【正文】 5。0,+yx2x+y2=0,21x2cos2+yx2249。1,x2+y22+y2185。0，x+y2=0,lim182。f182。xlim182。f182。y而x174。0y174。0與x174。0y174。0不存在，故偏導數(shù)在點（0，0）不連續(xù)。22249。233。1,（3）Dz=234。(Dx)+(Dy)sin22235。(Dx)+(Dy)233。Dz234。flim235。r174。0(0,0)Dx+fx2249。(0,0)Dyy2=limr174。0rsin1=0，2(Dx)+(Dy)r所以f(x,y)在點（0,0）可微，且全微分dz=（下冊）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學出版社 2008 P57∽P59，P63∽P65 數(shù)學分析 內容、方法與技巧(下)孫清華 孫昊 華中科技大學出版社 20011 P259∽264六、可積與連續(xù)的之間內的關系(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上一定存在可導函數(shù)F(x),使對任一x206。I,都有F39。(x)=f(x).即連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)。定積分存在的第二充要條件可以證明若有界函數(shù)f(x)在[a,b] 內具有無窮多個不連續(xù)點，但這些不連續(xù)點存在一個極限點，那么f(x)在[a,b]上可積。（1）[a,b]上的連續(xù)函數(shù)在[a,b]上必可積。證明：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必定是一致連續(xù)的，所以對任意的ε0，存在δ0，對于[a,b]上任意兩點x39。,x”,只要x39。x“pd,就有f(x39。)f(x”)p一分法a=x。xxLLx12n1eba。只要對[a,b]的任,在每一個部分區(qū)xnmax236。252。=b滿足l=237。Dx253。dii254。238。間234。x233。249。,x(i=1,2,3,LL,n)上wi235。i1n163。ieba。所以ss=229。wDxi=1i163。ieba(ba)=e這就證明了連續(xù)函數(shù)一定可積。（2）只有有限個第一類不連續(xù)點點函數(shù)是可積的，即分段連續(xù)函數(shù)是可積的。定理（積分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上連續(xù)，g(x)在[a,b]上不變號，且在[a,b]上可積，則在[a,b]中存在一點x，使 baf(x)g(x)dx=f(x)242。g(x)dx。ab定理設f(x)在[a,b]上可積，作函數(shù)F(x)=242。xa則F(x)是[a,b]上的f(t)dt(a163。x163。b)，連續(xù)函數(shù)。證明：設x是[a,b]上任一點，由于f(x)在[a,b]上可積，所以f(x)有界，設f(x)163。M(M為常數(shù)），于是 F(x+Dx)F(x)=x+Dxxx+Dxx+Dx242。af(t)dt242。af(t)dt=242。xf(t)dt163。242。xf(t)dt163。MDx，從而當Dx174。0時，F(xiàn)(x+Dx)F(x)174。0，這就證明了F(x)的連續(xù)性。例9 設f(x)在[a,b]連續(xù)，f(x)f(x)179。0,f(x)不恒為零，求證：242。f(x)dx0。ab206。[a,b], 證明：Qf(x)179。0,f(x)不恒為零，\$x。Qf(x)在x。點連續(xù)，(x)0,12\對e。=f(x。),$d0。當x206。[x。d,x。+d]時，有f(x)f(x。)e。=\f(x)于是12f(x。)，12bf(x。)f(x)dx=242。a242。x。daf(x)dx+242。x。+dx。df(x)dx+242。bx。+df(x)dx179。0+242。x。+dxdf(x)dx242。x。+d12x。df(x。)dx=f(x。)d當x。=a時，閉區(qū)間[a,a+d].當x。=b時，閉區(qū)間[bd,b].結論成立注；去掉連續(xù)性，結論未必成立。定理1 若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)G(x)=G39。(x)=f(x)。242。xaf(t)dt必在[a,b]上可導，且基本公式 設f(x)在[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的任意一個原函數(shù)，即F39。(x)=f(x)，那么242。f(x)dx=F(b)F(a)。ab定理2 設f(x)在[a,b]上連續(xù)，作代換x=j(t),其中j(t)在閉區(qū)間[α,β]上有連續(xù)導數(shù)j39。(t),當a163。t163。b時，a163。j(t)163。b,且j(a)=a,j(b)=b，則242。f(x)dx=ab242。abf[j(t)]j39。(t)dt。 若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D連續(xù)，則f(x,y)在D可積（即f(x,y)在D內二重積分存在）。 若函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D連續(xù)，則至少存在一點（x，h）206。D，使得242。242。Df(x,y)ds=f(x,h)D,其中，D是區(qū)域D的面積。(x,y)在D=[a,b]x[c,d]連續(xù)，則242。242。Df(x,y)dxdy=242。242。badx242。f(x,y)dy。cd若f(x,y)在D=[a,b]x[c,d]連續(xù)，則242。242。Df(x,y)dxdy=dcdy242。f(x,y)dx。ab這個定理證明；二重積分可化成兩個定積分來進行計算。 若f(x,y)在D=237。(x,y)y(x)163。y163。y(x),a163。x163。b253。12238。254。y(x),y(x)在[a,b]連續(xù)，則12連242。242。Df(x,y)dxdy=242。badx242。y(x)2y(x)1f(x,y)dy。形如D的區(qū)域稱為x形區(qū)域。252。254。若f(x,y)在D=237。(x,y)x(x)163。x163。x(x),c163。y163。d253。連238。12236。 x(x),x(x)在[c,d]連續(xù)，則242。242。f(x,y)dxdy=12D242。dcdy242。x(x)2f(x,y)dxx(x)1。形如D的區(qū)域稱為x形區(qū)域。數(shù)學分析（下冊）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學出版社 2008 P105∽P108 數(shù)學分析（上冊）第三版 復旦大學數(shù)學系 歐陽光中 朱學炎 金福臨 陳傳璋編 高等教育出版社 2004 P296 P303∽P304 P306∽P307 P312∽P313總結綜上所述，一元函數(shù)的連續(xù)性與二元函數(shù)的連續(xù)性雖有相同，但也有不同，二者相比可知，一元函數(shù)連續(xù)與極限、導數(shù)和微分都有一定的聯(lián)系，二元函數(shù)與之也有些聯(lián)系，從定義出發(fā)，若無極限就沒有函數(shù)的連續(xù)，也無導數(shù)、微分，從定理、性質來看，沒有函數(shù)的連續(xù)也就沒有導數(shù)微分的存在，與一元函數(shù)不同的是二元函數(shù)與偏導數(shù)之間的關系，函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)不一定存在，偏導數(shù)存在不一定連續(xù)，相同的也有連續(xù)可積，可積不一定連續(xù)。關于極限的性質和運算法則以及連續(xù)函數(shù)的運算法則，二元函數(shù)與一元函數(shù)的情形是完全相似的，并且其證明也大體相同，只要把一元函數(shù)中的0xx。d改為M。點的圓領域或正方形領域即可。又由連續(xù)函數(shù)的運算法則和基本初等函數(shù)的連續(xù)性也可找到多元函數(shù)的不連續(xù)點。二重積分和定積分一樣，在一定區(qū)域連續(xù)，則在這個區(qū)域就可積。但也有不同，定積分中積分區(qū)域是數(shù)軸上的區(qū)間，被積函數(shù)是一元函數(shù)，而二重積分中的積分區(qū)域是平面區(qū)域，被積函數(shù)是二元函數(shù)。參考文獻[1] 數(shù)學分析習題集解，吉米多維奇原著，費定暉等編著，山東大學出版社，2005.[2] 論如何加強數(shù)學人才在求職中的優(yōu)勢，楊漢春，張 慶，高等理科教育，（2003）：22－26.[1]數(shù)學分析名師導學（上）《大學數(shù)學名師導學叢書》編寫組 編 本冊編寫 楊萬利 中國水利水電出版社 2005 [2] 數(shù)學分析 龔懷云主編 劉躍武 陳紅斌 向淑晃 西安交通大學出版社 2000 [3]高等數(shù)學（全一冊）高等數(shù)學練習冊（全一冊）教育部普通高等學校少數(shù)民族預科教材編寫委員會 編 國家行政學院出版社 紅旗出版社[4]數(shù)學分析（下冊）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學出版社 2008 P53∽P54 [5]數(shù)學分析（下冊）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學出版社 2008 P57∽P59，P63∽P65 [6]數(shù)學分析 內容、方法與技巧(下)孫清華 孫昊 華中科技大學出版社 20011 P259∽264 [7]數(shù)學分析（下冊）主編 朱培勇 黃家琳 副主編 張利平唐再良 陳順清 曾意 王良成 四川大學出版社 2008 P105∽P108 [8]數(shù)學分析（上冊）第三版 復旦大學數(shù)學系 歐陽光中 朱學炎 金福臨 陳傳璋編 高等教育出版社 2004 P296 P303∽P304 P306∽P307 P312∽P313