高中數(shù)學241平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義素材新人教a版必修4-資料下載頁
2024-12-05 06:47本頁面
【導讀】例1已知|a|＝4，|b|＝5，當a∥b；a⊥b；a與b的夾角為60°時，分別求a與。[解析]∵a∥b，若a與b同向，則θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝4×5＝20；若a與b反向，則θ＝180°，當a⊥b時，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝0.例2已知|a|＝4，e為單位向量，它們的夾角為2π3，則a在e方向上的投影是____________；又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×cosπ3＝252，＝25＋25＋25＝53，[分析]易知a＋b＋c＝0，分別將a、b、c移至等號右邊，得到三個等式，分別平方可得a·b、兩式相減可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.
【正文】 。 a，選取兩個等式相減即可得到 a、 b、 c中兩個向量的長度之間的關系． [解析 ] 在 △ ABC中，易知 AB→＋ BC→＋ CA→＝ 0， 即 a＋ b＋ c＝ 0， 因此 a＋ c＝－ b， a＋ b＝－ c， 從而????? ?a＋ b?2＝ ?－ c?2，?a＋ c?2＝ ?－ b?2， 兩式相減可得 b2＋ 2a b－ c2－ 2a c＝ c2－ b2， 則 2b2＋ 2(a b－ a c)＝ 2c2， 因為 a b＝ c a＝ a c， 所以 2b2＝ 2c2，即 |b|＝ |c|. 同理可得 |a|＝ |b|，故 |AB→|＝ |BC→|＝ |CA→|，即 △ ABC是等邊三角形．
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