【正文】 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 1 矩陣函數(shù)以及應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計 1 緒論 矩陣（ Matrix）的發(fā)展與歷史 人們對矩陣 （ Matrix） 的研究歷史非常悠久，在很久以前就已經(jīng)有人研究過了幻方和拉丁方陣 。在過去的很長時間內(nèi)，矩陣都是人們解決線性問題的最主要方法。成書于漢朝前期的《九章算術(shù)》，在表示線性方程組的過程中使用了將方程中不同系數(shù)分開的方法，這種方法在后來的不斷演化下最終得到方程的增廣矩陣。 在計算的過程中經(jīng)常使用矩陣的初等變換進行 消元，具體說就是通過一些計算技巧將前面給出的增廣矩陣化為行最簡型。但是當時我們能知道的矩陣知識非常的少，雖然過去的標準和現(xiàn)在的矩陣在表示上已經(jīng)非常的類似了，但這兩者都是以線性方程為基本標準。事實上子宮基質(zhì)的控制中心和開始生活意義的地方是矩陣最開始的意義，所以說矩陣有生命的意義。 在數(shù)學(xué)中，開始出現(xiàn)的是對現(xiàn)在數(shù)學(xué)都有決定性的行列式，但需要行列式的行和列相等，最終的排成的表都是方的，隨著研究的深入人們發(fā)現(xiàn)行數(shù)等于列數(shù)的行列式已經(jīng)無法滿足現(xiàn)實生活中的實際需要了。在這種情況下，矩陣應(yīng)運而生。 現(xiàn)在對于我們來說非常熟悉的 矩陣和行列式，它們的概念是非常的不一樣的。行列式能按照我們的規(guī)則計算出它的結(jié)果，而矩陣是將數(shù)字按一定順序排列得到的。 在學(xué)術(shù)研究中恰當?shù)厥褂镁仃?，能用向量空間中的向量表示線性方程組中系數(shù)矩陣；因此，一個多元線性方程組的解的情況，以及一系列問題的理論解之間的不同關(guān)系， 都 可以 得到 徹底解決。 矩陣都有自身的行和列，水平的稱之為行，豎直的稱之為列。這些我們現(xiàn)在能看到的關(guān)于矩陣的一切都是由無數(shù)數(shù)學(xué)家的摸索得來的。 矩陣（ Matrix） 在 數(shù)學(xué)發(fā)展 歷史 上 有著 非常重要的 位置 ， 它一直 是數(shù)學(xué) 研究 的一個主要 方面 ，是數(shù)學(xué) 在 研究和應(yīng)用 過 程中經(jīng)常用到的知識 。 “矩陣”由英國數(shù)學(xué)家葉 （ Sylvester）第一次使用，他使用的這個數(shù)學(xué)術(shù)語最后將矩陣的列數(shù)和早期的行列式分離開來。 在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中 矩陣 理 論的創(chuàng)立者被 一致認為 是英國數(shù)學(xué)家凱萊（ Cayley）， 是 他 最先 將矩陣作為一個 單獨 的數(shù)學(xué) 上的 概念提出 來 ，并且關(guān)于矩陣的很多學(xué)術(shù)論文和著作都是他最早發(fā)表的。事實上最早的矩陣是從對大量行列式的研究中分離出來的，因為和行列式對應(yīng)的方陣本身就可以做許多的研究和運用， 隨著對行列式研究的深入，矩陣的許多知識點也日漸完善。 從邏輯上講，概念應(yīng)先于行列式的矩陣的概念 和歷史上真正的順序是恰恰相反的 。在 19 世紀 50 年代， 英國數(shù)學(xué)家凱萊（ Cayley） 公開展示了自己關(guān)于矩陣的最新研究成果 《矩陣論的研究報告》，這項研究成果使我們對矩陣的認識更深入了一步。 本文定義了矩陣相等、矩陣的算法、矩陣的轉(zhuǎn)置和基本概念，如矩陣的逆矩陣的加法，給出了系列，互換性和約束力。除此之外，英國數(shù)學(xué)家凱萊（ Cayley） 也 給出了方陣的特征根（特征值） ，還有其他許多結(jié)論。 矩陣的發(fā)展歷史，著名的德國數(shù)學(xué)家弗洛伯紐斯 （ Frobenius）起著非常重要的作用，他是第一個對矩陣中最小多項式問題作全面介紹的著 名數(shù)學(xué)家。 他天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 2 還介紹了矩陣的秩、不變的因素和主要 因素、正交矩陣相似變換 等知識 ，矩陣的其他概念如合同，不變的因素和主要因素理論的邏輯排列的形式等等 在他的著作中也有體現(xiàn) 。 在 19世紀 50 年代 ，約丹 經(jīng)過潛心研究 首先發(fā) 表 了把一般矩陣化為標準型 矩陣 的方法。 到了 19世紀 90 年代， 梅茨勒（ Metzler） 首先提出 了矩陣函數(shù)的 基本 概念 ，最后找到用 冪級數(shù)形式將 表示 矩陣的 方法，這些對矩陣的發(fā)展意義重大。 此外 ，傅 立葉（ Fourier） 與 龐加萊（ Poincare） 研究的主要是無窮矩陣方面 。到這時，矩陣已經(jīng)相當完善了。 矩陣最大的用途就 是在實踐中 解 用常規(guī)方法難以求解的 方程 。 另 外 一個 在實際操作中很有意義的作用 是 代表 線性變換，即是 像 f(x)、 4x之類的 關(guān)于 線性函數(shù)的 推論 。矩陣的特征向量可以揭示一個線性變換的深層次特征。隨著兩個世紀中無數(shù)數(shù)學(xué)家的無私奉獻，矩陣論已經(jīng)成為了一門完善的數(shù)學(xué)分支。矩陣在很多方面都有重要應(yīng)用，例如數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，力學(xué)、物理學(xué)、工程數(shù)學(xué)、經(jīng)濟管理方面都有矩陣的出現(xiàn)。 本文所做的主要工作 矩陣理論包含的內(nèi)容非常非常多，矩陣函數(shù)在矩陣理論中占據(jù)非常重要的位置，相比于矩陣函數(shù)中的其他知識，矩陣多項式比較容易理解，就是這樣 容易理解的矩陣多項式是我們對矩陣函數(shù)進行研究的理論基礎(chǔ)。 矩陣函數(shù)的定義方式有多種，本文主要是從多項式和冪級數(shù)兩個方面進行研究的。本文主要論述了矩陣函數(shù)以及應(yīng)用。在文章的第一部分，總結(jié)了矩陣函數(shù)所必須的基礎(chǔ)知識，主要包括代數(shù)學(xué)多項式理論、行列式與矩陣等方面的一些結(jié)論以及數(shù)學(xué)分析中冪級數(shù)的若干法則。文章的第二部分，總結(jié)了矩陣函數(shù)的概念、性質(zhì)、推論，介紹了若干重要的矩陣函數(shù)。文章的第三部分，歸納了矩陣函數(shù)的若干計算方法，包括了 HamiltioCayley 定理、利用相似對角化計算、利用 Jordan 標準型 法進行 計算 、利用待定系數(shù)法 求解 等四種計算方法。在這部分的最后對這四種方法進行了比較，在比較中加深對矩陣函數(shù)求解的認識?？梢愿鶕?jù)計算過程中遇到的實際情形加以選擇，將會給計算帶來很大方便。本文的第四部分，通過查閱文獻和指導(dǎo)教師 交流 的方式，在求解線性微分方程 過程中有對 矩陣函數(shù)的應(yīng)用研究，并 介紹了 在線性系統(tǒng)的可控性和可觀性 中 矩陣函數(shù)的應(yīng)用。本文的最后部分，通過 Matlab 編寫能計算常用矩陣函數(shù)的程序，將使矩陣函數(shù)的計算更方便、迅速。 2 矩陣函數(shù) 研究本論文具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 為了進一步討論和便于理解，引入以下研究本 論文的相關(guān)概念： 線性空間 在集合上具有一定的結(jié)構(gòu)或符合一定的要求，那么這個集合就是特定的空間。如果 V 是非空的集合， P 是數(shù)域。對 V 里的元素定義代數(shù)類運算，叫作加法；就是給出一種規(guī)則，使 V 中任意兩個元素 x 和 y ，都能在 V 中找到唯一的一個 z 和它匹配，其中天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 3 z 是 x 與 y 的和，記為 z x y?? 。在數(shù)域 P 與集合 V 中的元素再定義另外一種運算，叫作數(shù)量乘法；就是如果數(shù)域 P 中任何一數(shù) k 與 V 中的任何一個元素 x ，在 V 中都能找到一個元素h 和它匹配， h 是 k 和 x 的數(shù)量乘積，記為 h kx? 。若加法與數(shù)乘都同時符合它們的運算法則，那么 V 就叫作數(shù)域 P 上的線性 空間。 級數(shù) 級數(shù)知識是 分析科學(xué) 中一個重要的部分；這個概念經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其他分支。把數(shù)列 nu 的項 1u ， 2u ，?， nu ，?逐項相加得到的 函數(shù) 。 數(shù)項級數(shù) 簡稱級數(shù)。如：12 nu u u? ? ? ?，縮寫為 nu? ， nu 就是級數(shù)的通項，記 作 nnSu?? 是級數(shù)的部分和。如果當 n?? 時， 數(shù)列 極限 nS 有 S ，級數(shù)就是收斂的，否則就是發(fā)散的。研究函數(shù)經(jīng)常會用到級數(shù)，它不管在理論上還是實際中都有很多用途，原因主要有一下兩個方面：一、許多經(jīng)常用到的非 初等函數(shù) 可以用 級數(shù)表示，級數(shù)還可以表示 微分方程 的解；二、函數(shù)可以用來表示級數(shù)，也能用級數(shù)去探討函數(shù)的性質(zhì)。冪級數(shù)，是級數(shù)中非常重要的一種，被當作基礎(chǔ)知識應(yīng)用在實變型函數(shù)、復(fù)變型函數(shù)和其他許多基本領(lǐng)域中，在這些領(lǐng)域發(fā)揮巨大的作用。冪級數(shù)是指每一項均對應(yīng)著級數(shù)項序號 n 的常數(shù)倍的 ()xa? 的 n 次方（ n 是從 0遞增的自然數(shù)， a 是常數(shù)）。 冪級數(shù) 與多項式 形式 非常接近 ，在 許多方面有相似的特征 ，可以被 視為 “ 無限的 多項式 ” 。 正定矩陣 在線性代數(shù)里，正定矩陣有時會簡稱為正定陣。它的定義有廣義和狹義之分。廣義定義：設(shè) M 是 n 階方陣，如果有任意非零向量 z ，都有 39。 0zMz? ， 39。z 是 z 的轉(zhuǎn)置，稱為 M 正定矩陣。例如： B 為 n 階矩陣， E 為單位矩陣， a 為正實數(shù)。 aE B? 在 a 充分大時， aE B? 為正定矩陣。（ B 必須為對稱陣）狹義定義：一個 n 階的實對稱矩陣 M 是正定的 當且僅當 對于所有的非零實系數(shù) 向量 z ，都有 39。 0zMz? 。其中 39。z 表示 z 的 轉(zhuǎn)置 。 線性算子 線性算子， 有數(shù)學(xué)運算各領(lǐng)域的 線性性質(zhì)（如線性變換，線性代數(shù)理論的微分方程，積分方程理論，微分，積分，積分變換）的抽象概括。 它是研 究線性泛函的一個重要目標。線性算子的用途很廣，不但應(yīng)用在數(shù)學(xué)的很多分支當中，同時對于量子物理也是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 對稱矩陣和反對稱矩陣 對稱矩陣的定義是： TAA? （ A 的轉(zhuǎn)置），對稱的矩陣元素 ( , ) ( , )i j j iAA? 。反對稱矩陣的定義為： TAA?? (A 的轉(zhuǎn)置前加負 )它的首行與首列各元素絕對值相等，符號相反。即 ( , ) ( , )i j j iAA?? , 因此，在對角線上的元素， ( , ) ( , )i i i iAA?? ,有 ( , )20iiA ? ， 在非偶數(shù)域中，有 ( , ) 0iiA ? ，即反對稱矩陣對角線元素為零，此性質(zhì)只在非偶數(shù)域中成立。 6 、 化零（零化）多項 式 給定矩陣 nnAC?? ，如果多項式11 1 0() mmmmp a a a a? ? ? ???? ? ? ? ?，滿足 ( ) 0pA? ,則稱 ()p? 是 A 的化零多項式， （一般天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 4 取首項系數(shù)為 1） 。 矩陣的譜半徑 設(shè) A 是 nn? 矩陣， i? 是其特征值， i = 1， 2，??， n 。下面通過數(shù)學(xué)式子將其表示出來。假如 ? ?A? 表示 A 的譜半徑，即 ? ? ? ?m a xAA? ? ?? ?? 是 的 特 征 值。也就是說矩陣 A 的譜半徑是矩陣 A 的全部特征值求模的最大值；如果特征值是虛數(shù)，譜半徑就是實部和虛部的平方和求算術(shù)平方根。 nnF? 表示數(shù)域 F上 nn? 矩陣全體的線性空間； nnC? 表示 nn? 復(fù)矩陣集； ? ?,PF? 數(shù)域 F上 ? 的純量多項式； 1矩陣的譜 矩陣 A 通過數(shù)學(xué)運算計算出來的特征值的集合就是一個矩陣的譜，通過數(shù)學(xué)表達式表示出來也就是： ? ?A? 表示 A 的譜，即 ? ? ? ?AA? ? ?? 是 的 特 征 值； 1其中次數(shù)最低的零化多項式稱為矩陣 A 的最小多項式，記做 ? ?m??； 1文獻 [1]給出矩陣級數(shù)的定義： 定義 1：設(shè) {}kA 是 mnC? 的矩陣序列，其中 ()k k m nijA a C ???，無窮和 1 2 3 kA A A A? ? ? ?稱為矩陣級數(shù)，記為1kk A???.對正整數(shù) 1k? ，記1kkiiSA???稱 ()kS為矩陣級數(shù)1kk A???的部分和，如果矩陣序列 {}kS 收斂，且有極限 S ，即 lim kk SS?? ?，則稱矩陣級數(shù)1kk A???收斂，并稱 S 為矩陣級數(shù)1kk A???的和，記為1kk AS?? ??。不收斂的矩陣級數(shù)稱為發(fā)散的 . 定義 2：設(shè) nnAC?? ，形如 20 1 20 kkk c A c I c A c A c A?? ? ? ? ? ? ?? 的矩陣級數(shù)稱為矩陣冪級數(shù) . 1相似矩陣 設(shè) ,AB是 n 階矩陣，如果存在 n 階可逆矩陣 P 使 1B P AP?? ,則稱矩陣 A與 B 相似的，記為 。 1可對角化矩陣 如果 n 階方陣 A 能與一個對角矩陣相似，就說 A 可對角化。 n 階方陣 A 可對角化的充要條件是它有 n 個線性無關(guān)的特征向量。 對角矩 陣 (diagonal matrix)是一個 矩陣 主對角線 之外的 所有 元素 都是 0。對角線上的元素可以 是 0或 任何 其他值。 然后引入天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 5 線性無關(guān)的概念。對向量組 ，如果有一組不全為零的數(shù) ,然后 被稱為向量組 線性相關(guān) .如果沒有這樣的 ,換句話就是向量等式當且僅當 才成 立 ,就稱向量組 是線性無關(guān)的 . 1可逆矩陣 可逆矩陣是線性代數(shù)中的一種矩陣，其定義為在線性代數(shù)中，給定一個 n 階方陣 A ，若存在一 n 階方陣 B ，使得 nAB BA I??（或 nABI? 、 nBA I? 滿足任意一個），其中 nI 為 n 階單位矩陣，則稱 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆矩陣，記作 1A? 。 矩陣函數(shù)的定義 類 比于代數(shù)中函數(shù)的定義，能知道定義域和值域都屬于方陣的函數(shù)稱為矩 陣函數(shù)。矩陣函數(shù)的定義方式有很多種，為了便于進一步的研究，本文主要從經(jīng)常使用的多項式和冪級數(shù)來定義矩陣函數(shù)。 矩陣函數(shù)的多項式表示： 設(shè) ? ?ij nnAa?? 是 數(shù) 域 F 上 的 一 個 n 階 矩 陣 ， 簡 記 為 nnAF?? ，? ? ? ?20 1 2 +0nnnf a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ?…是數(shù)域 F 上 的 一 個 n 次 多 項 式 ， 簡 記 為? ? ? ?,f P F??? ，將此多項式中 i? 換成 iA ，其中