【導(dǎo)讀】1．學(xué)習(xí)卡爾曼的濾波器及車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論。2．能夠運(yùn)用matlab/simulink對(duì)車輛運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行描述和研究。5．翻譯一篇相關(guān)科技文獻(xiàn)。5．對(duì)進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)的建議與思考；自2021年3月16日起至2021年6月14日止。~搜集、閱讀資料，調(diào)研。~整理資料，并完成開題報(bào)告。~實(shí)現(xiàn)基于simulink的車輛側(cè)偏角估計(jì)算法。駛姿態(tài)的一些關(guān)鍵變量進(jìn)行控制，而這些狀態(tài)變量通常很難用合理的成本直接測(cè)量。這給控制算法的實(shí)用性提出了極大的挑戰(zhàn)。本文對(duì)基于狀態(tài)估計(jì)理論在汽車行駛姿態(tài)。針對(duì)不同的使用參數(shù)，包括車速、前輪轉(zhuǎn)角和路面摩擦系數(shù)，對(duì)不。系對(duì)仿真結(jié)果的影響。坐標(biāo)一橫擺角速度、質(zhì)心側(cè)偏角和的影響。此研究工作實(shí)現(xiàn)了利用較容易測(cè)量狀態(tài)量對(duì)較難測(cè)量或無法直接測(cè)量的狀態(tài)量。的線性最小均方誤差估計(jì)，為汽車參數(shù)的測(cè)量提供了一種可行、準(zhǔn)確、低成本的方法。

　　

【正文】 k ?1) ? K(k)C(k)P(k | k ?1) （ e1） 式（ e）和（ e1）相同，適用于增益為最優(yōu)卡爾曼增益的時(shí)候。使用其它增益的話要用公式（ e3）。 P(k | k) = P(k | k ?1) ? K(k)S(k)KT (k) （ e2） 其中，測(cè)量的預(yù)測(cè)協(xié)方差（或新息協(xié)方差） S(k) = C(k)P(k | k ?1)CT (k) + R(k)，用來衡量新息（測(cè)量值減去測(cè)量估計(jì)值）的不確定性，新息的協(xié)方差越小，說明測(cè)量值越精確。 P(k | k) = [I ? K(k)C(k)]P(k | k ?1)[I ? K(k)C(k)]T ? K(k)R(k)KT (k) （ e3） 其中， I 為與協(xié)方差陣同維的單位陣。式（ e3）可保證協(xié)方差陣 P 的對(duì)稱性和正定性。這個(gè)公式對(duì)于任何卡爾曼增益 K 都成立。 式（ e）或（ e1）計(jì)算比較簡(jiǎn)單，所以實(shí)際中總是使用這個(gè)公式，但是需要注意這個(gè)公式僅在使用最優(yōu)卡爾曼增益時(shí)它才成立。如果算術(shù)精度總是很低而導(dǎo)致出現(xiàn)問題，或者特意使用了非最優(yōu)卡爾曼增益，就必須使用式（ e3）。 連續(xù)系統(tǒng)的卡爾曼濾波問題 在許多實(shí)際控制過程中，系統(tǒng)往往受到隨機(jī)干擾的作用。在 這種情況下，線性連續(xù)系統(tǒng)的控制過程可用下式表示： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t B t u t F t w t? ? ? 式中， ()xt 是控制系統(tǒng)的 n維狀態(tài)向量， ()ut 是 r維控制向量，假定 ()wt 是均值為零的 p維白噪聲向量， ()At 是 nn? 矩陣， ()Bt 是 nr? 矩陣， ()Ft 是 np? 矩陣。 對(duì)于實(shí)際控制系統(tǒng)，最優(yōu)控制律或自適應(yīng)控制律的形成需要系統(tǒng)的狀態(tài)變量，而狀態(tài)變量往往不能直接獲得，需要通過測(cè)量裝置進(jìn)行觀測(cè)，根據(jù)觀測(cè)得到的信號(hào)來確定狀態(tài)變量。但測(cè)量裝置中一般都存在隨機(jī)干擾，因此在觀測(cè)得到的信號(hào)中夾雜有隨機(jī)噪聲。要從夾雜有隨機(jī)噪聲的觀測(cè)信號(hào)中準(zhǔn)確的分離出狀態(tài)變量是不可能的，只有根據(jù)觀測(cè)信號(hào)來估計(jì)這些狀態(tài)變量。通常，觀測(cè)系統(tǒng)的觀測(cè)方 程為： ( ) ( ) ( ) ( )z t H t x t v t?? 式中， ()zt 是 m維觀測(cè)向量， ()Ht 是 mn? 矩陣，稱為觀測(cè)矩陣，假定 ()vt 是均值為零江蘇科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 的 m維白噪聲。若 ()wt 和 ()vt 相互獨(dú)立，它們的協(xié)方差矩陣分別為： ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0TTTE w t w Q t tE v t v R t tE w t v? ? ?? ? ???? ?????? ?????? ??? 式中的 ()t??? 是狄拉克（ Dirac） ? 函數(shù)，當(dāng) =t? 時(shí)， ( )=t????；當(dāng) t ?? 時(shí)， ( )=0t??? ，且 ( ) 1td? ? ???? ??? 當(dāng) ()Qt 和 ()Rt 不隨時(shí)間變化時(shí) ， Q和 R都是白 噪聲的譜密度矩陣。 ()Qt 為對(duì)稱的非負(fù)定矩陣， ()Rt 為正定的對(duì)稱矩陣。正定的物理意義是觀測(cè)向量 ()zt 的各分量都附加有隨機(jī)噪聲。 ()Qt 和 ()Rt 都可 對(duì) t微分。 ()xt 的初始 狀態(tài) 0()xt 是一個(gè)隨機(jī)向量，假定 0()xt 的數(shù)學(xué)期望 ? ?00()E x t m? ,協(xié)方差矩陣 ? ? ? ?? ?0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) TP t E x t m x t m? ? ? ?都為已知。 現(xiàn)在的任務(wù)是從觀測(cè)信號(hào) ()zt 中估計(jì)出狀態(tài)變量，希望估計(jì)出來的 ?()xt 值與實(shí)際的()xt 值越接近越好，因此提出最優(yōu) 估計(jì)問題。一般都采用線性最小方差估計(jì)。 線性最小方差估計(jì)方法可闡述如下：假定線性控制過程和觀測(cè)方程如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t B t u t F t w tz t H t x t v t? ? ??? 從時(shí)間 0tt? 開始得到觀測(cè)值 ()zt ，在區(qū)間 0tt???內(nèi)已給出觀測(cè)值 ()z? 。要求找出1()xt 的最優(yōu)線性估計(jì) 1?( / )xt t 。這里記號(hào)“ 1/tt”表示利用 t時(shí) 刻以前的觀測(cè)值 ()z? 來估 計(jì)t1時(shí)刻的 1()xt 值。所謂最優(yōu)線性估計(jì)有一下三點(diǎn)含義： (1) 估值 1?( / )xt t 是 0( ) ( )z t t????， 的線性函數(shù)； (2) 估值是無偏的，即 ? ? ? ?11?( / ) ( )E x t t E x t? ； (3) 要求估值誤差 1 1 1?( / ) ( ) ( / )x t t x t x t t??的方差和為最小，即要求 ? ? ? ?? ?1 1 1 1? ?( ) ( / ) ( ) ( / ) = m i nTE x t x t t x t x t t? ? ? 根據(jù) t1和 t的 大小關(guān)系連續(xù)系統(tǒng)估計(jì)問題可分為三類： 江蘇科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 第一類： 1tt? ,稱為預(yù)測(cè)（或外推）問題； 第二類： 1tt? ，稱為濾波問題； 第三類： 1tt? ，稱為平滑（或內(nèi)插）問題。 通常講的卡爾曼濾波是指預(yù)測(cè)和濾波問題。 2122 0 4 5 ( ) , 5 4 2 8 ( ) , 6 0 ( / )7 7 8 5 0 , 7 6 5 1 0 , 1 . 4 8 8 , 1 . 7 1 2m k g I k g m v k m hk k a b? ? ? ?? ? ? ? 離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波問題 設(shè)離散系統(tǒng)的差分方程和觀測(cè)方程為： ( 1 ) ( 1 , ) ( ) ( 1 , ) ( ) ( 1 , ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x k k k x k G k k u k k k w kz k H k x k v k? ? ? ? ? ? ? ? ??? 式中 ()xk 是 n維狀態(tài)向量， ()uk 是 r維控制向量， ()zk 是 m維觀測(cè)向量， ( 1, )kk?? 是nn? 轉(zhuǎn)移矩陣， ( 1, )Gk k? 是 nr? 矩陣， ( 1, )kk?? 是 np? 矩陣， ()Hk是 mn? 矩陣。假定 ()wk 是均值為零的 p維白噪聲向量序列， ()vk 是均值為零的 m維白噪聲向量序列，若()wk 和 ()vk 相互獨(dú)立，在采樣間隔內(nèi) ()wk 和 ()vk 都為常值，其統(tǒng)計(jì)特性如下： ? ? ? ?( ) ( ) 0( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0Tk kjTk kjTE w k E v kE w k w j QE v k v j RE w k v j??????????????????? 式中 kj? 為可羅尼克函數(shù)，其特性為： 1,0kj kjkj? ???? ?? ,kkQR分別為非負(fù)定矩陣和正定矩陣，都是噪聲的方差矩陣。 狀態(tài)向量 ()xk 的初始統(tǒng)計(jì)特性是給定的，即： ? ?? ?? ?? ?00 0 0( 0)( 0) ( 0) TE x mE x m x m P?? ? ? 給出觀測(cè)序列 (0), (1), , ( )z z z k? ，要求找出 ()xj的線性最優(yōu)估計(jì) ?( / )xj k ，使得估值江蘇科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 21 ?( / )xj k 與 ()xj之間的誤差 ?( / ) ( ) ( / )x j k x j x j k??的方差和為最小，即： ? ? ? ?? ?? ?( ) ( / ) ( ) ( / ) m i nTE x j x j k x j x j k? ? ? 也就是要求各狀態(tài)變量估計(jì)誤差的方差和最小。同時(shí)要求 ?( / )xj k 是 (0), (1), , ( )z z z k?的線性函數(shù)，并且估計(jì)是無偏的，即： ? ? ? ??( / ) ( )E x j k E x j? 根據(jù) j和 k的大小關(guān)系，離散系統(tǒng)估計(jì)問題也可以分為預(yù)測(cè)、濾波和平滑問題。 離散系統(tǒng)卡爾曼最優(yōu)濾波基本方程的推導(dǎo) 先不考慮輸入控制信號(hào)的作用，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x t A t x t F t w tz t H t x t v t?? 式中維數(shù)同前所述。系統(tǒng)相應(yīng)的噪聲協(xié)方差矩陣為： ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0TTTE w t w Q t tE v t v R t tE w t v? ? ?? ? ???? ?????? ?????? ??? 其它初始條件同前文論述，現(xiàn)推導(dǎo)卡爾曼濾波方程。 (1) 假定由觀測(cè)值 (0), (1), , ( )z z z k? 估計(jì)得到狀態(tài)變量 ( 1)xk? 的一步最優(yōu)預(yù)測(cè)估值?( 1/ )x k k? 和觀測(cè)向量 ( 1)zk? 的預(yù)測(cè)估值 ?( 1/ )z k k? 為： ?? ( 1 / ) ( 1 ) ( 1 / )z k k H k x k k? ? ? ? ? (2) 當(dāng)獲得 ( 1)zk? 之后，求得 ( 1)zk? 與 ?( 1/ )z k k? 的誤差，即： ?( 1 / ) ( 1 ) ( 1 / ) ( 1 ) ( 1 / ) ( 1 )z k k z k z k k H k x k k v k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 以 ( 1/ )z k k? 去修正 ?( 1/ )x k k? ，得到 ( 1)xk? 的濾波估值為： ? ?( 1 / 1 ) ( 1 / ) ( 1 ) ( 1 / )x k k x k k K k z k k? ? ? ? ? ? ? ? 或 ? ?? ? ?( 1 / 1 ) ( 1 / ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 / )x k k x k k K k z k H k x k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 式中， ( 1)Kk? 為待定的最優(yōu)增益矩陣。 江蘇科技大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 22 (4) 求估計(jì)誤差 ( 1/ 1)x k k??。將上式改寫成 ? ?? ?( 1 / 1 ) ( 1 / ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 / ) ( 1 )x k k x k k K k H k x k k v k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 則濾波估計(jì)誤差為 ? ?? ??( 1 / 1 ) ( 1 ) ( 1 / ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 / ) ( 1 )( 1 / ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 / ) ( 1 )x k k x k x k k K k H k x k k v kx k k K k H k x k k v k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (5) 由于 ?( 1/ 1)x k k??是 ( 1)xk? 的最優(yōu)估值，估計(jì) 誤差 ( 1/ 1)x k k??必須正交于( 1)zk? ，利用這個(gè)原理求解 ( 1)Kk? 。 ( 1 / 1 ) ( 1 ) 0TE x k k z k??? ? ? ??? 把 ( 1/ 1)x k k??和 ( 1)zk? 的表達(dá)式代入上式，并考慮正交關(guān)系可得 1( 1 / 1 ) ( 1 )( 1 / ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 / ) ( 1 ) ( 1 )0TTTkE x k k z kP k k H k K k H k P k k H k K k R ???? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 求的最優(yōu)增益矩陣為 11( 1 ) ( 1 / ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 / ) ( 1 )TT kK k P k k H k H k P k k H k R ????? ? ? ? ? ? ? ??? (6) 按照估值誤差方差定義推導(dǎo) ( 1/ 1)P k k??的遞推公式得 11( 1 / 1 ) ( 1 / ) ( 1 / ) ( 1 )( 1 ) ( 1 / ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 / )TT kP k k P k k P k k H kH k P k k H k R H k P k k??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? (7) 為了得到 ?( 1/ 1)x k k??與 ?( / )xk k 之間的遞推關(guān)系， ?( 1/ )x k k? 可由下式計(jì)算得到 ? ?( 1 / ) ( 1 , ) ( / )x k k k k x k k? ? ? ? (8) ( 1/ 1)P k k??與 ( / )Pk k 之間的遞推關(guān)系 ( 1 / ) ( 1 , ) ( / ) ( 1 , ) ( 1 / ) ( 1 / )TT kP k k k k P k k k k k k Q k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 綜上所述，上述方程共同構(gòu)成卡爾曼濾波基本方程組，現(xiàn)綜合如下： (1) ? ?? ? ?( 1 / 1 ) ( 1 / ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 / )x k k x k k K k z k H k x k k? ? ? ? ? ? ? ?