北師大版必修2高中數(shù)學(xué)173球的表面積和體積課時(shí)訓(xùn)練-資料下載頁
2025-11-24 03:19本頁面
【導(dǎo)讀】為4π·2即3π.所以表面積之比為2∶π.∴S表＝4πR2＝π2＝π2＝50π.設(shè)圓柱的高為h，則43πR3×3＝πR2·h，R＝a22＋33a2＝712a，∴S球面＝4πR2＝12π.S表＝4π×12＋2×π×12＋2π×1×3＝12π.設(shè)球的半徑為rcm，則有8πr2＋3×43πr3＝πr2×6r，由此解得r＝4.如圖，圓臺(tái)及內(nèi)切球的軸截面ABCD，O1、O2、O分別為上、下底面圓心及球心，過C作CE⊥AB于E，則CE＝2x，∴在Rt△CBE中，CB2＝BE2＋CE2，∴V球＝43πx3＝43πRrRr，S球＝4πx2＝4πRr.水槽的容積V＝80×60×55＝264000，∵200000＋65417×23≈243611＜V，由題意知，圓臺(tái)的高h(yuǎn)＝2R，DC＝CE＝r1，AB＝BE＝r2，OE＝R，∠BOC＝90°.OE⊥BC.CE·BE＝OE2，BC＝CE＋BE，∴r1r2＝R2，l＝r1＋r2.∴V臺(tái)＝13πh＝π3×2R[2－r1r2]＝π3×2R×＝269πR3.故圓臺(tái)的體積為269πR3.
【正文】 腰，且半圓 O分別切 AB， BC， CD于點(diǎn) A、 E、 AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)球和一個(gè)圓臺(tái)，若球的表面積與圓臺(tái)的側(cè)面積的比為 3∶ 4，求圓臺(tái)的體積． 圖 1－ 7－ 19 【解】 設(shè)圓臺(tái)的上、下底的半徑分別為 r r2，母線長為 l. 由題意知，圓臺(tái)的高 h＝ 2R， DC＝ CE＝ r1， AB＝ BE＝ r2， OE＝ R， ∠ BOC＝ 90176。. OE⊥ BC. ∵ 在 Rt△ COB中， CE BE＝ OE2， BC＝ CE＋ BE， ∴ r1r2＝ R2， l＝ r1＋ r2. 又 ∵ S 球 ＝ 4π R2， S 圓臺(tái)側(cè) ＝ π( r1＋ r2)l 且 S 球 ∶ S 圓臺(tái)側(cè) ＝ 3∶ 4， ∴ 4π R2∶ π l(r1＋ r2)＝ 3∶ 4. ∴ (r1＋ r2)2＝ 163 R2， ∴ V 臺(tái) ＝ 13π h(r21＋ r22＋ r1r2)＝ π3 2 R[(r1＋ r2)2－ r1r2]＝ π3 2 R( 163 R2－ R2)＝ 269 π R3. 故圓臺(tái)的體積為 269 πR3.
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