北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何測試題b-資料下載頁
2025-11-24 00:15本頁面
【導(dǎo)讀】時間120分鐘，滿分150分。2．已知A，B，C，令a＝CA→，b＝CB→，則a＋b對應(yīng)。kλ＋k＝6，2μ－1＝0，4．已知a，b是兩異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥。[解析]由于AB→＝AC→＋CD→＋DB→，〈AB→，CD→〉＝60°，故選B．。[解析]∵OB→－OC→＝CB→，OA1→－OD1→＝D1A1→，2AD→·BD→＝2DA→·DB→＝2a2cos60°＝a2，2FG→·CA→＝AC→·CA→＝－a2,2EF→·CB→＝BD→·CB→＝－BD→·BC→＝－12a2.設(shè)平面PCD的法向量n＝，顯然平面PAB的一個法向量e＝，cos〈n，e〉＝n·e|n|·|e|＝22，∴〈n，e〉＝45°，∴二面角大小為45°.由{n·ED→＝n·EB→＝0，得{c＝2ac＝2b.12．已知A，B，P是x軸上的動點，當AP→·BP→取最小值時，點P的坐
【正文】 AE. (2)由題設(shè)和 (1)知， CD→ ， PA→ 分別是平面 PAE，平面 ABCD的法向量 ． 而 PB與平面 PAE所成的角和 PB與平面 ABCD所成的角相等， 所以 |cos〈 CD→ ， PB→ 〉 |＝ |cos〈 PA→ ， PB→ 〉 |， 即 | CD→ PB→|CD→ ||PB→ ||＝ | PA→ PB→|PA→ ||PB→ ||. 由 (1)知， CD→ ＝ (－ 4,2,0)， PA→ ＝ (0,0，－ h)， 又 PB→ ＝ (4,0，－ h)， 故 | － 16＋ 0＋ 02 5 16＋ h2|＝ | 0＋ 0＋ h2h 16＋ h2|. 解得 h＝ 8 55 . 又梯形 ABCD的面積為 S＝ 12 (5＋ 3) 4＝ 16， 所以四棱錐 P－ ABCD的體積為 V＝ 13 S PA ＝ 13 16 8 55 ＝ 128 515 . 21． (2021天津理 ， 17)如圖 ， 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中 ， 側(cè)棱 A1A⊥ 底面 ABCD， AB⊥ AC， AB＝ 1， AC＝ AA1＝ 2， AD＝ CD＝ 5， 且點 M和 N分別為 B1C 和 D1D 的中點 ． (Ⅰ )求證 ： MN∥ 平面 ABCD； (Ⅱ )求二面角 D1－ AC－ B1的正弦值 ； (Ⅲ )設(shè) E 為棱 A1B1上的點 ． 若直線 NE 和平面 ABCD所成角的正弦值為 13， 求線段 A1E的長 ． [解析 ] 以 A為原點建立空間直角坐標系 (Ⅰ )求出直線 MN的方向向量與平面 ABCD的法向量， 兩個向量的乘積等于 0即可； (Ⅱ )求出兩個平面的法向量，可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可； (Ⅲ ) 設(shè) A1E→ ＝ λA1B1→ ，代入線面角公式計算可解出 λ的值，即可求出 A1E的長 ． 解： 如圖 ， 以 A為原點建立空間直角坐標系 ， 依題意可得 A(0,0,0)， B(0,1,0)， C(2,0,0)，D(1，－ 2,0)， A1(0,0,2)， B1(0,1,2)， C1(2,0,2)， D1(1，－ 2,2)， 又因為 M， N 分別為 B1C 和D1D的中 點 ， 得 M?? ??1， 12， 1 ， N(1，－ 2,1)． (Ⅰ )依題意 ， 可得 n＝ (0,0,1)為平面 ABCD的一個法向量 ， MN→ ＝ ?? ??0，－ 52， 0 ， 由此可得 ， MN→ n＝ 0， 又因為直線 MN?平面 ABCD， 所以 MN∥ 平面 ABCD． (Ⅱ )AD1→ ＝ (1，－ 2,2)， AC→ ＝ (2,0,0)， 設(shè) n1＝ (x1， y1， z1)為平面 ACD1的法向量 ， 則 ????? n1AD→ ＝ 0，n1AC→ ＝ 0， 即????? x1－ 2y1＋ 2z1＝ 0，2x1＝ 0， 不妨設(shè) z1＝ 1， 可得 n1＝ (0,1,1)， 設(shè) n2＝ (x2， y2， z2)為平面 ACB1的一個法向量 ， 則????? n2AB1→ ＝ 0，n2AC→ ＝ 0，又 AB1→ ＝ (0,1,2)， 得 ????? y2＋ 2z2＝ 0，2x2＝ 0， ， 不妨設(shè) z2＝ 1， 可得 n2＝ (0，－ 2,1). 因此有 cos〈 n1， n2〉＝ n1n2|n1||n2|＝－ 1010 ， 于是 sin〈 n1， n2〉＝ 3 1010 ， 所以二面角 D1－ AC－ B1的正弦值為 3 1010 . (Ⅲ )依題意 ， 可設(shè) A1E→ ＝ λA1B1→ ， 其中 λ∈ [0,1]， 則 E(0， λ， 2)， 從而 NE→ ＝ (－ 1， λ＋ 2,1)，又 n＝ (0,0,1)為平面 ABCD的一個法向量 ， 由已知得 cos〈 NE→ ， n〉＝ NE→ n|NE→ ||n|＝ 1?－ 1?2＋ ?λ＋ 2?2＋ 12＝ 13， 整理得 λ2＋ 4λ－ 3＝ 0， 又因為 λ∈[0,1]， 解得 λ＝ 7－ 2， 所以線段 A1E的長為 7－ 2.
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