20xx年中考數(shù)學(xué)第三輪沖刺復(fù)習(xí)：二次函數(shù)解答題專題練習(xí)-資料下載頁
2025-10-08 20:25本頁面
【正文】 點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，∠BPD的度數(shù)最大？（請直接寫出結(jié)果）【解答】解；（1）C（0，3）∵CD⊥y，∴D點縱坐標(biāo)是3，∵D在y＝上，∴D（2，3），將點A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，∴a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）M（1，4），B（3，0），作M關(guān)于y軸的對稱點M＇，作D關(guān)于x軸的對稱點D＇，連接M＇D＇與x軸、y軸分別交于點N、F，則以M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小即為M＇D＇+MD的長；∴M＇（﹣1，4），D＇（2，﹣3），∴M＇D＇直線的解析式為y＝﹣x+，∴N（，0），F(xiàn)（0，）；（3）設(shè)P（0，t），∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP＝，tan∠PBO＝，令y＝tan∠BPD＝，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9＝0，△＝﹣15y2+30y+1＝0時，y＝（舍）或y＝，∴t＝﹣，∴t＝9﹣2，∴P（0，9﹣2）；1如圖，頂點為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）問在y軸上是否存在一點P，使得△PAM為直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（3）若在第一象限的拋物線下方有一動點D，滿足DA＝OA，過D作DG⊥x軸于點G，設(shè)△ADG的內(nèi)心為I，試求CI的最小值．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點A（3，0），B（﹣1，0）∴解得：∴這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+2x+3（2）在y軸上存在點P，使得△PAM為直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴頂點M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20設(shè)點P坐標(biāo)為（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2①若∠PAM＝90176。，則AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣∴P（0，﹣）②若∠APM＝90176。，則AP2+MP2＝AM2∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90176。，則AM2+MP2＝AP2∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝∴P（0，）綜上所述，點P坐標(biāo)為（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）時，△PAM為直角三角形．（3）如圖，過點I作IE⊥x軸于點E，IF⊥AD于點F，IH⊥DG于點H∵DG⊥x軸于點G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90176?！嗨倪呅蜪EGH是矩形∵點I為△ADG的內(nèi)心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形設(shè)點I坐標(biāo)為（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化簡得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方得：（m﹣）2+（n+）2＝∴點I（m，n）與定點Q（，﹣）的距離為∴點I在以點Q（，﹣）為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運動∴當(dāng)點I在線段CQ上時，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值為．1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．（1）連結(jié)BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD，交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側(cè)），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是線段OC上一動點，當(dāng)MN取得最大值時，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值時，把點P向上平移個單位得到點Q，連結(jié)AQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0176。＜α＜360176。），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點G．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點G，使得∠Q＇＝∠Q＇OG？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）∵點D為拋物線的頂點，且＝＝1，＝＝﹣4∴點D的坐標(biāo)為D（1，﹣4）∴直線BD的解析式為：y＝2x﹣6，由題意，可設(shè)點N（m，m2﹣2m﹣3），則點F（m，2m﹣6）∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3∴當(dāng)m＝＝2時，NF取到最大值，此時MN取到最大值，此時HF＝2，此時，N（2，﹣3），F(xiàn)（2，﹣2），H（2，0）在x軸上找一點K（，0），連接CK，過點F作CK的垂線交CK于點J點，交y軸于點P，∴sin∠OCK＝，直線KC的解析式為：y＝，且點F（2，﹣2），∴PJ＝PC，直線FJ的解析式為：y＝∴點J（，）∴FP+PC的最小值即為FJ的長，且|FJ|＝∴|HF+FP+PC|min＝；（2）由（1）知，點P（0，），∵把點P向上平移個單位得到點Q∴點Q（0，﹣2）∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90176。，AQ＝，取AQ的中點G，連接OG，則OG＝GQ＝AQ＝，此時，∠AQO＝∠GOQ把△AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0176。＜α＜360176。），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點G①如圖2G點落在y軸的負半軸，則G（0，﹣），過點Q＇作Q＇I⊥x軸交x軸于點I，且∠GOQ＇＝∠Q＇則∠IOQ＇＝∠OA＇Q＇＝∠OAQ，∵sin∠OAQ＝＝＝∴sin∠IOQ＇＝＝＝，解得：|IO|＝∴在Rt△OIQ＇中根據(jù)勾股定理可得|OI|＝∴點Q＇的坐標(biāo)為Q＇（，﹣）；②如圖3，當(dāng)G點落在x軸的正半軸上時，同理可得Q＇（，）③如圖4當(dāng)G點落在y軸的正半軸上時，同理可得Q＇（﹣，）④如圖5當(dāng)G點落在x軸的負半軸上時，同理可得Q＇（﹣，﹣）綜上所述，所有滿足條件的點Q′的坐標(biāo)為：（，﹣），（，），（﹣，），（﹣，﹣）
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