1 時， a 1b1＝ S 1T1＝ 12 ；當(dāng) n ≥ 2 時， a nbn＝ S n － S n － 1Tn － T n － 1＝ 2 n － 13 n － 1 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第二章 數(shù)列 欄目導(dǎo)引 等差數(shù)列的前 n 項和有如下的性質(zhì)． ( 1) 若 { a n } 為等差數(shù)列，前 n 項和為 S n ，則 S n ， S 2 n － S n ，S 3 n － S 2 n ， … 也為等差數(shù)列． ( 2) 等差數(shù)列 { a n } 中，數(shù)列??????????S nn仍為等差數(shù)列． ( 3) 等差數(shù)列 { a n } 中，若 S m ＝ S p ( m ≠ p ) ，則 S m ＋ p ＝ 0. 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第二章 數(shù)列 欄目導(dǎo)引 ( 4) 在等差數(shù)列 { an} 中， ① 若項數(shù)為偶數(shù) 2 n ，則 S2 n＝ n ( a1＋ a2 n) ＝ n ( an＋ an ＋ 1)( an，an ＋ 1為中 間兩項 ) ； S 偶 － S 奇 ＝ nd ；S 奇S 偶＝anan ＋ 1. ② 若項數(shù)為奇數(shù) 2 n － 1 ，則 S2 n － 1＝ (2 n － 1) an； S 奇 － S 偶＝ an；S 奇S 偶＝nn － 1. ( 5) 若數(shù)列 { an} 與 { bn} 均為等差數(shù)列，且前 n 項和分別是Sn和 Tn，則ambm＝S2 m － 1T2 m － 1. 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第二章 數(shù)列 欄目導(dǎo)引 ◎ 已知一個數(shù)列的前 n項和為 Sn＝ n2＋ n－ 1，求它的通項公式，問它是等差數(shù)列嗎？ 【 錯解 】 an＝ Sn－ Sn－ 1＝ (n2＋ n－ 1)－ [(n－ 1)2＋ (n－ 1)－ 1]＝ 2n，又 an－ an－ 1＝ 2n－ 2(n－ 1)＝ 2，即數(shù)列每一項與前一項的差是同一個常數(shù)， ∴ {an}是等差數(shù)列． 【 錯因 】 已知數(shù)列的前 n項和 Sn，求數(shù)列的通項 an時，需分類討論，即分 n≥2與 n＝ 1兩種情況． 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第二章 數(shù)列 欄目導(dǎo)引 【正解】 當(dāng) n ≥ 2 時， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ ( n2＋ n － 1) － [( n － 1)2＋ ( n － 1) － 1] ＝ 2 n ； 當(dāng) n ＝ 1 時， a 1 ＝ S 1 ＝ 1. ∴ a n ＝????? 1 ， n ＝ 12 n ， n ≥ 2. ∵ a 2 － a 1 ＝ 4 － 1 ＝ 3 ≠ 2 ， ∴ 數(shù)列 { a n } 中每一項與前一項的差不是同一個常數(shù)， ∴ { a n } 不是等差數(shù)列 . 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第二章 數(shù)列 欄目導(dǎo)引 練考題、驗?zāi)芰?、輕巧奪冠
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