【文章內(nèi)容簡介】 都是 ?的多項式，其次數(shù)不超過1?n ．因此由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)， B(?)可以寫成 11201)( ??? ???? nnn BBBB ???? ． 其中 110 ?nBBB ，， ? ∈ Mn(F)． 再設(shè) nnnn aaaf ????? ?? ???? 111)( ?，則 nnnnnnn IaIaIIf ???? ? ?11)( ??? ． (1) 于是 ))(())(( 11201 AIBBBAIB nnnnn ?????? ??? ????? ? ABABBABBABBB nnnnnn 1211220xx0 )()()( ????? ????????? ???? ? (2) 比較 (1)和 (2)，得 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 11 ??????????????????????nnnnnnnnnnIaABIaABBIaABBIaABBIB11212121010????????? ． (3) 用 nnn IAAA ,1 ??， 依次從右邊乘 (3)的第一式，第二式，?，第 n 式，第 n+1 式，得 ???????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnIABAaABABAaABABAaABABAAB?11221221122110110???????????． (4) 把 (4)的 n+1 個式子相加，左邊變成 零，右邊就是 f (A)，故 f(A)=0． 為了繼續(xù)研究的需要，在這里對上文中提到的伴隨矩陣的概念作簡單的介紹。 根據(jù)線性代數(shù)的知識體系，任何一個方陣的伴隨矩陣其實是一個和矩陣 逆矩陣 相似的概念。假如一個 矩陣 是可逆的，可以得到它的伴隨矩陣和它的逆矩陣之間是一種倍數(shù)的關(guān)系。但是，伴隨矩 陣對于不可逆的矩陣也有定義，而且不需要用 除法 。矩陣 A 的伴隨 矩陣 可以按下面的方法定義： 代數(shù)余子式 ；（ 代數(shù)余子式 的定義：在一個 n 階 行列式 A 中 ,把 元 所在的第 行和第 列的全部元素去掉，剩下的所有元素組成的 階 行列式 叫做 元 的余子式，記著 。即 ， 就 叫做元 的代數(shù)余子式）注意：前面求得的 是一個具體的數(shù)而不是一個矩陣。 （ 1）中求得的矩陣轉(zhuǎn)置就是 A 的伴隨矩陣，補(bǔ)充：（實際求解伴隨矩陣即 A*=adj（ A）：去除 A 的行列式 D 中元素 對應(yīng)的第 行和第 列得到的新 行列式 1D 代替 ija ，這樣就不用轉(zhuǎn)置了） 例 設(shè) A 是 n階可逆矩陣，則 )(1 AgA ?? ，其中 g(?)是一個 n－ 1次多項式． 證 設(shè) A 的特征多項式為 nnnnn aaaAI ?????? ?? ???? 111|| ?， 通過 HamilionCayley 定理，可以得到 ????? ?? nnnnn IaAaAaA 111 ? O． 因為 A 是可逆矩陣，所以 0||)1( ??? Aa nn ，于是上式可化為 nnnnnn IAIaAaAa ????? ??? )(1 1211 ?， 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 12 這表明 )()(1 12111 AgIaAaAaA nnnnn ?????? ???? ?， 其中， )(1)(1211 ??? ????? nnnn aaag ????是一個 n－ 1次多項式． 設(shè) F 是一個數(shù)域， ? 是文字，求多項式環(huán) []F? ，一個給定的矩陣若它的元素都是關(guān)于? 的一個多項式，即 []F? 的所有元素，這個矩陣就被稱作 ?? 矩陣 .因為存在于數(shù)域 P 中的元素也是 ][?P 的數(shù)，所以在 ?? 矩陣中也包含了以數(shù)為元素組成的矩陣 .為了與原有的 ??矩陣區(qū)別開來，我們稱數(shù)域 P 中的數(shù)為元素組成的矩陣為數(shù)字矩陣 .在接下來的文章中就用 ?),(),( ?? BA 等表示 ?? 矩陣 . 上面提到的多項式環(huán)中的環(huán)其實是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)。 在 抽象代數(shù) 里，代數(shù)結(jié)構(gòu)（ algebraic structure）是指至少具備兩個的計算（最常用的操作，可以存在無數(shù)個計算）的 非空集合 。一般研究的代數(shù)結(jié)構(gòu)有 群 、 環(huán) 、 域 、 格 、 模 、域代數(shù)和 向量空間 等等。對于非空集合 R，如果定義了兩種代數(shù) 運(yùn)算 +和 *（不一定就是代數(shù)中加法與乘法的含義），并且滿足下面的條件： 1）集合 R 在運(yùn)算 +下能組成 阿貝爾群 （ Abel）。 2） *具有 封閉性 ，就是對于任意的a∈ R,b∈ R， 總是 有 a*b∈ R。 3）運(yùn)算符 *下有 分配律 和 結(jié)合律 ，即對于任意的 a∈ R， b∈ R和 c∈ R，總有： a*（ b+c） =a*b+a*c，（ b+c） *a=b*a+c*a，（ a*b） *c=a*（ b*c），我們就把R稱作環(huán) （ Ring） 。所以滿足上述定義的多項式就被稱為多項式環(huán)。 我們清楚， ][?P 中的元素能進(jìn)行加或者減或者乘三種計算，并且它們的計算和數(shù)的運(yùn)算規(guī)律是相同的 .矩陣的加法和乘法的定義中使用的元素的加法和乘法，所以它可以類似地定義 ?? 矩陣的加法和乘法，和數(shù)字矩陣運(yùn)算的 算法規(guī)則相同。 通過行列式的本質(zhì)，可以看到只用了元素的加法和乘法，所以，同理也能定義 nn? 的?? 矩陣行列式 .一般來說， ?? 矩陣的行列式也是一個多項式，它和數(shù)字矩陣的行列式具有同樣的性質(zhì)。 定義 一個 nn? 的 ?? 矩陣 )(?A 稱為可逆的，如果有一個 nn? 的 ?? 矩陣 )(?B 使 EABBA ?? )()()()( ???? , (1) 這里 E 是單位矩陣 .適用 (1)的矩陣 )(?B (它是唯一的 )被稱作 )(?A 的逆矩陣，記作)(1??A . 例 已知 0110A ????????,求 Ate 。 解 A 的特征多項式為 2 1IA??? ? ? ,通過 HamiltioCayley 定理有： 2 0AI?? ,即 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 13 2 3 4 5, , , , ,A I A A A I A A? ? ? ? ? ? 即 2 2 1( 1 ) , ( 1 ) ( 1 , 2 , ) ,k k k kA I A A k?? ? ? ? ? 故 01!At k kke A tk???? 2 4 3 512 ! 4 ! 3 ! 5 !t t t tI t A? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? (cos ) (sin )t I t A?? cos sinsin costt????????. 利用相似對角化求矩陣函數(shù) 設(shè) nnAC?? 是對角矩陣，那么必有 n 階的可逆矩陣 P ,使 1 12( , , , ) ,nP A P d ia g ? ? ?? ? ? ? 則有110 0 01120 0 0112( ) ( ) ( )( , , , )( ( ) , ( ) , , ( ) ) ,k k kk k kk k kk k kk k k nk k knf A a A a P P P a PPdi ag a a a PPdi ag f f f P? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? ? ? 從而， 112( ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) .nf A t P d ia g f t f t f t P? ? ? ?? 為了便于理解，這里簡單介紹一下文中將會用到的可對角化矩陣、可逆矩陣、 可交換矩陣和變換矩陣的相關(guān)概念。為了告訴概念清晰的對角化矩陣，首先簡要說明相似矩陣的概念。設(shè) ,AB都是 n 階矩陣，如果存在 n 階可逆矩陣 P 使 1B P AP?? ,則稱矩陣 A 與矩陣 B 相似，記作 。如果 n 階方陣 A 能與一個對角矩陣相似，稱 A可以對角化。 n 階的方陣 A 能對角化的充要條件是它具備 n 個線性無關(guān)的特征向量。 可逆矩陣是線性代數(shù)中經(jīng)常用到的一種矩陣，它在線性代數(shù)中的定義為給定一個 n 階的方陣 A ，如果存在一個 n 階方陣 B ， 使得 nAB BA I??（或 nABI? 、 nBA I? 任意滿足一個），其中 nI為 n 階單位矩陣，則稱 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆陣，記 作 1A? 。如果一個方陣有乘法交換律，那么這個方陣就是可交換矩陣，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示就是： A B B A???。 變換矩陣是線性代數(shù)中的一個數(shù)學(xué)概念。 在 線性代數(shù) 中， 線性變換 能夠用 矩陣 表示。如果 T 是能將 nR映射到 mR 的一個線性變換， 并且 x 是 有 n 個元素的 列向量 ，那么我們就可以將 m n 的矩天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 14 陣 A ，叫作 T 的變換矩陣。任何一種線性變換都能用矩陣表示，并且它更容易計算，就算有很多線性變換只要正確地使用矩陣乘法就能夠?qū)⑺鼈冞B接起來。 如果線性變換函數(shù)的類型是 ()Tx，只要通過 T 對標(biāo)準(zhǔn)基中的任意一個向量作簡單變換，最后把結(jié)果插到矩陣的列中， 所以它是很容易確定的變換矩陣 A ，即： 例 已知 4 6 03 5 0 ,3 6 1A????? ? ?????求 ,cos .AteA 解 2d e t( ) ( 2 ) ( 1 ) ,IA? ? ?? ? ? ?所以 A 的特征值為 1=2? ， 23= =1?? 。對應(yīng)于 1=2? 的特征向量 1= , , T? （ 111） ；對應(yīng)于 23= =1?? 線性無關(guān)的特征向量 2 = , , T? （ 210） ， 3= , , T? （ 001） ，故 1 2 01 1 01 0 1P???????， 使得 1 2 0 00 1 0 .0 0 1P A P????????? 于是 21000000tA t ttee P e Pe????????? 22222 2 2 02 0 .22t t t tt t t tt t t t te e e ee e e ee e e e e??????????? ? ????? 1c o s( 2 ) 0 0c o s 0 c o s 1 00 0 c o s 1A P P ????????? 2 c os 1 c os 2 2 c os 1 2 c os 2 0c os 2 c os 1 2 c os 2 c os 1 0 .c os 2 c os 1 2 c os 2 2 c os 1 c os 1??????? ? ????? 上面介紹的是一般矩陣，一般矩陣可以通過相似對角化的方法求解矩陣函數(shù)，對一般矩陣而言相似對角化的過程必須先求出矩陣的特征向量。當(dāng)然矩陣中還有些比較特殊的矩陣，因為他們的特殊性可以將計算簡化。對角 矩陣就是這樣的一種特殊矩陣，接著就來介天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 15 紹求對角矩陣函數(shù) ? ?fA的方法。（ A 為一個對角矩陣或者對角矩陣的塊）。 (1)矩陣函數(shù)為矩陣冪函數(shù) ? ?= mf A A 若 A 為對角矩陣，即12nddAd????????? 則由矩陣乘法，有 ? ?? ?? ?? ?1 122=mmmmnnd fdfddf A Afdd?? ???? ???????????? 若 A 為分塊對角矩陣，即12nAAAA?????????，其中 ? ?1, 2, ,iA i s? … 為子塊。則 ? ?? ?? ?? ?1122mmmmssfAAfAAf A AfAA????????? ? ????? ?? (2矩陣函數(shù)為矩陣多項式 ?