北師大版選修2-1高中數(shù)學第二章《空間向量與立體幾何》測試題b-預覽頁
【正文】 D、DC的中點 ， 則下列向量的數(shù)量積等于 a2的是 ( ) A． 2BA→ CB→ [答案 ] B [解析 ] 2BA→ BD→ ＝ 2DA→ CA→ ＝－ a2,2EF→ B． 45176。PD→ ＝ n ∴ 二面角大小為 45176。AM→ ＝ 0， ∴ x＝ 1， ∴ M??? ???22 ， 22 ， 1 ，故選 C． 簡解：設 AC、 BD相交于 O連 OE， ∵ AM∥ 平面 BDE， ∴ AM∥ OE， ∴ M為 EF的中點，又 E(0,0,1)， F( 2， 2， 1)， ∴ M( 22 ， 22 ， 1)，故選C． 二、填空題 (本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分 ) 11． 已知向量 a＝ (0,2,1)， b＝ (－ 1,1，－ 2)， 則 a與 b的夾角為 __________________． [答案 ] π2 [解析 ] aBP→ 取最小值 74，此時點 P的坐標為 (12， 0,0)． 13． 已知空間三點 A(1,1,1)、 B(－ 1,0,4)、 C(2，－ 2,3)， 則 AB→ 與 CA→ 的夾角 θ 的大小是________________． [答案 ] 120176。 2＝－ 36 . ∴ OC與 BC1所成角的余弦值為 36 . 15． 已知 A(1,1,0)， B(1,2,1)， C(0,0,2)， 則原點 O到平面 ABC的距離為 ________________． [答案 ] 2 1111 [解析 ] 設過 O與平面 ABC垂直的向量為 OH→ ，則 ????? OH→ b|a||b|＝ － 1＋ 0＋ 02 5 ＝－ 1010 ， ∴ a與 b的夾角 θ的余弦值為－ 1010 . (2)ka＋ b＝ (k， k,0)＋ (－ 1,0,2)＝ (k－ 1， k,2)， ka－ 2b＝ (k， k,0)－ (－ 2,0,4)＝ (k＋ 2， k，－ 4)． ∴ (k－ 1， k,2)AB1→ ＝ 0且 nBM→ ＝ 0即????? x0＋ y0＝ 012y0＋12z0＝ 0取 z0＝ 1 得平面 MBC的一個法向量 n＝ (1，－ 1,1) 設直線 AD與平面 MBC所成的角為 θ， 則 sinθ＝ |cos〈 n， AD→ 〉 |＝ |nAE→ ＝－ 8＋ 8＋ 0＝ 0， CD→ PB→|PA→ |天津理 ， 17)如圖 ， 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中 ， 側棱 A1A⊥ 底面 ABCD， AB⊥ AC， AB＝ 1， AC＝ AA1＝ 2， AD＝ CD＝ 5， 且點 M和 N分別為 B1C 和 D1D 的中點 ． (Ⅰ )求證 ： MN∥ 平面 ABCD； (Ⅱ )求二面角 D1－ AC－ B1的正弦值 ； (Ⅲ )設 E 為棱 A1B1上的點 ． 若直線 NE 和平面 ABCD所成角的正弦值為 13， 求線段 A1E的長 ． [解析 ] 以 A為原點建立空間直角坐標系 (Ⅰ )求出直線 MN的方向向量與平面 ABCD的法向量， 兩個向量的乘積等于 0即可； (Ⅱ )求出兩個平面的法向量，可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可； (Ⅲ ) 設 A1E→ ＝ λA1B1→ ，代入線面角公式計算可解出 λ的值，即可求出 A1E的長 ． 解： 如圖 ， 以 A為原點建立空間直角坐標系 ， 依題意可得 A(0,0,0)， B(0,1,0)， C(2,0,0)，D(1，－ 2,0)， A1(0,0,2)， B1(0,1,2)， C1(2,0,2)， D1(1，－ 2,2)， 又因為 M， N 分別為 B1C 和D1D的中 點 ， 得 M?? ??1， 12， 1 ， N(1，－ 2,1)． (Ⅰ )依題意 ， 可得 n＝ (0,0,1)為平面 ABCD的一個法向量 ， MN→ ＝ ?? ??0，－ 52， 0 ， 由此可得 ， MN→ AB1→ ＝ 0，n2n|NE→ ||n|＝ 1?－ 1?2＋ ?λ＋ 2?2＋ 12＝ 13， 整理得 λ2＋ 4λ－ 3＝ 0， 又因為 λ∈[0,1]， 解得 λ＝ 7－ 2， 所以線段 A1E的長為 7－ 2.
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