正弦定理的證明-資料下載頁(yè)
2024-10-06 07:29本頁(yè)面
【正文】 課外研究題：將一塊圓心角為120o，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請(qǐng)你設(shè)計(jì)裁法，使裁得矩形的面積最大?并說(shuō)明理由．教學(xué)建議：這是一個(gè)研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，可讓學(xué)生在課外兩人一組合作完成，寫(xiě)成研究報(bào)告，在習(xí)題課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果，老師可適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。參考答案：這是一個(gè)如何下料的問(wèn)題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB平行。從圖形的特點(diǎn)來(lái)看，涉及到線(xiàn)段的長(zhǎng)度和角度，將這些量放置在三角形中，通過(guò)解三角形求出矩形的邊長(zhǎng)，再計(jì)算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問(wèn)題的結(jié)論．NBBPO圖（2）QMO圖（1）按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點(diǎn)M在圓弧上，設(shè)208。MOA=q，則：時(shí)，Smax=200．4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)208。MOQ=a，在DMOQ中，208。OQM=90o+30o=120o，由正弦定理，得：sin120o又QMN=2OMsin(60oa)=40sin(60oa)，MQ=20sina=3sina． 3MP=20sinq,OP=20cosq，從而S=400sinqcosq=200sin2q．即當(dāng)q=p∴S=MQMN=sinasin(60oa)=cos(2a60o)cos60o． 33[]∴當(dāng)a=30o時(shí)，Smax=由于400． 3400平方厘米． 200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33也可以建議學(xué)生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫(xiě)出研究或?qū)嶒?yàn)報(bào)告，在學(xué)校開(kāi)設(shè)的研究性學(xué)習(xí)課上進(jìn)行交流，評(píng)價(jià)。參考文獻(xiàn)：①全日制普通高中級(jí)學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。②《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀》。嚴(yán)士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。第五篇：原創(chuàng)正弦定理證明1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1即c=∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC2．斜三角形中證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA兩邊同除以abc即得：證明二：（外接圓法）如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aa==CD=2R sinAsinDbc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC同理證明三：（向量法）uuurr過(guò)A作單位向量j垂直于ACuuuruuuruuur由 AC+CB=ABruuurruuurrruuu兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB 則?+?=?rrrruuuruuuruuu∴|j|?|AC|cos90176。+|j|?|CB|cos(90176。C)=| j|?|AB|cos(90176。A)∴asinC=csinA∴ac= sinAsinCuuurrcbabc同理，若過(guò)C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:⑴若A為銳角時(shí): 236。absinA無(wú)解239。239。a=bsinA一解(直角)237。239。bsinAab二解(一銳, 一鈍)239。a179。b一解(銳角)238。已知邊a,b和208。Aa無(wú)解a=CH=bsinA僅有一個(gè)解CH=bsinA236。a163。b無(wú)解⑵若A為直角或鈍角時(shí):237。 238。ab一解(銳角)
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