【正文】 。事實(shí)上子宮基質(zhì)的控制中心和開(kāi)始生活意義的地方是矩陣最開(kāi)始的意義，所以說(shuō)矩陣有生命的意義。在過(guò)去的很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，矩陣都是人們解決線性問(wèn)題的最主要方法。成書(shū)于漢朝前期的《九章算術(shù)》，在表示線性方程組的過(guò)程中使用了將方程中不同系數(shù)分開(kāi)的方法，這種方法在后來(lái)的不斷演化下最終得到方程的增廣矩陣。 在數(shù)學(xué)中，開(kāi)始出現(xiàn)的是對(duì)現(xiàn)在數(shù)學(xué)都有決定性的行列式，但需要行列式的行和列相等，最終的排成的表都是方的，隨著研究的深入人們發(fā)現(xiàn)行數(shù)等于列數(shù)的行列式已經(jīng)無(wú)法滿足現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際需要了。 在學(xué)術(shù)研究中恰當(dāng)?shù)厥褂镁仃嚕苡孟蛄靠臻g中的向量表示線性方程組中系數(shù)矩陣；因此，一個(gè)多元線性方程組的解的情況，以及一系列問(wèn)題的理論解之間的不同關(guān)系， 都 可以 得到 徹底解決。 “矩陣”由英國(guó)數(shù)學(xué)家葉 （ Sylvester）第一次使用，他使用的這個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)最后將矩陣的列數(shù)和早期的行列式分離開(kāi)來(lái)。在 19 世紀(jì) 50 年代， 英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（ Cayley） 公開(kāi)展示了自己關(guān)于矩陣的最新研究成果 《矩陣論的研究報(bào)告》，這項(xiàng)研究成果使我們對(duì)矩陣的認(rèn)識(shí)更深入了一步。 他天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 2 還介紹了矩陣的秩、不變的因素和主要 因素、正交矩陣相似變換 等知識(shí) ，矩陣的其他概念如合同，不變的因素和主要因素理論的邏輯排列的形式等等 在他的著作中也有體現(xiàn) 。到這時(shí)，矩陣已經(jīng)相當(dāng)完善了。隨著兩個(gè)世紀(jì)中無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的無(wú)私奉獻(xiàn)，矩陣論已經(jīng)成為了一門完善的數(shù)學(xué)分支。本文主要論述了矩陣函數(shù)以及應(yīng)用。在這部分的最后對(duì)這四種方法進(jìn)行了比較，在比較中加深對(duì)矩陣函數(shù)求解的認(rèn)識(shí)。 2 矩陣函數(shù) 研究本論文具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 為了進(jìn)一步討論和便于理解，引入以下研究本 論文的相關(guān)概念： 線性空間 在集合上具有一定的結(jié)構(gòu)或符合一定的要求，那么這個(gè)集合就是特定的空間。若加法與數(shù)乘都同時(shí)符合它們的運(yùn)算法則，那么 V 就叫作數(shù)域 P 上的線性 空間。如：12 nu u u? ? ? ?，縮寫為 nu? ， nu 就是級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，記 作 nnSu?? 是級(jí)數(shù)的部分和。冪級(jí)數(shù)是指每一項(xiàng)均對(duì)應(yīng)著級(jí)數(shù)項(xiàng)序號(hào) n 的常數(shù)倍的 ()xa? 的 n 次方（ n 是從 0遞增的自然數(shù)， a 是常數(shù)）。廣義定義：設(shè) M 是 n 階方陣，如果有任意非零向量 z ，都有 39。 aE B? 在 a 充分大時(shí)， aE B? 為正定矩陣。z 表示 z 的 轉(zhuǎn)置 。 對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣 對(duì)稱矩陣的定義是： TAA? （ A 的轉(zhuǎn)置），對(duì)稱的矩陣元素 ( , ) ( , )i j j iAA? 。 矩陣的譜半徑 設(shè) A 是 nn? 矩陣， i? 是其特征值， i = 1， 2，??， n 。 nnF? 表示數(shù)域 F上 nn? 矩陣全體的線性空間； nnC? 表示 nn? 復(fù)矩陣集； ? ?,PF? 數(shù)域 F上 ? 的純量多項(xiàng)式； 1矩陣的譜 矩陣 A 通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算計(jì)算出來(lái)的特征值的集合就是一個(gè)矩陣的譜，通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái)也就是： ? ?A? 表示 A 的譜，即 ? ? ? ?AA? ? ?? 是 的 特 征 值； 1其中次數(shù)最低的零化多項(xiàng)式稱為矩陣 A 的最小多項(xiàng)式，記做 ? ?m??； 1文獻(xiàn) [1]給出矩陣級(jí)數(shù)的定義： 定義 1：設(shè) {}kA 是 mnC? 的矩陣序列，其中 ()k k m nijA a C ???，無(wú)窮和 1 2 3 kA A A A? ? ? ?稱為矩陣級(jí)數(shù)，記為1kk A???.對(duì)正整數(shù) 1k? ，記1kkiiSA???稱 ()kS為矩陣級(jí)數(shù)1kk A???的部分和，如果矩陣序列 {}kS 收斂，且有極限 S ，即 lim kk SS?? ?，則稱矩陣級(jí)數(shù)1kk A???收斂，并稱 S 為矩陣級(jí)數(shù)1kk A???的和，記為1kk AS?? ??。 對(duì)角矩 陣 (diagonal matrix)是一個(gè) 矩陣 主對(duì)角線 之外的 所有 元素 都是 0。 矩陣函數(shù)的定義 類 比于代數(shù)中函數(shù)的定義，能知道定義域和值域都屬于方陣的函數(shù)稱為矩 陣函數(shù)。 性質(zhì) 7：設(shè) nnAC?? ，函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義，則 ? ? ? ?T Tf A f A????? 證 由于 A 與 TA 相似，因此， A 與 TA 有相同的譜，也有相同的最小多項(xiàng)式，由 ??fz在? ?A? 上有定義，則 ??fz在 ? ?TA? 上有定義，且 ??fz在 A 與 TA 的譜上的值相同，因此可取相同的多項(xiàng)式 ??z? ，使得 ? ? ? ? ? ? ? ?, TTf A A f A A????. 所以? ? ? ? ? ? ? ? TTTTf A A A f A?? ??? ? ? ?????? 性質(zhì) 8：設(shè) A 是對(duì)稱矩陣，函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義，則 ? ?fA是對(duì)稱矩陣 性質(zhì) 9：設(shè) A 是實(shí)對(duì)稱矩陣，實(shí)函數(shù) ??fz在 ? ?A? 上有定義，且對(duì) A 的任一特征值 ? ，有 ? ? 0f ? ? ，則 ? ?fA是正 定矩陣。 常用的矩陣函數(shù) 在矩陣 理論 中，有許多不同 種類 的矩陣函數(shù)。如： Ae ， sinA ,cosA ,ln( )IA? 。如果把矩陣函數(shù) ()fA的變?cè)?A 換成 At ，其中 t 為參數(shù)，則相應(yīng)地有0( ) ( )kkkf A t a A t??? ?。 [13]和矩陣函數(shù)相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題將會(huì)在本文中進(jìn)行研究。為此，我們介紹下列幾種常用的算法。 證 設(shè) B(?)是 AIn?? 的伴隨矩陣，則根據(jù)伴隨矩陣的定義有： nnnn IfIAIAIB )(||))(( ???? ???? ． 因?yàn)榫仃?B(?)的元素是 || AIn?? 的各個(gè)代數(shù)余子式，都是 ?的多項(xiàng)式，其次數(shù)不超過(guò)1?n ．因此由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)， B(?)可以寫成 11201)( ??? ???? nnn BBBB ???? ． 其中 110 ?nBBB ， ? ∈ Mn(F)． 再設(shè) nnnn aaaf ????? ?? ???? 111)( ?，則 nnnnnnn IaIaIIf ???? ? ?11)( ??? ． (1) 于是 ))(())(( 11201 AIBBBAIB nnnnn ?????? ??? ????? ? ABABBABBABBB nnnnnn 1211220xx0 )()()( ????? ????????? ???? ? (2) 比較 (1)和 (2)，得 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 11 ??????????????????????nnnnnnnnnnIaABIaABBIaABBIaABBIB11212121010????????? ． (3) 用 nnn IAAA ,1 ??， 依次從右邊乘 (3)的第一式，第二式，?，第 n 式，第 n+1 式，得 ???????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnIABAaABABAaABABAaABABAAB?11221221122110110???????????． (4) 把 (4)的 n+1 個(gè)式子相加，左邊變成 零，右邊就是 f (A)，故 f(A)=0． 為了繼續(xù)研究的需要，在這里對(duì)上文中提到的伴隨矩陣的概念作簡(jiǎn)單的介紹。矩陣 A 的伴隨 矩陣 可以按下面的方法定義： 代數(shù)余子式 ；（ 代數(shù)余子式 的定義：在一個(gè) n 階 行列式 A 中 ,把 元 所在的第 行和第 列的全部元素去掉，剩下的所有元素組成的 階 行列式 叫做 元 的余子式，記著 。一般研究的代數(shù)結(jié)構(gòu)有 群 、 環(huán) 、 域 、 格 、 模 、域代數(shù)和 向量空間 等等。所以滿足上述定義的多項(xiàng)式就被稱為多項(xiàng)式環(huán)。 解 A 的特征多項(xiàng)式為 2 1IA??? ? ? ,通過(guò) HamiltioCayley 定理有： 2 0AI?? ,即 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 13 2 3 4 5, , , , ,A I A A A I A A? ? ? ? ? ? 即 2 2 1( 1 ) , ( 1 ) ( 1 , 2 , ) ,k k k kA I A A k?? ? ? ? ? 故 01!At k kke A tk???? 2 4 3 512 ! 4 ! 3 ! 5 !t t t tI t A? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? (cos ) (sin )t I t A?? cos sinsin costt????????. 利用相似對(duì)角化求矩陣函數(shù) 設(shè) nnAC?? 是對(duì)角矩陣，那么必有 n 階的可逆矩陣 P ,使 1 12( , , , ) ,nP A P d ia g ? ? ?? ? ? ? 則有110 0 01120 0 0112( ) ( ) ( )( , , , )( ( ) , ( ) , , ( ) ) ,k k kk k kk k kk k kk k k nk k knf A a A a P P P a PPdi ag a a a PPdi ag f f f P? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? ? ? 從而， 112( ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) .nf A t P d ia g f t f t f t P? ? ? ?? 為了便于理解，這里簡(jiǎn)單介紹一下文中將會(huì)用到的可對(duì)角化矩陣、可逆矩陣、 可交換矩陣和變換矩陣的相關(guān)概念。 n 階的方陣 A 能對(duì)角化的充要條件是它具備 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 在 線性代數(shù) 中， 線性變換 能夠用 矩陣 表示。對(duì)應(yīng)于 1=2? 的特征向量 1= , , T? （ 111） ；對(duì)應(yīng)于 23= =1?? 線性無(wú)關(guān)的特征向量 2 = , , T? （ 210） ， 3= , , T? （ 001） ，故 1 2 01 1 01 0 1P???????， 使得 1 2 0 00 1 0 .0 0 1P A P????????? 于是 21000000tA t ttee P e Pe????????? 22222 2 2 02 0 .22t t t tt t t tt t t t te e e ee e e ee e e e e??????????? ? ????? 1c o s( 2 ) 0 0c o s 0 c o s 1 00 0 c o s 1A P P ????????? 2 c os 1 c os 2 2 c os 1 2 c os 2 0c os 2 c os 1 2 c os 2 c os 1 0 .c os 2 c os 1 2 c os 2 2 c os 1 c os 1??????? ? ????? 上面介紹的是一般矩陣，一般矩陣可以通過(guò)相似對(duì)角化的方法求解矩陣函數(shù)，對(duì)一般矩陣而言相似對(duì)角化的過(guò)程必須先求出矩陣的特征向量。 (1)矩陣函數(shù)為矩陣冪函數(shù) ? ?= mf A A 若 A 為對(duì)角矩陣，即12nddAd????????? 則由矩陣乘法，有 ? ?? ?? ?? ?1 122=mmmmnnd fdfddf A Afdd?? ???? ???????????? 若 A 為分塊對(duì)角矩陣，即12nAAAA?????????，其中 ? ?1, 2, ,iA i s? … 為子塊。 求 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的具體方法： 首先求給定矩陣 A 的特征矩陣 IA?? ； 再求矩陣 A 的初等因子組 ? ? ? ? ? ?1212 , , , sm m ms? ? ? ? ? ???…，其中 12, , ,