時等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)-資料下載頁
2025-04-29 12:06本頁面
【正文】 就是建立了等差數(shù)列的前 n項和這一數(shù)學模型，以方程為工具解決問題的． 預(yù)習學案 課堂講義 課時作業(yè) 工具 第一章 數(shù)列 欄目導引 4． 從 4月 1日開始 ， 有一新款服裝投入某商場銷售 .4月 1日該款服裝售出 10件 ， 第二天售出 25件 ， 第三天售出 40件 ， 以后每天售出的件數(shù)分別遞增 15件 ， 直到 4月 12號日 銷售量達到最大 ， 然后 ， 每天售出的件數(shù)分別遞減 10件 ． (1)記從 4月 1日起該款服裝日銷售量為 an， 銷售天數(shù)為 n，1≤n≤30， 求 an與 n的關(guān)系； (2)求 4月份該款服裝的總銷售量； (3)按規(guī)律 ， 當該商場銷售此服裝超過 1 200件時 ， 社會上就開始流行 ， 當此服裝的銷售量連續(xù)下降 ， 且日銷售量低于 100件時 ， 則此服裝在社會上不再流行 ． 試問：該款服裝在社會上流行是否超過 10天 ？ 說明理由 ． 預(yù)習學案 課堂講義 課時作業(yè) 工具 第一章 數(shù)列 欄目導引 解析： (1)設(shè)從 4月 1日起該款服裝的日銷售量構(gòu)成數(shù)列{an}． 由題意知 ， 數(shù)列 a1， a2， ? ， a12是首項為 10， 公差為 15的等差數(shù)列 ， ∴ an＝ 15n－ 5(1≤n≤12且 n∈ N＋ )． 而 a13， a14， a15? ， a30是首項為 a13＝ a12－ 10＝ 165， 公差為－ 10的等差數(shù)列 ， ∴ an＝ 165＋ (n－ 13) (－ 10) ＝－ 10n＋ 295(13≤n≤30且 n∈ N＋ )． 預(yù)習學案 課堂講義 課時作業(yè) 工具 第一章 數(shù)列 欄目導引 ∴ an＝????? 15 n － 5 1 ≤ n ≤ 12 且 n ∈ N ＋－ 10 n ＋ 295 13 ≤ n ≤ 30 且 n ∈ N ＋. (2) 4 月份該款服裝的總銷售量為 12 ? a1＋ a12?2＋ 18 a13＋? 30 － 12 ? ? 30 － 12 － 1 ? ? － 10 ?2 ＝12 ? 10 ＋ 175 ?2＋ 18 165 ＋18 17 ? － 10 ?2 ＝ 2 550( 件 ) ． (3) 4 月 1 日至 4 月 12 日的銷售總量為 1 2 ? a1＋ a12?2＝12 ? 10 ＋ 175 ?2＝ 1 1 10 ＜ 1 200 ， 預(yù)習學案 課堂講義 課時作業(yè) 工具 第一章 數(shù)列 欄目導引 ∴ 4 月 12 日前該款服裝在社會上還沒有流行． 由－ 10 n ＋ 295 ＜ 100 ，得 n ＞392， ∴ 第 20 天該款服裝在社會上不再流行． ∴ 該款服裝在社會上流行沒有超過 10 天． 預(yù)習學案 課堂講義 課時作業(yè) 工具 第一章 數(shù)列 欄目導引 等差數(shù)列前 n 項和的常用性質(zhì) ( 1) 項數(shù) ( 下標 ) 的 “ 等和 ” 性質(zhì)： Sn＝n ? a1＋ an?2＝n ? am＋ an － m ＋ 1?2 ( 2) 等差數(shù)列 { an} 中，數(shù)列??????????Snn仍為等差數(shù)列． ( 3) 等差數(shù)列 { an} 中，若 Sm＝ p ， Sp＝ m ( m ≠ p ) ， 則 Sm ＋ p＝－ ( m ＋ p ) ． 預(yù)習學案 課堂講義 課時作業(yè) 工具 第一章 數(shù)列 欄目導引 ( 4) 等差數(shù)列 { an} 中，若 Sm＝ Sp( m ≠ p ) ，則 Sm ＋ p＝ 0. ( 5) 在等差數(shù)列 { an} 中， ① 若項數(shù)為偶數(shù) 2 n ，則 S2 n＝ n ( a1＋ a2 n) ＝ n ( an＋ an ＋1)( an， an ＋ 1為中間兩項 ) ； S 偶 － S 奇 ＝ nd ；S 奇S 偶＝anan ＋ 1. ② 若項數(shù)為奇數(shù) 2 n － 1 ，則 S2 n － 1＝ (2 n － 1) an； S 奇 － S 偶 ＝an；S 奇S 偶＝nn － 1. ( 6) 若數(shù)列 { a n } 與 { b n } 均為等差數(shù)列，且前 n 項和分別是S n 和 T n ，則a mb m＝S 2 m － 1T 2 m － 1. ( 7) 若 { a n } 為等差數(shù)列，前 n 項和為 S n ，則 S n ， S 2 n － S n ，S 3 n － S 2 n ， ? 也為等差數(shù)列． 預(yù)習學案 課堂講義 課時作業(yè) 工具 第一章 數(shù)列 欄目導引 ◎ 已知兩個等差數(shù)列 { a n } 和 { b n } 的前 n 項和分別為 S n 和T n ，且對一切正整數(shù) n 都有S nT n ＝5 n ＋ 32 n ＋ 7，試求a 9b 9 的值． 【錯解】 設(shè) S n ＝ (5 n ＋ 3) k ， T n ＝ (2 n ＋ 7) k ， k ≠ 0 ， 則 a 9 ＝ S 9 － S 8 ＝ (5 9 ＋ 3) k － (5 8 ＋ 3) k ＝ 5 k ， b 9 ＝ T 9 － T 8 ＝ (2 9 ＋ 7) k － (2 8 ＋ 7) k ＝ 2 k ， 所以a 9b 9＝52. 預(yù)習學案 課堂講義 課時作業(yè) 工具 第一章 數(shù)列 欄目導引 【錯因】 此解答錯在根據(jù)條件S nT n＝5 n ＋ 32 n ＋ 7，設(shè) S n ＝ (5 n＋ 3) k ， T n ＝ (2 n ＋ 7) k ，這是把等差數(shù)列前 n 項和誤認為是關(guān)于 n 的一次函數(shù)，沒有準確把握前 n 項和公式的特點． 【正解】 因為 { a n } 和 { b n } 是公差不為 0 的等差數(shù)列， 故設(shè) S n ＝ n (5 n ＋ 3) k ， T n ＝ n (2 n ＋ 7) k ， k ≠ 0 ， 則 a 9 ＝ S 9 － S 8 ＝ 9 (5 9 ＋ 3) k － 8 (5 8 ＋ 3) k ＝ 88 k ， b 9 ＝ T 9 － T 8 ＝ 9 (2 9 ＋ 7) k － 8 (2 8 ＋ 7) k ＝ 41 k ， 所以a 9b 9＝8841. 預(yù)習學案 課堂講義 課時作業(yè) 工具 第一章 數(shù)列 欄目導引 練考題、驗?zāi)芰Α⑤p巧奪冠
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