【導(dǎo)讀】2．如圖，OABC是邊長為1的正方形，OC與x軸正半軸的夾角為15°，點B在拋物線y=ax2. 上移動．若點M、N的坐標(biāo)分別為、，點B的橫坐標(biāo)的最大值為3，8．如圖，點A（m，n）是一次函數(shù)y=2x的圖象上的任意一點，AB垂直于x軸，垂足為B，方形EFMN的邊EF落在線段CB上，過點M、N的二次函數(shù)的圖象也過矩形的頂點B、C，物線y=x2+kx+k﹣1圖象過點A和點C，拋物線與x軸的另一交點是B，得到新拋物線y1，若新拋物線y1的頂點P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；請分析所有可能出現(xiàn)的情況，并直接寫出相對應(yīng)的m的取值范圍．。能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點P，使△APC的面積最大？20．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx（a＜0）的圖象過坐標(biāo)原點O，與x軸的負(fù)半軸交于點A，求得點D的坐標(biāo)，根據(jù)點P的縱坐標(biāo)和點D的縱坐標(biāo)相等得到點P的坐標(biāo)即可；∵Rt△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCD，

　　

【正文】 對稱軸上將點 F 向下平移 1個單位得到點 G，連結(jié) NG， OF，可知此時得到的四邊形 ONGF的周長最?。ㄓ?N′F′+AF′＞ AN′，可得 NG′+OF′＞ NG+OF）． 設(shè)直線 AN′的解析式為 y=kx+b， 把 N′（ 1，﹣ ）， A（ 6， 0）代入， 得 ，解得 ， ∴ y= x﹣ ． ∵ 點 F 是 AN′與對稱軸是直線 x=3 的交點， ∴ F（ 3，﹣ ）； ②N（ 1，﹣ ）， F（ 3，﹣ ），設(shè) H（ 0， y）． 分兩種情況討論： Ⅰ ）當(dāng) NF 為平行四邊形的邊時， FH∥ NP， FH=NP． 如果 NFHP 為平行四邊形， ∵ 點 F 向左平移 3 個單位橫坐標(biāo)為 0， ∴ 點 P 的橫坐標(biāo)為 1﹣ 3=﹣ 2， 當(dāng) x=﹣ 2 時， y= x2﹣ 2x= （﹣ 2） 2﹣ 2（﹣ 2） = ， ∴ P（﹣ 2， ）， ∴ N 點先向左平移 3 個單位，再向上平移 ﹣（﹣ ） =7 個單位到點 P， ∴ H 點縱坐標(biāo)為﹣ +7= ， ∴ H 點坐標(biāo)為（ 0， ）； 如果 NFPH 為平行四邊形， ∵ 點 N 向左平移 1 個單位橫坐標(biāo)為 0， ∴ 點 P 的橫坐標(biāo)為 3﹣ 1=2， 當(dāng) x=2 時， y= x2﹣ 2x= 22﹣ 22=﹣ ， ∴ P（ 2，﹣ ）， ∴ F 點先向左平移 1 個單 位，再向下平移﹣ ﹣（﹣ ） = 個單位到點 P， ∴ H 點縱坐標(biāo)為﹣ ﹣ =﹣ ， ∴ H 點坐標(biāo)為（ 0，﹣ ）； Ⅱ ）當(dāng) NF 為平行四邊形的對角線時， ∵ NF 的中點坐標(biāo)為（ 2，﹣ ）， ∴ HP 的中點坐標(biāo)為（ 2，﹣ ）， ∵ H（ 0， y）， ∴ 點 P 的橫坐標(biāo)為 4， 當(dāng) x=4 時， y= x2﹣ 2x= 42﹣ 24=﹣ ， ∴ P（ 4，﹣ ）， ∴ H 點縱坐標(biāo)為 2（﹣ ）﹣（﹣ ） = ， ∴ H 點坐標(biāo)為（ 0， ）； 綜上所述，所求 H 點坐標(biāo)為（ 0， ）或（ 0，﹣ ）或（ 0， ）． 點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中 涉及到拋物線的頂點坐標(biāo)求法，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵． 19．如圖所示，拋物線 y=ax2+bx+c 的頂點為 M（﹣ 2，﹣ 4），與 x軸交于 A、 B兩點，且 A（﹣ 6， 0），與 x軸交于點 C． （ 1）求拋物線的函數(shù)解析式； （ 2）求 △ ABC 的面積； （ 3）能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點 P，使 △ APC 的面積最大？若能，請求出點P 的坐標(biāo)；若不能，請說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析： （ 1）根據(jù)頂點坐標(biāo)公式即可求得 a、 b、 c 的值，即可解題； （ 2）易求得點 B、 C 的坐標(biāo)，即可求得 OC 的長，即可求得 △ ABC 的面積，即可解題； （ 3）作 PE⊥ x軸于點 E，交 AC 于點 F，可將 △ APC 的面積轉(zhuǎn)化為 △ AFP 和 △ CFP 的面積之和，而這兩個三角形有共同的底 PF，這一個底上的高的和又恰好是 A、 C 兩點間的距離，因此若設(shè)設(shè) E（ x， 0），則可用 x來表示 △ APC的面積，得到關(guān)于 x的一個二次函數(shù)，求得該二次函數(shù)最大值，即可解題． 解答： 解：（ 1）設(shè)此函數(shù)的解析式 為 y=a（ x+h） 2+k， ∵ 函數(shù)圖象頂點為 M（﹣ 2，﹣ 4）， ∴ y=a（ x+2） 2﹣ 4， 又 ∵ 函數(shù)圖象經(jīng)過點 A（﹣ 6， 0）， ∴ 0=a（﹣ 6+2） 2﹣ 4 解得 a= ， ∴ 此函數(shù)的解析式為 y= （ x+2） 2﹣ 4，即 y= x2+x﹣ 3； （ 2） ∵ 點 C 是函數(shù) y= x2 +x﹣ 3 的圖象與 y 軸的交點， ∴ 點 C 的坐標(biāo)是（ 0，﹣ 3）， 又當(dāng) y=0 時，有 y= x2+x﹣ 3=0， 解得 x1=6， x2=2， ∴ 點 B 的坐標(biāo)是（ 2， 0）， 則 S△ ABC= |AB|?|OC|= 83=12； （ 3）假設(shè)存在這樣的點，過點 P 作 PE⊥ x軸于點 E，交 AC 于點 F． 設(shè) E（ x， 0），則 P（ x， x2+x﹣ 3）， 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b， ∵ 直線 AC 過點 A（﹣ 6， 0）， C（ 0，﹣ 3）， ∴ ， 解得 ， ∴ 直線 AC 的解析式為 y=﹣ x﹣ 3， ∴ 點 F 的坐標(biāo)為 F（ x，﹣ x﹣ 3）， 則 |PF|=﹣ x﹣ 3﹣（ x2+x﹣ 3） =﹣ x2﹣ x， ∴ S△ APC=S△ APF+S△ CPF = |PF|?|AE|+ |PF|?|OE| = |PF|?|OA|= （﹣ x2﹣ x） 6=﹣ x2﹣ x=﹣ （ x+3） 2+ ， ∴ 當(dāng) x=﹣ 3 時 ， S△ APC有最大值 ， 此時點 P 的 坐標(biāo)是 P（﹣ 3，﹣ ）． 點評： 本題考查了拋物線解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，考查了二次函數(shù)最值的求解，考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，本題中正確求得拋物線解析式是解題的關(guān)鍵． 20．如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx（ a＜ 0）的圖象過坐標(biāo)原點 O，與 x軸的負(fù)半軸交于點 A，過 A點的直線與 y軸交于 B，與二次函數(shù)的圖象交于另一點 C，且 C 點的橫坐標(biāo)為﹣ 1， AC：BC=3： 1． （ 1）求點 A的坐標(biāo)； （ 2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點為 F，其對稱軸與直線 AB 及 x軸分別交于點 D 和點 E，若 △ FCD與 △ AED 相似，求此二次函數(shù)的關(guān)系式． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題 ： 幾何綜合題． 分析： （ 1）過點 C 作 CM∥ OA 交 y 軸于 M，則 △ BCM∽△ BAO，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 = = ，即 OA=4CM=4，由此得出點 A的坐標(biāo)為（﹣ 4， 0）； （ 2）先將 A（﹣ 4， 0）代入 y=ax2+bx，化簡得出 b=4a，即 y=ax2+4ax，則頂點 F（﹣ 2，﹣4a），設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+n，將 A（﹣ 4， 0）代入，化簡得 n=4k，即直線 AB 的解析式為 y= kx+4k，則 B 點（ 0， 4k）， D（﹣ 2， 2k）， C（﹣ 1， 3k）．由 C（﹣ 1， 3k）在拋物線 y=ax2+4ax上，得出 3k=a﹣ 4a，化簡得到 k=﹣ a．再由 △ FCD與直角 △ AED 相似，則 △ FCD是直角三角形，又 ∠ FDC=∠ ADE＜ 90176。， ∠ CFD＜ 90176。，得出 ∠ FCD=90176。， △ FCD∽△ AED．再根據(jù)兩點之間的距離公式得出 FC2=CD2=1+a2，得出 △ FCD 是等腰直角三角形，則 △ AED也是等腰直角三角形，所以 ∠ DAE=45176。，由三角形內(nèi)角和定理求出 ∠ OBA=45176。，那么OB=OA=4，即 4k=4，求出 k=1， a=﹣ 1，進(jìn)而 得到此二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=﹣ x2﹣ 4x． 解答： 解：（ 1）如圖，過點 C 作 CM∥ OA交 y 軸于 M． ∵ AC： BC=3： 1， ∴ = ． ∵ CM∥ OA， ∴△ BCM∽△ BAO， ∴ = = = ， ∴ OA=4CM=4， ∴ 點 A的坐標(biāo)為（﹣ 4， 0）； （ 2） ∵ 二次函數(shù) y=ax2+bx（ a＜ 0）的圖象過 A點（﹣ 4， 0）， ∴ 16a﹣ 4b=0， ∴ b=4a， ∴ y=ax2+4ax，對稱軸為直線 x=﹣ 2， ∴ F 點坐標(biāo)為（﹣ 2，﹣ 4a）． 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+n，將 A（﹣ 4， 0）代入， 得﹣ 4k+n=0， ∴ n=4k， ∴ 直線 AB 的解析式為 y=kx+4k， ∴ B 點坐標(biāo)為（ 0， 4k）， D 點坐標(biāo)為（﹣ 2， 2k）， C 點坐標(biāo)為（﹣ 1， 3k）． ∵ C（﹣ 1， 3k）在拋物線 y=ax2+4ax上， ∴ 3k=a﹣ 4a， ∴ k=﹣ a． ∵△ AED 中， ∠ AED=90176。， ∴ 若 △ FCD 與 △ AED 相似，則 △ FCD 是直角三角形， ∵∠ FDC=∠ ADE＜ 90176。， ∠ CFD＜ 90176。， ∴∠ FCD=90176。， ∴△ FCD∽△ AED． ∵ F（﹣ 2，﹣ 4a）， C（﹣ 1， 3k）， D（﹣ 2， 2k）， k=﹣ a， ∴ FC2=（﹣ 1+2） 2+（ 3k+4a） 2=1+a2， CD2=（﹣ 2+1） 2+（ 2k﹣ 3k） 2=1+a2， ∴ FC=CD， ∴△ FCD 是等腰直角三角形， ∴△ AED 是等腰直角三角形， ∴∠ DAE=45176。， ∴∠ OBA=45176。， ∴ OB=OA=4， ∴ 4k=4， ∴ k=1， ∴ a=﹣ 1， ∴ 此二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=﹣ x2﹣ 4x． 點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，兩點之間的距離公式、拋物線對稱軸的求法，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．（ 2）中得出 △ FCD是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．