【導(dǎo)讀】在過(guò)去的很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，矩陣都是人們解決線性問(wèn)題的最主要方法。前期的《九章算術(shù)》，在表示線性方程組的過(guò)程中使用了將方程中不同系數(shù)分開(kāi)的方法，這種方法在后來(lái)的不斷演化下最終得到方程的增廣矩陣。初等變換進(jìn)行消元，具體說(shuō)就是通過(guò)一些計(jì)算技巧將前面給出的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)型。常的類似了，但這兩者都是以線性方程為基本標(biāo)準(zhǔn)。事實(shí)上子宮基質(zhì)的控制中心和開(kāi)始生。活意義的地方是矩陣最開(kāi)始的意義，所以說(shuō)矩陣有生命的意義。在數(shù)學(xué)中，開(kāi)始出現(xiàn)的是。在這種情況下，矩陣應(yīng)運(yùn)而生。現(xiàn)在對(duì)于我們來(lái)說(shuō)非常熟悉的矩陣和行列式，它們的概念。行列式能按照我們的規(guī)則計(jì)算出它的結(jié)果，而矩陣是將數(shù)字按一定順。矩陣都有自身的行和列，水平的稱之為行，豎直的稱之為列。這些我們現(xiàn)在能看到的關(guān)于矩陣的一切都是由無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的摸索得來(lái)的。事實(shí)上最早的矩陣是從對(duì)大量行列式的研究中分離出來(lái)的，因?yàn)楹托辛惺綄?duì)應(yīng)。列，互換性和約束力。冪級(jí)數(shù)，是級(jí)數(shù)中非常重要的一

　　

【正文】 簡(jiǎn)單介紹一下線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的發(fā)展歷史。上個(gè)世紀(jì) 50年代左右，最開(kāi)始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的應(yīng)用和改善，已經(jīng)發(fā)展成了一套完整的理論，在許多工程技術(shù)領(lǐng)域中都有線性系統(tǒng)理的使用。通過(guò)矩陣函數(shù)定義的解決線性控制中的問(wèn)題是使用鑲嵌技術(shù)獲得期望矩陣的傳遞函數(shù)。 [14]最開(kāi)始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論是以拉普拉斯變換作為最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，它的最根本的數(shù)學(xué)模型就是前面提到的傳遞函數(shù)，最基本的研究和綜合方式是通過(guò)頻率響應(yīng)的方法。這種方法對(duì)單輸入輸出類型的線性定常系統(tǒng)的剖析效果很好。然而，這種理論也具備非常突出的不足之處，最明顯的不足之處是不能很好地處理多輸入和多輸出的系統(tǒng)，而且很難表示出一個(gè)系統(tǒng)的真正的內(nèi)部特征。 在 20世紀(jì) 60年代左右，關(guān)于線性系統(tǒng)的理論經(jīng)歷了從最開(kāi)始的古典階段到現(xiàn)代階段的重要時(shí)期，其中最具代表性的事是卡爾曼第一次完整地在系統(tǒng)和控制的理論中引進(jìn)了狀態(tài)空間的方 法。狀態(tài)的空間方法的一個(gè)最主要的特征是：通過(guò)描述狀態(tài)的內(nèi)部空間的方法代替以前的使用傳遞函數(shù)的方法描述外部的輸入和輸出系統(tǒng)，并且通過(guò)在時(shí)間區(qū)域內(nèi)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行探討和整合。狀態(tài)的空間方法既能在輸入輸出類的系統(tǒng)中使用，也能在線性的系統(tǒng)等幾種系統(tǒng)中運(yùn)用。基于狀態(tài)的空間方法，卡爾曼將系統(tǒng)的可控制性與可觀測(cè)性這兩個(gè)最能揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征的重要的概念又向前推進(jìn)了一部，在實(shí)踐應(yīng)用中已經(jīng)可以充分說(shuō)明它們兩個(gè)是線性系統(tǒng)的理論中的最常用到的概念。在前面介紹的可控制性和可觀測(cè)性，對(duì)于線性系統(tǒng)的進(jìn)一步研究和整合在根本的指導(dǎo)規(guī)則方面都產(chǎn) 生了重大影響。這種影響集中體現(xiàn)在用“內(nèi)在研究”替代了傳統(tǒng)的“外在研究”，并將探討和整合的過(guò)程需要的基礎(chǔ)理論變的更加嚴(yán)格起來(lái)。 從 60年代中期到現(xiàn)在，不僅在研究?jī)?nèi)容和研究方法，對(duì)于線性系統(tǒng)，有很多新的突破。 產(chǎn)生了新的探討線性的系統(tǒng)的特征和它的結(jié)構(gòu)的方法，這種方法主要是天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 21 以幾何方法解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)產(chǎn)生了基于抽象代數(shù)的主要用于線性系統(tǒng)的代數(shù)新理論，也出現(xiàn)了基于擴(kuò)展的經(jīng)典頻率的方法開(kāi)發(fā)而來(lái)的多變量頻域理論。就在此時(shí)，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和完善，對(duì)于線性系統(tǒng)中的研究和整合中出現(xiàn)的的計(jì)算難題，以及使用計(jì)算機(jī)對(duì)線性的體 系進(jìn)行輔助性的剖析和輔助性的設(shè)計(jì)，也都得到了廣泛和充分的研究。為了使研究的問(wèn)題更透徹，接下來(lái)重點(diǎn)介紹一下能控性和能觀測(cè)性?？煽刂菩院涂捎^性是現(xiàn)在的控制理論中最基礎(chǔ)的概念，它是卡爾曼于 60年代率先提出，它的基礎(chǔ)是線性系統(tǒng)的理論分析和設(shè)計(jì)。能控制性其實(shí)指的是一種可能性，它是指控制作用 )(tu 對(duì)被控制系統(tǒng)的狀態(tài) )(tx 進(jìn)行控制的這種可能性；能觀性描述的其實(shí)是一種可能性，它是通過(guò)系統(tǒng)輸出 )(ty 反推系統(tǒng) 狀態(tài) )(tx 的可能。可控制性描述的是狀態(tài)的控制力，可觀測(cè)性描述的是狀態(tài)的觀測(cè)力， 這兩條性質(zhì) 給出了兩個(gè)最基本的控制系統(tǒng)存在的問(wèn)題。 下面就給出線性系統(tǒng)的可控制性與可觀測(cè)性的定義。 能控性定義： 一般地，對(duì)于線性定常系統(tǒng) （ 11） 其中， x 、 u 分別是 n 、 r 維向量； A 、 B 是 常值矩陣，常值矩陣滿足矩陣運(yùn)算 .如果給定系統(tǒng)的初始狀態(tài) 0()xt ，在 10tt? 的有限時(shí)間區(qū)間 [0t ， 1t ]，可以發(fā)現(xiàn)控制 ()ut 使 1( ) 0xt? ，系統(tǒng)的狀態(tài)在 0t 時(shí)刻是可以控制的；假如系統(tǒng)對(duì)于任何一個(gè)初始狀態(tài)都可以控制，那么就稱這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以控制的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或者系統(tǒng)是可控的。 對(duì)于能控性的定義，說(shuō)明幾點(diǎn)： (1)初始狀態(tài) )(0tx 是狀態(tài)空間中任意的非零有限點(diǎn)，控制目標(biāo)是狀態(tài)空間坐標(biāo)原點(diǎn) (原點(diǎn)能控性 )。 (2)如果在 [0t ， 1t ]內(nèi)，能找到控制 ()ut 使系統(tǒng)從狀態(tài)空間原點(diǎn)推向預(yù)先指定的狀態(tài)1()xt ，則稱為狀態(tài)能達(dá)性；因?yàn)槿魏芜B續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移形成的都是非奇異的矩陣，所以能說(shuō)某種程度上系統(tǒng)能達(dá)性就是系統(tǒng)的能控 性。在這里簡(jiǎn)單介紹一下非奇異矩陣。如果 n 階矩陣 A 的行列式不為零，即 0A? ，那么 A 被稱為非奇異矩陣，否則就是奇異的。 (3) 若 0 0t? ， )0()( 0 xtx ? ，系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 x (t)= Ate )0(x + ??? dBue tAt )()1(10 ?? 如果系統(tǒng)是能控的，能找到控制 ()ut ，使得 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 22 1()xt = 1Ate )0(x + ??? dBue tAt )()1(10 ?? =0 1Ate )0(x = ??? dBue tAt )()1(10 ?? x (0)= ??? dBue tAt )()1(10 ?? （ 12） 滿足初始狀態(tài)類型 (0)x ， 必須是可控的狀態(tài)。 (4)當(dāng)系統(tǒng)有不依附于 )(tu 的確定性干擾 )(tf 時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)方程可以表示為 )(tfBuAxx ???? )0()( 0 xtx ? 因?yàn)?)(tf 是一個(gè)確定性的干擾，它不會(huì)改變系統(tǒng)的可控性。 能觀測(cè)性定義 一般地，對(duì)于線性定常系統(tǒng) 如果在 10tt? 的有限時(shí)間區(qū)間 [0t ， 1t ]內(nèi)，通過(guò)觀測(cè) ()yt ,能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài))(0tx ，稱系統(tǒng)狀態(tài)在 0t 是能觀測(cè)的； 如果對(duì)任意 的初始狀態(tài)，可以觀察到，就說(shuō)系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)可以觀察或系統(tǒng)可觀察。 對(duì)于能觀測(cè)性的定義，說(shuō)明幾點(diǎn)： (1)已知系統(tǒng)在有限時(shí)間區(qū)間 [0t ， 1t ]內(nèi)的輸出 ()yt ，觀測(cè)的目標(biāo)是為了確定初始狀態(tài))(0tx . (2)系統(tǒng)對(duì)于在 [ 0t ， 1t ]內(nèi)的輸出 ()yt 能唯一地確定任意指定的狀態(tài) 1()xt ,表示系統(tǒng)狀態(tài)可以被檢測(cè)到 ； 因?yàn)檫B續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，所以系統(tǒng)能檢測(cè)性與能觀測(cè)性是等價(jià)的。 (3)能觀測(cè)性表示的是輸出 ()yt 反映狀態(tài) ()xt 的能力 ,與控制作用沒(méi)有直接的關(guān)系，所以在分析能觀測(cè)性時(shí)，不 妨設(shè) () 0ut? ，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)進(jìn)行分析。那么線性定常系統(tǒng)就變?yōu)? 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 23 （ 4）若系統(tǒng)存在確定性干擾信號(hào) )(tf ，即 )(tfBuAxx ???? Cxy ? 因?yàn)?)0(x 與 )(tu 、 )(tf 獨(dú)立， 因此在系統(tǒng)的可觀測(cè)性研究是不考慮 )(tf 的影響。 二、能控性與能觀 測(cè)性的判定 線性的系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)特征是能控性與能觀測(cè)性，它們表示的是系統(tǒng)的輸入輸出與系統(tǒng)內(nèi)在狀態(tài)量之間的聯(lián)系。直觀地說(shuō)，可控性問(wèn)題是系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變量的研究完全可以用問(wèn)題的輸入控制。如果可以改變和掌管系統(tǒng)的每一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并且通過(guò)任何一個(gè)開(kāi)始的點(diǎn)都可以到達(dá)原來(lái)的狀態(tài)空間原點(diǎn)，那么就稱這個(gè)系統(tǒng)是完全可控制的。可觀測(cè)性是系統(tǒng)輸入與輸出的充分反映系統(tǒng)問(wèn)題的狀態(tài)。 如果任何形式的狀態(tài)變量的輸出系統(tǒng)都充分體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)，所代表的系統(tǒng)狀態(tài)可觀，則稱為觀察。 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 系統(tǒng)可控性探討的是控制系統(tǒng)的輸入 量對(duì)狀態(tài)量的作用?？煽刂?性的判別規(guī)則最常用的有三種： 通過(guò)判定矩陣來(lái)判斷能控性?？煽匦跃仃?Qk=[B AB A2B … An 1B]滿秩。如果 B 的秩為 r ，可控性矩陣 Qk=[B AB A2B … An rB]。為了繼續(xù)研究的需要，在這里簡(jiǎn)單地介紹一下滿秩的概念，首先介紹一下矩陣的秩的概念。 矩陣的秩 : 用 初等 行變換將 矩陣 A 化為階梯形矩陣 ,則矩陣中非零行的個(gè)數(shù)就定義為這個(gè)矩陣的秩 ,記為 ()rA 。滿秩 矩陣（ nonsingular matrix） :設(shè) A 是 n階矩陣 , 如果 ()r A n? ,稱 A 為滿秩矩陣。 滿秩矩陣這 個(gè)概念非常重要，它能判斷矩陣是否可逆，非奇異矩陣是滿秩矩陣。 利用對(duì)角約當(dāng)規(guī)范型來(lái)判斷。此狀態(tài)可確定哪個(gè)狀態(tài)不可控。 利用傳遞函數(shù)來(lái)判斷。狀態(tài)輸入型的傳遞函數(shù)： （ SIA） 1B無(wú)零極點(diǎn)相消現(xiàn)象，它是完全可控的。這個(gè)判定準(zhǔn)則不能夠單獨(dú)使用。為了便于理解和后續(xù)研究，在這里介紹一個(gè)非常重要的概念，傳遞函數(shù)。傳遞 函數(shù) （ transfer function）是將兩個(gè)拉氏變換作除法。是在最開(kāi)始的 系統(tǒng) 中輸出變量的 拉氏變換 和輸入變量的拉氏變換的商。寫(xiě)作( ) ( ) ( )G s Y s U s? ，前面的 ()Ys、 ()Us分別代表輸出量與輸入量的 拉氏變換 。傳遞 函數(shù) 是描繪 線性系統(tǒng) 動(dòng)態(tài)特點(diǎn)的常用工具， 最初產(chǎn)生的控制理論 經(jīng)常使用的研究方式是響應(yīng) 頻率法和 根軌跡方法 ，它們都以傳遞函數(shù)為知識(shí)基礎(chǔ)。系統(tǒng)的律的微分方程是對(duì)應(yīng)的。所以可以先將整體分為幾個(gè)部分，先求出每個(gè)部分自己的傳遞函數(shù)，再通過(guò)一定的邏輯性將這些傳遞函數(shù)組合起來(lái)就是我們要求的整體的傳遞函數(shù)?？梢允褂盟鼈兲接懴到y(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征、天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 24 穩(wěn)定性，或按照要求將 控制系統(tǒng) 整合起來(lái)，設(shè)計(jì)滿意的控制器。根據(jù)傳遞 函數(shù) 的知識(shí)探討和 整合控制的系統(tǒng) 方法就是頻域法。它不僅是 最開(kāi)始出現(xiàn)的控制 的基本理論，而且在以單變量的頻域法為基礎(chǔ)的 現(xiàn)代控制理論 的成長(zhǎng)進(jìn)程中，它一直不斷完善才有了現(xiàn)在的多變量的頻域控制理論，為多變量控 制系統(tǒng)研究的有力工具。一個(gè)純虛復(fù)數(shù)當(dāng)它的虛部是角頻率時(shí)在傳遞函數(shù)中被稱作 頻率響應(yīng) 。拉氏變換在 工程 中經(jīng)常被應(yīng)用。拉普拉斯變換是 線性變換 ，它能使一個(gè)有引數(shù)實(shí)數(shù) t （ 0t? ）的函數(shù)變換成引數(shù)為復(fù)數(shù) s 的函數(shù)。在 許多情況下，一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中運(yùn)算難度很大，但是對(duì)于一個(gè)拉普拉斯實(shí)變函數(shù)的變換，它能在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行各種各樣的數(shù)學(xué)操作，最后對(duì)前面求得的計(jì)算結(jié)果作一次拉氏反變換，就能最終求出它在實(shí)數(shù)領(lǐng)域的結(jié)果，這種方法在運(yùn)算上和直接求解相比，方便很多。 拉普拉斯變換方法計(jì)算出結(jié)果的線性微分方程是非常明顯的，因?yàn)樗梢詫⑽⒎址匠袒癁榇鷶?shù)方程， 所以計(jì)算很簡(jiǎn)單。在最開(kāi)始的控制理論中，探討和整合 控制系統(tǒng) ，都是以拉氏變換為基礎(chǔ) 上。引進(jìn)拉普拉斯變換最明顯長(zhǎng)處，是采用了 傳遞函數(shù) 來(lái)描述系統(tǒng)的特征，取代了以前的常系數(shù)微分方程。其特點(diǎn)是直觀和簡(jiǎn)單的圖形方法來(lái)確定控制系統(tǒng)，運(yùn)行過(guò)程控制系統(tǒng)的分析，為控制體系進(jìn)行調(diào)試提供了可能。拉普拉斯變換是通過(guò) 0t? 的連續(xù)時(shí)間函數(shù)()xt 再通過(guò)關(guān)系式 0( ) ( ) stX s x t e dt? ?? ? (式中 st 為自然對(duì)數(shù)底 e 的指數(shù) )變換為復(fù)變量 s 的函數(shù) ()Xs。這就是時(shí)間函數(shù) ()xt 用“復(fù)頻域”表示的方法。 它的功能是主要是轉(zhuǎn)換，它是以使計(jì)算簡(jiǎn)單為目的的，主要是真實(shí)變量和復(fù)雜的 變量間變換功能。 對(duì)于復(fù)參數(shù) s ， 函數(shù)()( )* stf t e? 于 （ ∞ ， +∞ ） 的積分，稱為函數(shù) ()ft 的（雙邊） 拉普拉斯變換 ，簡(jiǎn)稱拉氏變換。如果是在 [0,+∞ )積分，稱為單側(cè)拉普拉斯變換，用 ()Fs表示，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)。設(shè)一個(gè)系統(tǒng)的輸入 函數(shù) 為 ()xt ，輸出函數(shù)為 ()yt ，則 ()yt 的拉氏變換 ()Ys與 ()xt 的拉氏變換 ()Xs的商： ( ) ( ) ( )W s Y s X s? 稱為這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的性質(zhì)決定的，是獨(dú)立的輸入量。了解了傳遞 函數(shù) 的概念后，就能夠已知輸入量求得到輸出量，也可以根據(jù)輸出量的要求得出輸入量。不難看出有關(guān)傳遞 函數(shù) 的理論在現(xiàn)代的控制理論扮演著重要的角色。 能觀測(cè)性考察的是系 統(tǒng)的輸出量 y 對(duì)狀態(tài)量 x 的觀察能力。 與能控性對(duì)應(yīng)，能觀測(cè)性也有三種判斷規(guī)則： 利用能觀測(cè)性的判定矩陣來(lái)判斷。????????????????1::ngCACACQ 滿秩。 利用對(duì)角約當(dāng)規(guī)范型來(lái)判斷。為了加深對(duì)對(duì)角約當(dāng)規(guī)范型的理解，這里首先詳細(xì)介紹一下約當(dāng)陣。約當(dāng)陣的數(shù)學(xué)定義：矩陣 A 具有 n 個(gè)特征值，它的前 m個(gè)特征值是相同的，天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 25 后 nm個(gè)特征值是不相同的，我們知道前 m個(gè)相同的特征值對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的特征向量 1P ，但是后面 nm個(gè)不一樣的特征值表示的特征向量也是不一樣的。記為： Pm+1， Pm+2，等等。令 P=[1P 2P ......Pm+1 Pm+2....Pn],有 1J P AP?? ， 1P? 表示 P 的逆矩陣， J為約當(dāng)陣。約當(dāng)陣最明顯的特征是方陣 A 的對(duì)角線上所有元素都是矩陣的特征值，對(duì)角線上側(cè)還有許多1。此外 ,約當(dāng)陣都包含約當(dāng)塊，有幾個(gè)特征向量就有幾個(gè)約當(dāng)塊，因?yàn)槊恳粋€(gè)特征向量都有對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊。當(dāng)方陣 A 是能對(duì)角化的矩陣時(shí)，這時(shí)約當(dāng)陣就是對(duì)角化矩陣。 在現(xiàn)代的控制論中，線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法， 約當(dāng)陣 是一個(gè)重要的標(biāo)準(zhǔn)，是不可對(duì)角化的矩陣。 判斷頻域的根據(jù)，通過(guò)傳遞函數(shù)來(lái)判斷。 C（ SIA） 1不存在零極點(diǎn)相消，是完全能觀測(cè)的。如果單輸入單輸出系統(tǒng) C（ SIA） 1B也沒(méi)有零極點(diǎn)相消，那么系統(tǒng)既是可控的也是可觀測(cè)的。如果零極點(diǎn)對(duì)消，那么系統(tǒng)就有三種假設(shè)，可控制但是不可觀測(cè)，不可控制但是可以觀測(cè)，既不可以控制也不可以觀測(cè)。但是具體是哪種可能性則不能確定。在這里介紹一下頻域的基本概念。頻域是坐標(biāo)系的一種，它是表示 信號(hào)