【導(dǎo)讀】何用數(shù)學(xué)的方法描述變量之間的數(shù)量關(guān)系.體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系,學(xué)會(huì)與他人合作交流,培養(yǎng)合作意識(shí).在實(shí)際問(wèn)題中,會(huì)寫(xiě)簡(jiǎn)單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系式教學(xué)過(guò)程.與平均降價(jià)率x的關(guān)系式是y=6000x2-12021x+6000,.它們有什么共同點(diǎn)?一般形式是y=ax2+bx+c這樣的函數(shù)可以叫做什么函數(shù)?,自變量的取值范圍是否會(huì)有一些限制呢?在上述學(xué)生回答后,教師給出二次函數(shù)的定義:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).注意:①二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.②在指出二次函數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)時(shí),要連同符號(hào)一起指出.先化為一般形式，右邊為整式，依照定義分析.例2講解教材P3例題.判斷函數(shù)類型,關(guān)鍵取決于其二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)能否為零,列出相應(yīng)方程或不等式.∴m=m=1時(shí)，函數(shù)y=x2+mx+(m+1)是一次函數(shù).即剩余部分的面積約為.值范圍,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又應(yīng)用于生活實(shí)際之中.如圖就是y=x2的圖象的錯(cuò)誤畫(huà)法.

　　

【正文】 好數(shù)學(xué)的信心 . 【教學(xué)重點(diǎn)】 能夠分析和表示實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系 ,并運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出實(shí)際問(wèn)題的最值 . 【教學(xué)難點(diǎn)】 二次函數(shù)最值在實(shí)際中生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 . 一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí) 問(wèn)題 1 同學(xué)們完成下列問(wèn)題 :已知 y=x22x3 ① x= 時(shí)， y 有最 值，其值為 ； ②當(dāng) 1≤ x≤ 4 時(shí)， y最小值為 ， y 最大值為 . 答案 :① 1,小， 4；② 4， 5 【教學(xué)說(shuō)明】解決上述 問(wèn)題既是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的鞏固，又是本節(jié)課解決優(yōu)化最值問(wèn)題的理論依據(jù) . 二、思考探究，獲取新知 教學(xué)點(diǎn) 1 最大面積問(wèn)題 閱讀教材 P30動(dòng)腦筋，回答下列問(wèn)題 . xm，則窗框的高為 m,x 的取值范圍是 . S與 x之間的關(guān)系式是什么？ ？ 答案： 2x? 0x83 =32x2+4x,0x83 =83m2. 例 1 如圖，從一張矩形紙片較短的邊上找一點(diǎn) E，過(guò) E點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)分別是 AE， DE，要使剪下的兩個(gè)正方形的面積和最小，點(diǎn) E應(yīng)選在何處？為什么？ 解：設(shè)矩形紙較短邊長(zhǎng)為 a,設(shè) DE=x，則 AE=ax,那么兩個(gè)正方形的面積和 :y=x2+(ax)2=2x22ax+a2 當(dāng) x= 212 2 2a a? ?? 時(shí) ， y 最小值 =2179。（ 12 a） 22a179。12 a+a2=12 a2 即點(diǎn) E選在矩形紙較短邊的中點(diǎn)時(shí)，剪下的兩個(gè)正方形的面積和最小 . 【教學(xué)說(shuō)明】此題要充分利用幾何關(guān)系建立二次函數(shù)模型 ,再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解 . 教學(xué)點(diǎn) 2 最大利潤(rùn)問(wèn)題 例 2 講解教材 P31 例題 【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)例題講解使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到解決實(shí)際問(wèn)題中的最值，首先要找出最值問(wèn)題的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二 次函數(shù)的性質(zhì)為理論依據(jù)來(lái)解決問(wèn)題 . 例 3 某商店將每件進(jìn)價(jià) 8 元的某種商品按每件 10 元出售，一天可銷出約100 件，該店想通過(guò)降低售價(jià)，增加銷售量的辦法來(lái)提高利潤(rùn)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價(jià)每降低 元，其銷售量可增加約 10 件 .將這種商品的售價(jià)降低多少時(shí) ,能使銷售利潤(rùn)最大 ? 【分析】找出進(jìn)價(jià) ,售價(jià) ,銷售 ,總利潤(rùn)之間的關(guān)系 ,建立二次函數(shù) ,再求最大值 .列表分析如下 : 關(guān)系式：每件利潤(rùn) =售價(jià) 進(jìn)價(jià)，總利潤(rùn) =每件利潤(rùn)179。銷量 . 解 :設(shè)降價(jià) x元，總利潤(rùn)為 y元，由題意得 y=(10x8)(100+100x)=100x2+100x+200=100()2+225. 當(dāng) x= 時(shí)，總利潤(rùn)最大為 225 元 . ∴當(dāng)商品的售價(jià)降低 元時(shí)，銷售利潤(rùn)最大 . 三、運(yùn)用新知，深化理解 ，點(diǎn) C 是線段 AB 上的一個(gè)支點(diǎn) ,AB=1,分別以 AC 和 CB 為一邊作正方形 ,用 S 表示這兩個(gè)正方形的面積之和 ,下列判斷正確的是 ( ) C是 AB的中點(diǎn)時(shí) ,S 最小 C是 AB的中點(diǎn)時(shí) ,S 最大 C為 AB的三點(diǎn)分點(diǎn)時(shí) ,S 最小 C是 AB的三等分點(diǎn)時(shí) ,S 最大 第 1題圖 第 2 題圖 ,某水渠的橫斷面是等腰梯形 ,底角為 120176。，兩腰與下底的和為 4cm，當(dāng)水渠深 x為 時(shí)，橫斷面面積最大，最大面積是 . ,當(dāng)每噸售價(jià)為 260 元時(shí)，月銷售量為 45 噸，該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)下降 10 元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加 噸 .綜合考慮各種因素，每售出 1噸建筑材料共需支付廠家及其他費(fèi)用 100元，設(shè)每噸材料售價(jià)為 x（元），該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為 y（元） . ①當(dāng)每噸售價(jià)是 240 元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售 量； ②求出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出 x的取值范圍）； ③該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？ ④小靜說(shuō)：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額也最大 .”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 .【答案】 cm, 435 cm2 ：① 45+ 260 24010? 179。 =60（噸） . ② y=(x100)(45+26010x?179。 ). 化簡(jiǎn)，得 y=34 x2+315x24 000. ③ y=34 x2+315x24 000=34 (x210)2+9 075. 此經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸 210 元 . ④我認(rèn)為 ,小靜說(shuō)得不對(duì) . 理由 :當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí) ,x 為 210 元，每月銷售額 W=x(45+ 26010x? 179。 =34 (x160)2+19 x 為 160 元時(shí)，月銷售額 W 最大 .∴當(dāng) x為 210 元時(shí)，月銷售額 W不是最大的 .∴小靜說(shuō)得不對(duì) . 【教學(xué)說(shuō)明】 ，再根據(jù)其增減性確定最值 .利潤(rùn) ,銷售量與售價(jià)的關(guān)系 。分清最大利潤(rùn)與最大銷售額之間的區(qū)別 . 四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié) ?還有哪些疑惑 ? ,教師點(diǎn)評(píng) :能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)的關(guān)系式并確定自變量取值范圍 ,并能求出實(shí)際問(wèn)題的最值 . P31第 2 題 . . 本節(jié)課主要是用二次函數(shù)理論知識(shí)解決最大面積問(wèn)題和最大利潤(rùn)問(wèn)題 ,通過(guò)對(duì)此問(wèn)題的探究解決 ,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)和生活實(shí)際的緊密聯(lián)系 ,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性 . 章末復(fù)習(xí) 【知識(shí)與技能】 掌握本章重要知識(shí) ,能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題 . 【過(guò)程與方法】 通過(guò)梳理本章知識(shí) ,回顧解決問(wèn)題中所涉及的數(shù)形結(jié)合思想 ,轉(zhuǎn)化化歸思想的過(guò)程 ,加深對(duì)本章知識(shí)的理解 . 【情感態(tài)度】 在運(yùn)用本章知識(shí)解決具體問(wèn)題過(guò)程中 ,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系 ,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 . 【教學(xué)重 點(diǎn)】 回顧本章知識(shí)點(diǎn) ,構(gòu)建知識(shí)體系 . 【教學(xué)難點(diǎn)】 利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決具體問(wèn)題 . 一、知識(shí)框圖，整體把握 【教學(xué)說(shuō)明】引導(dǎo)學(xué)生回顧本章知識(shí)點(diǎn) ,展示本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖 ,使學(xué)生系統(tǒng)了解本章知識(shí)及它們之間的關(guān)系 ,教學(xué)時(shí) ,邊回顧邊建立結(jié)構(gòu)框圖 . 二、釋疑解惑，加深理解 y=ax2+bx+c 配方后可得 y= 22 4()24b a c bax aa??? ,所以 y=ax2+bx+c 的圖象總可由 y=ax2平移得到 . ，可以通過(guò)建立二次函數(shù)模型來(lái)解決 . 數(shù)解法實(shí)際問(wèn)題時(shí) ,自變量的取值范圍要結(jié)合具體問(wèn)題來(lái)確 定 . 三、典例精析，復(fù)習(xí)新知 例 1 下列函數(shù)中 ,是二次函數(shù)的是 ( ) =8x2+1 =x2+1x =(x2)(x+2)x2 =ax2 【解析】選 A符合二次函數(shù)的一般形式，是二次函數(shù)，正確；選項(xiàng) B不是整式形式，錯(cuò)誤；選項(xiàng) C不含二次項(xiàng)，錯(cuò)誤；選項(xiàng) D，二次項(xiàng)系數(shù) a=0 時(shí)，不是二次函數(shù)，錯(cuò)誤 . 例 2 拋物線 y=(x1)2是由拋物線 y=(x+3)2向 平移 個(gè)單位得到的；平移后的拋物線對(duì)稱軸是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，當(dāng)x= 時(shí)，函數(shù) y有最 值，其值是 . 【解析】本題因?yàn)?a=1＜ 0，所以拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值；掌握“左加右減”的平移規(guī)律時(shí)，關(guān)鍵是把握平移方向 . 答案 :右 4 直線 x=1 (1,0) 1 大 0 例 3 如圖為二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象， 在下列說(shuō)法中：① ac＜ 0。②方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=1,x2=3。③ a+b+c＞ 0；④當(dāng) x＞ 1時(shí)， y隨著 x的增大而增大 .正確的說(shuō)法有 .(請(qǐng)寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào) ) 【解析】∵拋物線開(kāi)口向上 ,即 a＞ 0。與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，即 c＜ 0,∴ ac＜ 0,①正確；由函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（ 1， 0），（ 3， 0），可得方程ax2+bx+c=0 的根為 x1=1,x2=3,②正確；由函數(shù)圖象與 x=1 的交點(diǎn)位置位于 x 軸下方，即 a+b+c＜ 0，③錯(cuò)誤；由函數(shù)圖象可得拋物線的對(duì)稱軸為 x=1,當(dāng) x＞ 1時(shí)， y隨著 x 的增大而增大，故正確的 說(shuō)法有①②④ . 例 4 如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)為 15m)和 30m長(zhǎng)的籬笆來(lái)圍矩形場(chǎng)地，若設(shè)垂直墻的一邊長(zhǎng)為 x(m)，圍成的矩形場(chǎng)地的面積為 y(m2). (1)求 y與 x之間的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量 x的 取值范圍 。 (2)怎樣圍成一個(gè)面積為 112m2的矩形場(chǎng)地？ （ 3）若要圍成一個(gè)面積最大的矩形場(chǎng)地，則矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各應(yīng)是多少？ 【解析】 （ 1）∵ AD=BC=x,∴ AB=302x,由題意得 y=x(302x),=2x2+30x(≤ x＜ 15)。 (2)當(dāng) y=112 時(shí)， 2x2+30x=112,解得 :x1=7,x2=8, 當(dāng) x=7 時(shí)， AD=BC=7m,AB=302179。 7=16m(大于圍墻的長(zhǎng)度，舍去） . 當(dāng) x=8 時(shí)， AD=BC=8cm,AB=302179。 8=14m(符合題意 ) ∴當(dāng)垂直于墻面的邊長(zhǎng)為 8m 時(shí)，可以圍成面積為 112m2的矩形場(chǎng)地 . (3)y=2x2+30x=2（ x152） 2+2252 ∴當(dāng) x=152 m時(shí)，圍成的面積最大，此時(shí)矩形的寬為 152 m,長(zhǎng)為 15m. 四、運(yùn)用新知，深化理解 1.(江蘇揚(yáng)州中考）將拋物線 y=x2+1先向左平移 2個(gè)單位，再向下平移 3個(gè)單位，那么所得拋物線的函數(shù)解析式是（ ） =(x+2)2+2 =(x+2)22 =(x2)2+2 =(x2)22 y=ax2+bx+c 中，其函數(shù) y 與自變量 x 之間的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示： 點(diǎn) A（ x1,y1),B(x2,y2)在函數(shù)的圖象上，則當(dāng) 1＜ x1＜ 2,3＜ x2＜ 4時(shí)， y1與 y2的大小關(guān)系正確的是（ ） ＞ y2 ＜ y2 ≥ y2 ≤ y2 3.（湖北咸寧中考）對(duì)于二次函數(shù) y=x22mx3，有下列說(shuō)法： ①它的圖象與 x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)； ②如果當(dāng) x≤ 1時(shí)， y隨 x的增大而減小，則 m=1。 ③如果將它的圖象向左平移 3個(gè)單位后過(guò)原點(diǎn)，則 m=1。 ④如果當(dāng) x=4 時(shí)的函數(shù)值與 x=2021 時(shí)的函數(shù)值相等，則當(dāng) x=2021 時(shí)的函數(shù)值為 3. 其中正確的說(shuō)法是 .(把你認(rèn)為正確說(shuō)法的序號(hào)都填上 ) ，二 次函數(shù) y=x2+2x+m 的圖象與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)為 A（ 3， 0），另一個(gè)交點(diǎn)為 B，且與 y軸交于點(diǎn) C. （ 1）求 m的值； （ 2）求點(diǎn) B的坐標(biāo)； （ 3）該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn) D（ x,y)（其 中 x＞ 0,y＞ 0),使 S△ ABD=S,求點(diǎn) D 的坐標(biāo) . ,已知進(jìn)價(jià)為每箱 40 元 ,生產(chǎn)廠家要求每箱售價(jià)在 40 元 ~70 元之間 .經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn) 。若以每箱 50 元銷售 ,平均每天可售出90箱 ,價(jià)格每降低 1元 ,平均每天多銷售 3箱 。價(jià)格每升高 1元 ,平均每天少銷售 3箱 . (1)寫(xiě)出售價(jià) x(元）與平均每天所得利潤(rùn) W(元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）每箱定價(jià)多少元時(shí)，才能使平均每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 【答案】 3.①④ 4.(1)m=3 (2)y=x2+2x+3 令 y=0 解得 x=3或 1，∴ B（ 1， 0） （ 3）∵ S△ ABD=S△ ABC，點(diǎn) D 在第一象限 .∴點(diǎn) C,D關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱 . ∵對(duì)稱軸 x=1,C(0,3),∴ D(2,3) ：（ 1）設(shè)銷售量為 y箱，則 y=2403x, 所以 W=(x40)y=(x40)(2403x)=3(x60)2+1200(40≤ x≤ 70). (2)當(dāng) x=60 時(shí)， W 最大 =1200.∴每箱定價(jià)為 60 元時(shí)，才能使平均每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是 1200 元 . 五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié) 本堂課你能完整地回顧本章所學(xué)的二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)嗎 ?你能用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題嗎 ?你還有哪些疑問(wèn) ? P37第 3~6 題 . . 本節(jié)通過(guò)學(xué)習(xí)歸納本章內(nèi)容 ,建立二次函數(shù)模型 ,掌握二次函數(shù)性質(zhì) ,并利用二次函數(shù)性質(zhì)去解決實(shí)際問(wèn)題 ,查漏補(bǔ)缺 ,使學(xué)生對(duì)本章知識(shí)有通盤(pán)了解和掌握 .