【導(dǎo)讀】在過去的很長時間內(nèi)，矩陣都是人們解決線性問題的最主要方法。前期的《九章算術(shù)》，在表示線性方程組的過程中使用了將方程中不同系數(shù)分開的方法，這種方法在后來的不斷演化下最終得到方程的增廣矩陣。初等變換進行消元，具體說就是通過一些計算技巧將前面給出的增廣矩陣化為行最簡型。常的類似了，但這兩者都是以線性方程為基本標(biāo)準(zhǔn)。事實上子宮基質(zhì)的控制中心和開始生。活意義的地方是矩陣最開始的意義，所以說矩陣有生命的意義。在數(shù)學(xué)中，開始出現(xiàn)的是。在這種情況下，矩陣應(yīng)運而生?，F(xiàn)在對于我們來說非常熟悉的矩陣和行列式，它們的概念。行列式能按照我們的規(guī)則計算出它的結(jié)果，而矩陣是將數(shù)字按一定順。矩陣都有自身的行和列，水平的稱之為行，豎直的稱之為列。這些我們現(xiàn)在能看到的關(guān)于矩陣的一切都是由無數(shù)數(shù)學(xué)家的摸索得來的。事實上最早的矩陣是從對大量行列式的研究中分離出來的，因為和行列式對應(yīng)。列，互換性和約束力。冪級數(shù)，是級數(shù)中非常重要的一

　　

【正文】 簡單介紹一下線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的發(fā)展歷史。上個世紀(jì) 50年代左右，最開始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論經(jīng)過一段時間的應(yīng)用和改善，已經(jīng)發(fā)展成了一套完整的理論，在許多工程技術(shù)領(lǐng)域中都有線性系統(tǒng)理的使用。通過矩陣函數(shù)定義的解決線性控制中的問題是使用鑲嵌技術(shù)獲得期望矩陣的傳遞函數(shù)。 [14]最開始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論是以拉普拉斯變換作為最基本的數(shù)學(xué)知識，它的最根本的數(shù)學(xué)模型就是前面提到的傳遞函數(shù)，最基本的研究和綜合方式是通過頻率響應(yīng)的方法。這種方法對單輸入輸出類型的線性定常系統(tǒng)的剖析效果很好。然而，這種理論也具備非常突出的不足之處，最明顯的不足之處是不能很好地處理多輸入和多輸出的系統(tǒng)，而且很難表示出一個系統(tǒng)的真正的內(nèi)部特征。 在 20世紀(jì) 60年代左右，關(guān)于線性系統(tǒng)的理論經(jīng)歷了從最開始的古典階段到現(xiàn)代階段的重要時期，其中最具代表性的事是卡爾曼第一次完整地在系統(tǒng)和控制的理論中引進了狀態(tài)空間的方 法。狀態(tài)的空間方法的一個最主要的特征是：通過描述狀態(tài)的內(nèi)部空間的方法代替以前的使用傳遞函數(shù)的方法描述外部的輸入和輸出系統(tǒng)，并且通過在時間區(qū)域內(nèi)對整個系統(tǒng)進行探討和整合。狀態(tài)的空間方法既能在輸入輸出類的系統(tǒng)中使用，也能在線性的系統(tǒng)等幾種系統(tǒng)中運用。基于狀態(tài)的空間方法，卡爾曼將系統(tǒng)的可控制性與可觀測性這兩個最能揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征的重要的概念又向前推進了一部，在實踐應(yīng)用中已經(jīng)可以充分說明它們兩個是線性系統(tǒng)的理論中的最常用到的概念。在前面介紹的可控制性和可觀測性，對于線性系統(tǒng)的進一步研究和整合在根本的指導(dǎo)規(guī)則方面都產(chǎn) 生了重大影響。這種影響集中體現(xiàn)在用“內(nèi)在研究”替代了傳統(tǒng)的“外在研究”，并將探討和整合的過程需要的基礎(chǔ)理論變的更加嚴(yán)格起來。 從 60年代中期到現(xiàn)在，不僅在研究內(nèi)容和研究方法，對于線性系統(tǒng)，有很多新的突破。 產(chǎn)生了新的探討線性的系統(tǒng)的特征和它的結(jié)構(gòu)的方法，這種方法主要是天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 21 以幾何方法解決實際問題，同時產(chǎn)生了基于抽象代數(shù)的主要用于線性系統(tǒng)的代數(shù)新理論，也出現(xiàn)了基于擴展的經(jīng)典頻率的方法開發(fā)而來的多變量頻域理論。就在此時，由于計算機技術(shù)的飛速發(fā)展和完善，對于線性系統(tǒng)中的研究和整合中出現(xiàn)的的計算難題，以及使用計算機對線性的體 系進行輔助性的剖析和輔助性的設(shè)計，也都得到了廣泛和充分的研究。為了使研究的問題更透徹，接下來重點介紹一下能控性和能觀測性?？煽刂菩院涂捎^性是現(xiàn)在的控制理論中最基礎(chǔ)的概念，它是卡爾曼于 60年代率先提出，它的基礎(chǔ)是線性系統(tǒng)的理論分析和設(shè)計。能控制性其實指的是一種可能性，它是指控制作用 )(tu 對被控制系統(tǒng)的狀態(tài) )(tx 進行控制的這種可能性；能觀性描述的其實是一種可能性，它是通過系統(tǒng)輸出 )(ty 反推系統(tǒng) 狀態(tài) )(tx 的可能?？煽刂菩悦枋龅氖菭顟B(tài)的控制力，可觀測性描述的是狀態(tài)的觀測力， 這兩條性質(zhì) 給出了兩個最基本的控制系統(tǒng)存在的問題。 下面就給出線性系統(tǒng)的可控制性與可觀測性的定義。 能控性定義： 一般地，對于線性定常系統(tǒng) （ 11） 其中， x 、 u 分別是 n 、 r 維向量； A 、 B 是 常值矩陣，常值矩陣滿足矩陣運算 .如果給定系統(tǒng)的初始狀態(tài) 0()xt ，在 10tt? 的有限時間區(qū)間 [0t ， 1t ]，可以發(fā)現(xiàn)控制 ()ut 使 1( ) 0xt? ，系統(tǒng)的狀態(tài)在 0t 時刻是可以控制的；假如系統(tǒng)對于任何一個初始狀態(tài)都可以控制，那么就稱這個系統(tǒng)的狀態(tài)完全可以控制的，簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的或者系統(tǒng)是可控的。 對于能控性的定義，說明幾點： (1)初始狀態(tài) )(0tx 是狀態(tài)空間中任意的非零有限點，控制目標(biāo)是狀態(tài)空間坐標(biāo)原點 (原點能控性 )。 (2)如果在 [0t ， 1t ]內(nèi)，能找到控制 ()ut 使系統(tǒng)從狀態(tài)空間原點推向預(yù)先指定的狀態(tài)1()xt ，則稱為狀態(tài)能達(dá)性；因為任何連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移形成的都是非奇異的矩陣，所以能說某種程度上系統(tǒng)能達(dá)性就是系統(tǒng)的能控 性。在這里簡單介紹一下非奇異矩陣。如果 n 階矩陣 A 的行列式不為零，即 0A? ，那么 A 被稱為非奇異矩陣，否則就是奇異的。 (3) 若 0 0t? ， )0()( 0 xtx ? ，系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 x (t)= Ate )0(x + ??? dBue tAt )()1(10 ?? 如果系統(tǒng)是能控的，能找到控制 ()ut ，使得 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 22 1()xt = 1Ate )0(x + ??? dBue tAt )()1(10 ?? =0 1Ate )0(x = ??? dBue tAt )()1(10 ?? x (0)= ??? dBue tAt )()1(10 ?? （ 12） 滿足初始狀態(tài)類型 (0)x ， 必須是可控的狀態(tài)。 (4)當(dāng)系統(tǒng)有不依附于 )(tu 的確定性干擾 )(tf 時，系統(tǒng)狀態(tài)方程可以表示為 )(tfBuAxx ???? )0()( 0 xtx ? 因為 )(tf 是一個確定性的干擾，它不會改變系統(tǒng)的可控性。 能觀測性定義 一般地，對于線性定常系統(tǒng) 如果在 10tt? 的有限時間區(qū)間 [0t ， 1t ]內(nèi)，通過觀測 ()yt ,能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài))(0tx ，稱系統(tǒng)狀態(tài)在 0t 是能觀測的； 如果對任意 的初始狀態(tài)，可以觀察到，就說系統(tǒng)是完全可觀測的，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)可以觀察或系統(tǒng)可觀察。 對于能觀測性的定義，說明幾點： (1)已知系統(tǒng)在有限時間區(qū)間 [0t ， 1t ]內(nèi)的輸出 ()yt ，觀測的目標(biāo)是為了確定初始狀態(tài))(0tx . (2)系統(tǒng)對于在 [ 0t ， 1t ]內(nèi)的輸出 ()yt 能唯一地確定任意指定的狀態(tài) 1()xt ,表示系統(tǒng)狀態(tài)可以被檢測到 ； 因為連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，所以系統(tǒng)能檢測性與能觀測性是等價的。 (3)能觀測性表示的是輸出 ()yt 反映狀態(tài) ()xt 的能力 ,與控制作用沒有直接的關(guān)系，所以在分析能觀測性時，不 妨設(shè) () 0ut? ，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)進行分析。那么線性定常系統(tǒng)就變?yōu)? 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 23 （ 4）若系統(tǒng)存在確定性干擾信號 )(tf ，即 )(tfBuAxx ???? Cxy ? 因為 )0(x 與 )(tu 、 )(tf 獨立， 因此在系統(tǒng)的可觀測性研究是不考慮 )(tf 的影響。 二、能控性與能觀 測性的判定 線性的系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)特征是能控性與能觀測性，它們表示的是系統(tǒng)的輸入輸出與系統(tǒng)內(nèi)在狀態(tài)量之間的聯(lián)系。直觀地說，可控性問題是系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)變量的研究完全可以用問題的輸入控制。如果可以改變和掌管系統(tǒng)的每一個運動狀態(tài)，并且通過任何一個開始的點都可以到達(dá)原來的狀態(tài)空間原點，那么就稱這個系統(tǒng)是完全可控制的?？捎^測性是系統(tǒng)輸入與輸出的充分反映系統(tǒng)問題的狀態(tài)。 如果任何形式的狀態(tài)變量的輸出系統(tǒng)都充分體現(xiàn)了運動，所代表的系統(tǒng)狀態(tài)可觀，則稱為觀察。 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 系統(tǒng)可控性探討的是控制系統(tǒng)的輸入 量對狀態(tài)量的作用。可控制 性的判別規(guī)則最常用的有三種： 通過判定矩陣來判斷能控性。可控性矩陣 Qk=[B AB A2B … An 1B]滿秩。如果 B 的秩為 r ，可控性矩陣 Qk=[B AB A2B … An rB]。為了繼續(xù)研究的需要，在這里簡單地介紹一下滿秩的概念，首先介紹一下矩陣的秩的概念。 矩陣的秩 : 用 初等 行變換將 矩陣 A 化為階梯形矩陣 ,則矩陣中非零行的個數(shù)就定義為這個矩陣的秩 ,記為 ()rA 。滿秩 矩陣（ nonsingular matrix） :設(shè) A 是 n階矩陣 , 如果 ()r A n? ,稱 A 為滿秩矩陣。 滿秩矩陣這 個概念非常重要，它能判斷矩陣是否可逆，非奇異矩陣是滿秩矩陣。 利用對角約當(dāng)規(guī)范型來判斷。此狀態(tài)可確定哪個狀態(tài)不可控。 利用傳遞函數(shù)來判斷。狀態(tài)輸入型的傳遞函數(shù)： （ SIA） 1B無零極點相消現(xiàn)象，它是完全可控的。這個判定準(zhǔn)則不能夠單獨使用。為了便于理解和后續(xù)研究，在這里介紹一個非常重要的概念，傳遞函數(shù)。傳遞 函數(shù) （ transfer function）是將兩個拉氏變換作除法。是在最開始的 系統(tǒng) 中輸出變量的 拉氏變換 和輸入變量的拉氏變換的商。寫作( ) ( ) ( )G s Y s U s? ，前面的 ()Ys、 ()Us分別代表輸出量與輸入量的 拉氏變換 。傳遞 函數(shù) 是描繪 線性系統(tǒng) 動態(tài)特點的常用工具， 最初產(chǎn)生的控制理論 經(jīng)常使用的研究方式是響應(yīng) 頻率法和 根軌跡方法 ，它們都以傳遞函數(shù)為知識基礎(chǔ)。系統(tǒng)的律的微分方程是對應(yīng)的。所以可以先將整體分為幾個部分，先求出每個部分自己的傳遞函數(shù)，再通過一定的邏輯性將這些傳遞函數(shù)組合起來就是我們要求的整體的傳遞函數(shù)?？梢允褂盟鼈兲接懴到y(tǒng)的動態(tài)特征、天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 24 穩(wěn)定性，或按照要求將 控制系統(tǒng) 整合起來，設(shè)計滿意的控制器。根據(jù)傳遞 函數(shù) 的知識探討和 整合控制的系統(tǒng) 方法就是頻域法。它不僅是 最開始出現(xiàn)的控制 的基本理論，而且在以單變量的頻域法為基礎(chǔ)的 現(xiàn)代控制理論 的成長進程中，它一直不斷完善才有了現(xiàn)在的多變量的頻域控制理論，為多變量控 制系統(tǒng)研究的有力工具。一個純虛復(fù)數(shù)當(dāng)它的虛部是角頻率時在傳遞函數(shù)中被稱作 頻率響應(yīng) 。拉氏變換在 工程 中經(jīng)常被應(yīng)用。拉普拉斯變換是 線性變換 ，它能使一個有引數(shù)實數(shù) t （ 0t? ）的函數(shù)變換成引數(shù)為復(fù)數(shù) s 的函數(shù)。在 許多情況下，一個實變量函數(shù)在實數(shù)域中運算難度很大，但是對于一個拉普拉斯實變函數(shù)的變換，它能在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)進行各種各樣的數(shù)學(xué)操作，最后對前面求得的計算結(jié)果作一次拉氏反變換，就能最終求出它在實數(shù)領(lǐng)域的結(jié)果，這種方法在運算上和直接求解相比，方便很多。 拉普拉斯變換方法計算出結(jié)果的線性微分方程是非常明顯的，因為它可以將微分方程化為代數(shù)方程， 所以計算很簡單。在最開始的控制理論中，探討和整合 控制系統(tǒng) ，都是以拉氏變換為基礎(chǔ) 上。引進拉普拉斯變換最明顯長處，是采用了 傳遞函數(shù) 來描述系統(tǒng)的特征，取代了以前的常系數(shù)微分方程。其特點是直觀和簡單的圖形方法來確定控制系統(tǒng)，運行過程控制系統(tǒng)的分析，為控制體系進行調(diào)試提供了可能。拉普拉斯變換是通過 0t? 的連續(xù)時間函數(shù)()xt 再通過關(guān)系式 0( ) ( ) stX s x t e dt? ?? ? (式中 st 為自然對數(shù)底 e 的指數(shù) )變換為復(fù)變量 s 的函數(shù) ()Xs。這就是時間函數(shù) ()xt 用“復(fù)頻域”表示的方法。 它的功能是主要是轉(zhuǎn)換，它是以使計算簡單為目的的，主要是真實變量和復(fù)雜的 變量間變換功能。 對于復(fù)參數(shù) s ， 函數(shù)()( )* stf t e? 于 （ ∞ ， +∞ ） 的積分，稱為函數(shù) ()ft 的（雙邊） 拉普拉斯變換 ，簡稱拉氏變換。如果是在 [0,+∞ )積分，稱為單側(cè)拉普拉斯變換，用 ()Fs表示，它是一個復(fù)變函數(shù)。設(shè)一個系統(tǒng)的輸入 函數(shù) 為 ()xt ，輸出函數(shù)為 ()yt ，則 ()yt 的拉氏變換 ()Ys與 ()xt 的拉氏變換 ()Xs的商： ( ) ( ) ( )W s Y s X s? 稱為這個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的性質(zhì)決定的，是獨立的輸入量。了解了傳遞 函數(shù) 的概念后，就能夠已知輸入量求得到輸出量，也可以根據(jù)輸出量的要求得出輸入量。不難看出有關(guān)傳遞 函數(shù) 的理論在現(xiàn)代的控制理論扮演著重要的角色。 能觀測性考察的是系 統(tǒng)的輸出量 y 對狀態(tài)量 x 的觀察能力。 與能控性對應(yīng)，能觀測性也有三種判斷規(guī)則： 利用能觀測性的判定矩陣來判斷。????????????????1::ngCACACQ 滿秩。 利用對角約當(dāng)規(guī)范型來判斷。為了加深對對角約當(dāng)規(guī)范型的理解，這里首先詳細(xì)介紹一下約當(dāng)陣。約當(dāng)陣的數(shù)學(xué)定義：矩陣 A 具有 n 個特征值，它的前 m個特征值是相同的，天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 25 后 nm個特征值是不相同的，我們知道前 m個相同的特征值對應(yīng)一個獨立的特征向量 1P ，但是后面 nm個不一樣的特征值表示的特征向量也是不一樣的。記為： Pm+1， Pm+2，等等。令 P=[1P 2P ......Pm+1 Pm+2....Pn],有 1J P AP?? ， 1P? 表示 P 的逆矩陣， J為約當(dāng)陣。約當(dāng)陣最明顯的特征是方陣 A 的對角線上所有元素都是矩陣的特征值，對角線上側(cè)還有許多1。此外 ,約當(dāng)陣都包含約當(dāng)塊，有幾個特征向量就有幾個約當(dāng)塊，因為每一個特征向量都有對應(yīng)的約當(dāng)塊。當(dāng)方陣 A 是能對角化的矩陣時，這時約當(dāng)陣就是對角化矩陣。 在現(xiàn)代的控制論中，線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法， 約當(dāng)陣 是一個重要的標(biāo)準(zhǔn)，是不可對角化的矩陣。 判斷頻域的根據(jù)，通過傳遞函數(shù)來判斷。 C（ SIA） 1不存在零極點相消，是完全能觀測的。如果單輸入單輸出系統(tǒng) C（ SIA） 1B也沒有零極點相消，那么系統(tǒng)既是可控的也是可觀測的。如果零極點對消，那么系統(tǒng)就有三種假設(shè)，可控制但是不可觀測，不可控制但是可以觀測，既不可以控制也不可以觀測。但是具體是哪種可能性則不能確定。在這里介紹一下頻域的基本概念。頻域是坐標(biāo)系的一種，它是表示 信號