【導(dǎo)讀】定性、可觀性及可控性等都可以通過(guò)該系統(tǒng)直觀地表示出來(lái)。倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的非。倒立擺作為控制系統(tǒng)的被控對(duì)象，許多抽象的控制概念都可以通。出了相應(yīng)的結(jié)論。首先對(duì)倒立擺的分類(lèi)、特性、控制目標(biāo)、控制方法等以及倒立擺控制研。究的發(fā)展及其現(xiàn)狀進(jìn)行了分析。然后利用動(dòng)力學(xué)原理推導(dǎo)了直線(xiàn)一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，求出其傳遞函數(shù)及狀態(tài)空間方程。倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和可觀性。在建立系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，研究了倒立擺系統(tǒng)的控制策略。對(duì)直線(xiàn)一級(jí)倒立擺控制采。方程PID控制器，并利用MATALAB/Simulink軟件進(jìn)行仿真，取得不同的控制效果。仿真圖，通過(guò)改變Simulink的LQR模塊及狀態(tài)空間模塊中的參數(shù)得到最好的控制效果。

　　

【正文】 算法仿真 由式 (310)得到閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)小車(chē)位置傳遞函數(shù)： 設(shè) , , ，編寫(xiě) MATLAB 仿真程序 為： % 小車(chē)位置 PID 控制 % 輸入倒立擺傳遞函數(shù) G1(s)=num1/den1,G2(s)=num2/den2 M = ； m = ； b = ； I = ； g = ； 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 23 l = ； q = (M+m)*(I+m*l^2) (m*l)^2； num1 = [m*l/q 0 0]； den1 = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0]； num2 = [(I+m*l^2)/q 0 m*g*l/q]； den2 = den1； % 輸入控制器 PID 數(shù)學(xué)模型 Gc(s)=numPID/denPID Kp = 100； Ki = 1； Kd = 20； numPID = [Kd Kp Ki]； denPID = [1 0]； % 計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) G(s)=num/den % 多項(xiàng)式相乘 num = conv(num2,denPID)； % 多項(xiàng)式相加 den = polyadd(conv(denPID,den2),conv(numPID,num1 ))； % 求閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn) [r,p,k] = residue(num,den)； % 顯示閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn) s = p % 求取多項(xiàng)式傳函的脈沖響應(yīng) t=0::5； impulse(num,den,t) % 顯示范圍：橫坐標(biāo) 05，縱坐標(biāo) 010，此條語(yǔ)句參數(shù)可根據(jù)仿真輸出曲線(xiàn)調(diào)整 axis([0 5 0 10]) grid % end 得到閉環(huán)系統(tǒng)小車(chē)位置階躍響應(yīng)仿真曲線(xiàn)如圖 39 所示。 由仿真結(jié)果看出， 當(dāng)擺桿角度處于很好的閉環(huán)控制下時(shí)，小車(chē)位置處于失控狀態(tài)，會(huì)沿著某一方向運(yùn)動(dòng)下去。 出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因是傳統(tǒng)的 PID 控制方式是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的，只適應(yīng)于單輸入單輸出系統(tǒng)，而要使直線(xiàn)一級(jí)倒立擺的擺桿角度和小車(chē)位置均能得到控制，必須采用其他的控制方式。 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 24 圖 39 閉環(huán)系統(tǒng)小車(chē)位置脈沖響應(yīng)曲線(xiàn) 直線(xiàn)一級(jí)倒立擺雙閉環(huán) PID 控制算法仿真 上一節(jié)設(shè)計(jì)的 PID 控制器只能對(duì)倒立擺擺桿的擺角進(jìn)行控制，而不能對(duì)小車(chē)的位置進(jìn)行控制。設(shè)計(jì)雙閉環(huán) PID控制器，小車(chē)位置 PID 參數(shù)整定為： ， , 擺桿 PID 參數(shù)整定為： ， , 其 MATLAB/Simulink 仿真原理圖如圖 310 所示。 圖 310 雙閉環(huán)系統(tǒng) Simulink仿真原理圖 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 25 其中小車(chē)位置傳遞函數(shù)和擺桿角度傳遞函數(shù)的參數(shù)分別如下： 圖 311 小車(chē)位置傳遞函數(shù)的參數(shù) 圖 312 擺桿角度傳遞函數(shù)的參數(shù) 其控制效果分別如圖 313, 314所示 ： 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 26 圖 313 雙閉環(huán)系統(tǒng)小車(chē)位置 Simulink仿真結(jié)果 圖 314 雙閉環(huán)系統(tǒng)擺桿 Simulink仿真結(jié)果 由圖 313可以看出， 小車(chē)偏離導(dǎo)軌中心最大距離小于 12mm,穩(wěn)定時(shí)間小于 8秒 ； 由圖314可以看出，擺桿最大偏角與垂直向上的夾角小于 ,穩(wěn)定時(shí)間小于 7秒。因此，利用常規(guī)雙閉環(huán) PID控制方案和基于狀態(tài)空間方程加 PID 控制方案可以成功地控制直線(xiàn)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)。 本章小結(jié) 本章簡(jiǎn)單介紹了 PID控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)原理及 PID 控制器各校正環(huán)節(jié)的作用，簡(jiǎn)要介紹了五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 27 PID 參數(shù)的整定方法。設(shè)計(jì)了直線(xiàn)一級(jí)倒立擺擺桿擺角及小車(chē)位置常規(guī)單回路 PID 控制器，通過(guò)仿真知道：常規(guī)單回路 PID 控制器能控制擺桿擺角，不能控制小車(chē)位置。于是設(shè)計(jì)出了直 線(xiàn)一級(jí)倒立擺雙閉環(huán) PID控制器及基于倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程 PID 控制器，利用MATALAB/Simulink 軟件進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果表明， 這 兩種控制器能對(duì)擺桿擺角及小車(chē)位置進(jìn)行有效的控制。 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 28 第四章 直線(xiàn)倒立擺系統(tǒng) LQR 控制與仿真 控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)是控制理論研究的兩大課題。分析是對(duì)已經(jīng)存在的控制系統(tǒng)，分析系統(tǒng)的各種性能。經(jīng)典控制理論在傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及精確性等 ； 現(xiàn)代控制理論在狀態(tài)方程和輸出方程的基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性等。對(duì)系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)，經(jīng)典控制采用 的常規(guī)設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)指標(biāo)是滿(mǎn)足系統(tǒng)的某些籠統(tǒng)的要求，而現(xiàn)代控制采用的是最優(yōu)控制，設(shè)計(jì)的指標(biāo)是確保系統(tǒng)某種指標(biāo)最優(yōu)，如最短時(shí)間、最低能耗等。與經(jīng)典控制理論一樣，現(xiàn)代控制系統(tǒng)中仍然主要采用反饋控制結(jié)構(gòu)，但不同的是，經(jīng)典控制理論中主要采用輸出反饋，而現(xiàn)代控制中主要采用內(nèi)部狀態(tài)反饋。狀態(tài)反饋可以為系統(tǒng)控制提供更多的信息反饋，從而實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的控制。 最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的重要內(nèi)容，近幾十年的研究與應(yīng)用是最優(yōu)控制理論成為現(xiàn)代控制中的一大分支。由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展己使過(guò)去認(rèn)為不能實(shí)現(xiàn)的計(jì)算成為很容易的事情，所以 最優(yōu)控制的思想和方法已在工程技術(shù)實(shí)踐中得到愈來(lái)愈廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用最優(yōu)控制理論和方 法可以在嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上找出滿(mǎn)足一定性能優(yōu)化要求的系統(tǒng)最優(yōu)控制 ?，F(xiàn)代控制理論最突出的特點(diǎn)是將控制對(duì)象用狀態(tài)時(shí)間表達(dá)式的形式表示出來(lái)，這樣便于對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。最優(yōu)控制主要是通過(guò)對(duì)性能指標(biāo)的優(yōu)化尋找可以使目標(biāo)極小的控制器。如果系統(tǒng)是線(xiàn)性的，性能泛函是狀態(tài)變量或控制量的二次型函數(shù)的積分，則這樣的最優(yōu)控制問(wèn)題稱(chēng)為線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制 (Linear Quadratic RegulatorLQR)問(wèn)題。 本章主要利用 最優(yōu)控 制算法實(shí)現(xiàn)對(duì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的擺桿角度和小車(chē)位置的同時(shí)控制 。 線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制 LQR 控制原理簡(jiǎn)介 線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制算法是現(xiàn)代控制理論中的一種重要的、基本的方法。線(xiàn)性二次型(LQ)性能指標(biāo)易于分析、處理和計(jì)算，而且通過(guò)線(xiàn)性二次型最優(yōu)設(shè)計(jì)方法得到的系統(tǒng)控制方法，具有較好的魯棒性與動(dòng)態(tài)特性以及能夠獲得線(xiàn)性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)，因而在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。 LQR 算法的目的是在一定性能指標(biāo)下，使系統(tǒng)的控制效果最佳，即利用最少的控制能量來(lái)達(dá)到最小的狀態(tài)誤差。 被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： (41) 尋找一個(gè)狀態(tài)反饋控制律 ，使得如下性能指標(biāo)達(dá)到最小值： 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 29 (42) 式 (41),(42)中， X 為 n 維狀態(tài)向量， 為 r 維輸入向量， Y 為 m 維輸出向量 ； Q, R分別為 X 和 的加權(quán)矩陣，用來(lái)平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重，確定了誤差和能量損耗的相對(duì)重要性 ； Q 為正定 (或半正定 )陣， R為正定陣。 假設(shè)控制向量 是無(wú)約束的，根據(jù)最優(yōu)控制理論，可以得到最優(yōu)控制律為 : (43) 式 (43)中， K 為最優(yōu)反饋增益矩陣， P 為常數(shù)正定矩陣，且 P 必須滿(mǎn)足黎卡提 (Riccati)代數(shù)方程： (44) 因此，系統(tǒng)的設(shè)計(jì)歸結(jié)于對(duì)黎卡提方程求解，獲得 P，進(jìn)而求出最優(yōu)反饋增益矩陣 K。 倒立擺 LQR 控制器的設(shè)計(jì) 最優(yōu)控制的前提條件是系統(tǒng)是能觀、能控的。 由上 章知道輸入時(shí)脈沖量，并且在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，只對(duì)擺桿角度進(jìn)行控制，而不考慮小車(chē)的移動(dòng)。然而，對(duì)于一個(gè)倒立擺系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，把它作為但輸出系統(tǒng)是不符合實(shí)際的，如果把系統(tǒng)當(dāng)作多輸出的話(huà)，用狀態(tài)空間法分析比較明了。 因?yàn)橄到y(tǒng)方程為： 在倒立擺相關(guān)參數(shù)為： 表 41 系統(tǒng)參數(shù) M 小車(chē)質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車(chē)摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng) 軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I 擺桿慣量 *m*m T 采樣時(shí)間 的條件下，狀態(tài)方程系數(shù)矩陣如下： ， , ； 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 30 系統(tǒng)的能控矩陣的秩 系統(tǒng)的能觀矩陣的秩 故系統(tǒng)式能控能觀的 。因此可以給系統(tǒng)加上控制器使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，且滿(mǎn)足暫態(tài)性能指標(biāo)。運(yùn)用線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制算法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，主要目的就是獲得反饋向量 K的值。由上章的推導(dǎo)知道，設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器時(shí)，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題就是二次型性能指標(biāo) 泛函中加權(quán)矩陣 Q和 R的選取。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化及加權(quán)矩陣具有比較明確的物理意義，將 Q取為對(duì)角陣。假設(shè) , 這樣 得到的性能指標(biāo)泛函為： 由上式可以看出 ， 是對(duì) 的平方加權(quán)， 的相對(duì)增加就意味著對(duì) 的要求相對(duì)其它狀態(tài)變量嚴(yán)格，在性能指標(biāo)中的比重大， 的偏差狀態(tài)相對(duì)減小。 R的對(duì)控制量 的平方加權(quán)，當(dāng) r相對(duì)較大時(shí)，就意味著控制非有的增加，使得控制 能量較小，反饋減小，而 r 取值較小時(shí)，系統(tǒng)控制費(fèi)用減小，反饋增加，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速。 考慮到 一階 倒立擺系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中 ， 主要的被控量為小車(chē)位置 x 和 ， 因此在選取加權(quán)對(duì)角陣 Q 的各元素值時(shí)，由于 代表小車(chē)位置的權(quán)重， 代表擺桿角度的權(quán)重 ,所以只選取 ： ，而 。 選取 Q和 R時(shí)應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面： (1)由于采用的系統(tǒng)模型是線(xiàn)性化的結(jié)果，為使系統(tǒng)各狀態(tài)量能夠在線(xiàn)性范圍內(nèi)工作，要求各狀態(tài)量不應(yīng)過(guò)大。 (2)閉環(huán)系統(tǒng)最好能有一對(duì)共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)，這樣有利于克服系統(tǒng)的非線(xiàn)性摩擦，但系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的模不應(yīng)太大， 以免因系統(tǒng)頻帶過(guò)寬， 使得系統(tǒng)對(duì)噪聲過(guò)于敏感，以致系統(tǒng)不能正常工作。 (3)加權(quán)矩陣 R的減小，會(huì)導(dǎo)致大的能量控制，應(yīng)注意控制 的大小，不要超過(guò)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。 應(yīng)用線(xiàn)性反饋控制器，控制系統(tǒng)機(jī)構(gòu)如圖 41 所示。圖中 R 是施加在小車(chē)上的階躍輸入， 四 個(gè)狀態(tài)量： x、 、 分別代表小車(chē) 位移 、 小車(chē)速度、 擺桿 位置 、擺桿角 速 度，五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 31 輸出 包括小車(chē)位置和 擺桿角度 。使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí)，擺桿就會(huì)擺動(dòng)，然后仍然回到垂直位置，小車(chē)到達(dá)新的命令位置。 圖 41 控制系統(tǒng)框圖 直線(xiàn)一級(jí)倒立擺 LQR 控制算法仿真 利用 LQR 設(shè)計(jì)的控制器對(duì)倒立擺進(jìn)行在線(xiàn)控制，可以使倒立擺達(dá)到穩(wěn)定，在倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，對(duì)系統(tǒng)施加干擾 (可用乎輕觸擺桿使擺桿偏離豎直位置一個(gè)小角度 )，小車(chē)能迅速調(diào)整，使整個(gè)系統(tǒng)在很短的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)平衡，并得到小車(chē)位置和擺桿角度響應(yīng)曲線(xiàn)。則最優(yōu)控制 LQR仿真程序如下： % 最優(yōu)控制 % 確定開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的程序如下 M = ； m = ； b = ； I = ； g = ； l = ； p = I*(M+m)+M*m*l^2； A = [0 1 0 0； 0 (I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0； 0 0 0 1； 0 (m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0]； B = [ 0； (I+m*l^2)/p； 0； m*l/p ]； C = [1 0 0 0； 0 0 1 0]； D = [0； 0]； p = eig(A) % 求向量 K x = 1； y = 1； Q = [x 0 0 0； 0 0 0 0； 0 0 y 0； 0 0 0 0]； R = 1； K = lqr(A,B,Q,R) % 計(jì)算 LQR 控制的階躍響應(yīng)并畫(huà)出曲線(xiàn) Ac = [(AB*K)]； Bc = [B]； Cc = [C]； Dc = [D]； 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 32 T = 0::5； U = *ones(size(T))； % 求階躍響應(yīng)并顯示，小車(chē)位置為虛線(xiàn)，擺桿角度為實(shí)線(xiàn) [Y,X] = lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)； plot(T,Y(:,1),39。:39。,T,Y(:,2),39。39。) legend(39。Cart Position39。,39。Pendulum Angle39。) grid % end 運(yùn)行程序，得到： （ 1）確定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為 0、 、 、 ，有一個(gè)極點(diǎn)位于 S 平面的右半面，說(shuō)明開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 （ 2）在取 的條件下，得到反饋控制向量 （ 3） LQR 控制的階躍響應(yīng)如下圖 42 所示。 圖 42 控制階躍響應(yīng) 其中實(shí)線(xiàn)代表擺桿的角度，虛線(xiàn)代表小車(chē)的位置，從圖中看出，響應(yīng)的超調(diào)量很小，但是穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間偏大，小車(chē)的位置沒(méi)有跟蹤輸入，而是向相反的方向移動(dòng)。 為了縮短穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間，由 Q 矩陣可以看出，增加 能使穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間變短，并且使擺桿的角度變化減小。取 ，則： K=[ ] 響應(yīng)曲線(xiàn)如下圖 43 所示。 五邑大