【導(dǎo)讀】4．（）如圖，兩條直線l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，頂點(diǎn)A、B分別在l1. A．45°B．55°C．65°D．75°6．（）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著，其中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；譯文：“假設(shè)有5頭牛，2只羊，值金10. 兩；2頭牛，5只羊，值金8兩．問每頭牛、每只羊各值金多少兩？8．（）如圖，將一塊菱形ABCD硬紙片固定后進(jìn)行投針訓(xùn)練．已知紙片上AE⊥BC于E，10．（）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，⊙P經(jīng)過三點(diǎn)A（8，0），O（0，0），B（0，6），徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于E、F，連接BE、DF，若正方形ABCD有兩個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線y=上，實(shí)數(shù)a滿足a3﹣a=1，觀察圖象可得它的最小值為，它的另一條性質(zhì)為；求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；若矩形空地的面積為160m2，求x的值；此時(shí)，這批植物可以全部。栽種到這塊空地上嗎？

　　

【正文】 這個(gè)網(wǎng)格圖求出 α +β 的度數(shù)； 延伸：（ 2）設(shè)經(jīng)過圖中 M、 P、 H三點(diǎn)的圓弧與 AH交于 R，求 的弧長(zhǎng)． 【分析】 （ 1）連結(jié) AM、 MH，則 ∠ MHP=∠ α ，然后再證明 △ AMH為等腰直角三角形即可； （ 2）先求得 MH 的長(zhǎng)，然后再求得弧 MR 所對(duì)圓心角的度數(shù)，最后，再依據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可． 【解答】 解：（ 1）連結(jié) AM、 MH，則 ∠ MHP=∠ α ． ∵ AD=MC， ∠ D=∠ C， MD=HC， ∴△ ADM≌△ MCH． 23 ∴ AM=MH， ∠ DAM=∠ HMC． ∵∠ AMD+∠ DAM=90176。 ， ∴∠ AMD+∠ HMC=90176。 ， ∴∠ AMH=90176。 ， ∴∠ MHA=45176。 ，即 α +β=45176。 ． （ 2）由勾股定理可知 MH= = ． ∵∠ MHR=45176。 ， ∴ = = ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算、等腰直角三角形的判定，銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵． 24．（ 分）為響應(yīng)荊州市 “ 創(chuàng)建全國(guó)文明城市 ” 號(hào)召，某單位不斷美化環(huán)境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利 用的墻長(zhǎng)不超過 18m，另外三邊由 36m長(zhǎng)的柵欄圍成．設(shè)矩形 ABCD空地中，垂直于墻的邊 AB=xm，面積為 ym2（如圖）． （ 1）求 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍； （ 2）若矩形空地的面積為 160m2，求 x的值； （ 3）若該單位用 8600元購(gòu)買了甲、乙、丙三種綠色植物共 400棵（每種植物的單價(jià)和每棵栽種的合理用地面積如下表）．問丙種植物最多可以購(gòu)買多少棵？此時(shí)，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請(qǐng)說明理由． 甲 乙 丙 單價(jià)（元 /棵） 14 16 28 合理用地（ m2/棵） 1 【分析】 （ 1）根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算即可； （ 2）構(gòu)建方程即可解決問題，注意檢驗(yàn)是否符合題意； （ 3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出 y 的最大值，設(shè)購(gòu)買了乙種綠色植物 a 棵，購(gòu)買了丙種綠色植物 b棵，由題意： 14（ 400﹣ a﹣ b） +16a+28b=8600，可得 a+7b=1500，推出 b的最大值為 24 214，此時(shí) a=2，再求出實(shí)際植物面積即可判斷； 【解答】 解：（ 1） y=x（ 36﹣ 2x） =﹣ 2x2+36x． （ 2）由題意：﹣ 2x2+36x=160， 解得 x=10或 8． ∵ x=8時(shí)， 36﹣ 16=20＜ 18， 不符合題意， ∴ x的值為 10． （ 3） ∵ y=﹣ 2x2+36x=﹣ 2（ x﹣ 9） 2+162， ∴ x=9時(shí)， y有最大值 162， 設(shè)購(gòu)買了乙種綠色植物 a棵，購(gòu)買了丙種綠色植物 b棵， 由題意： 14（ 400﹣ a﹣ b） +16a+28b=8600， ∴ a+7b=1500， ∴ b的最大值為 214，此時(shí) a=2， 需要種植的面積 = （ 400﹣ 214﹣ 2） +1 2+ 214=＞ 162， ∴ 這批植物不可以全部栽種到這塊空地上． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬 于中考常考題型． 25．（ ）閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn) P、 Q的坐標(biāo)分別是 P（ x1， y1）、 Q（ x2， y2），則 P、 Q 這兩點(diǎn)間的距離為 |PQ|= ．如 P（ 1， 2）， Q（ 3， 4），則 |PQ|= =2 ． 對(duì)于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)形成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡．如平面內(nèi)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線． 解決問題：如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 y=kx+ 交 y 軸于點(diǎn) A，點(diǎn) A關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) B，過點(diǎn) B作直線 l平行于 x軸． （ 1）到點(diǎn) A的距離等于線段 AB長(zhǎng)度的點(diǎn)的軌跡是 x2+（ y﹣ ） 2=1 ； （ 2）若動(dòng)點(diǎn) C（ x， y）滿足到直線 l的距離等于線段 CA的長(zhǎng)度，求動(dòng)點(diǎn) C軌跡的函數(shù)表達(dá) 25 式； 問題拓展：（ 3）若（ 2）中的動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡與直線 y=kx+ 交于 E、 F兩點(diǎn)，分別過 E、 F 作直線 l的垂線，垂足分別是 M、 N，求證： ① EF是 △ AMN外接圓的切線； ② + 為定值． 【分析】 （ 1）利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論； （ 2）利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論； （ 3） ① 先確定出 m+n=2k， mn=﹣ 1，再確定出 M（ m，﹣ ）， N（ n， ﹣ ），進(jìn)而判斷出 △ AMN是直角三角形，再求出直線 AQ的解析式為 y=﹣ x+ ，即可得出結(jié)論； ② 先確定出 a=mk+ ， b=nk+ ，再求出 AE=ME=a+ =mk+1， AF=NF=b+ =nk+1，即可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1）設(shè)到點(diǎn) A的距離等于線段 AB 長(zhǎng)度的點(diǎn) D坐標(biāo)為（ x， y）， ∴ AD2=x2+（ y﹣ ） 2， ∵ 直線 y=kx+ 交 y軸于點(diǎn) A， ∴ A（ 0， ）， ∵ 點(diǎn) A關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) B， ∴ B（ 0，﹣ ）， ∴ AB=1， ∵ 點(diǎn) D到點(diǎn) A的距離等于線段 AB長(zhǎng)度， ∴ x2+（ y﹣ ） 2=1， 故答案 為： x2+（ y﹣ ） 2=1； （ 2） ∵ 過點(diǎn) B作直線 l平行于 x軸， 26 ∴ 直線 l的解析式為 y=﹣ ， ∵ C（ x， y）， A（ 0， ）， ∴ AC2=x2+（ y﹣ ） 2，點(diǎn) C到直線 l的距離為：（ y+ ）， ∵ 動(dòng)點(diǎn) C（ x， y）滿足到直線 l的距離等于線段 CA的長(zhǎng)度， ∴ x2+（ y﹣ ） 2=（ y+ ） 2， ∴ 動(dòng)點(diǎn) C軌跡的函數(shù)表達(dá)式 y= x2， （ 3） ① 如圖， 設(shè)點(diǎn) E（ m， a）點(diǎn) F（ n， b）， ∵ 動(dòng)點(diǎn) C的軌跡與直線 y=kx+ 交于 E、 F兩點(diǎn)， ∴ ， ∴ x2﹣ 2kx﹣ 1=0， ∴ m+n=2k， mn=﹣ 1， ∵ 過 E、 F作直線 l的垂線，垂足分別是 M、 N， ∴ M（ m，﹣ ）， N（ n，﹣ ）， ∵ A（ 0， ）， ∴ AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（ m+n） 2﹣ 2mn+2=4k2+4， MN2=（ m﹣ n） 2=（ m+n） 2﹣ 4mn=4k2+4， ∴ AM2+AN2=MN2， ∴△ AMN是直角三角形， MN為斜邊， 取 MN的中點(diǎn) Q， ∴ 點(diǎn) Q是 △ AMN的外接圓的圓心， ∴ Q（ k，﹣ ）， ∵ A（ 0， ）， 27 ∴ 直線 AQ的解析式為 y=﹣ x+ ， ∵ 直線 EF的解析式為 y=kx+ ， ∴ AQ⊥ EF， ∴ EF是 △ AMN外接圓的切線； ② 證明： ∵ 點(diǎn) E（ m， a）點(diǎn) F（ n， b）在直線 y=kx+ 上， ∴ a=mk+ ， b=nk+ ， ∵ ME， NF， EF是 △ AMN的外接圓的切線， ∴ AE=ME=a+ =mk+1， AF=NF=b+ =nk+1， ∴ + = + = = = =2， 即： + 為定值，定值為 2． 【點(diǎn)評(píng)】 此題是圓的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點(diǎn)間的距離公式，直角三角形的判定和性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，圓的切線的判定和性質(zhì)，利用根與系數(shù)的確定出 m+n=2k， mn=﹣ 1是解本題是關(guān)鍵．