【導(dǎo)讀】定性、可觀性及可控性等都可以通過該系統(tǒng)直觀地表示出來。倒立擺系統(tǒng)是一個典型的非。倒立擺作為控制系統(tǒng)的被控對象，許多抽象的控制概念都可以通。出了相應(yīng)的結(jié)論。首先對倒立擺的分類、特性、控制目標、控制方法等以及倒立擺控制研。究的發(fā)展及其現(xiàn)狀進行了分析。然后利用動力學(xué)原理推導(dǎo)了直線一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，求出其傳遞函數(shù)及狀態(tài)空間方程。倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和可觀性。在建立系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，研究了倒立擺系統(tǒng)的控制策略。對直線一級倒立擺控制采。方程PID控制器，并利用MATALAB/Simulink軟件進行仿真，取得不同的控制效果。仿真圖，通過改變Simulink的LQR模塊及狀態(tài)空間模塊中的參數(shù)得到最好的控制效果。

　　

【正文】 算法仿真 由式 (310)得到閉環(huán)系統(tǒng)時小車位置傳遞函數(shù)： 設(shè) , , ，編寫 MATLAB 仿真程序 為： % 小車位置 PID 控制 % 輸入倒立擺傳遞函數(shù) G1(s)=num1/den1,G2(s)=num2/den2 M = ； m = ； b = ； I = ； g = ； 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 23 l = ； q = (M+m)*(I+m*l^2) (m*l)^2； num1 = [m*l/q 0 0]； den1 = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0]； num2 = [(I+m*l^2)/q 0 m*g*l/q]； den2 = den1； % 輸入控制器 PID 數(shù)學(xué)模型 Gc(s)=numPID/denPID Kp = 100； Ki = 1； Kd = 20； numPID = [Kd Kp Ki]； denPID = [1 0]； % 計算閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) G(s)=num/den % 多項式相乘 num = conv(num2,denPID)； % 多項式相加 den = polyadd(conv(denPID,den2),conv(numPID,num1 ))； % 求閉環(huán)系統(tǒng)極點 [r,p,k] = residue(num,den)； % 顯示閉環(huán)系統(tǒng)極點 s = p % 求取多項式傳函的脈沖響應(yīng) t=0::5； impulse(num,den,t) % 顯示范圍：橫坐標 05，縱坐標 010，此條語句參數(shù)可根據(jù)仿真輸出曲線調(diào)整 axis([0 5 0 10]) grid % end 得到閉環(huán)系統(tǒng)小車位置階躍響應(yīng)仿真曲線如圖 39 所示。 由仿真結(jié)果看出， 當(dāng)擺桿角度處于很好的閉環(huán)控制下時，小車位置處于失控狀態(tài)，會沿著某一方向運動下去。 出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因是傳統(tǒng)的 PID 控制方式是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的，只適應(yīng)于單輸入單輸出系統(tǒng)，而要使直線一級倒立擺的擺桿角度和小車位置均能得到控制，必須采用其他的控制方式。 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 24 圖 39 閉環(huán)系統(tǒng)小車位置脈沖響應(yīng)曲線 直線一級倒立擺雙閉環(huán) PID 控制算法仿真 上一節(jié)設(shè)計的 PID 控制器只能對倒立擺擺桿的擺角進行控制，而不能對小車的位置進行控制。設(shè)計雙閉環(huán) PID控制器，小車位置 PID 參數(shù)整定為： ， , 擺桿 PID 參數(shù)整定為： ， , 其 MATLAB/Simulink 仿真原理圖如圖 310 所示。 圖 310 雙閉環(huán)系統(tǒng) Simulink仿真原理圖 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 25 其中小車位置傳遞函數(shù)和擺桿角度傳遞函數(shù)的參數(shù)分別如下： 圖 311 小車位置傳遞函數(shù)的參數(shù) 圖 312 擺桿角度傳遞函數(shù)的參數(shù) 其控制效果分別如圖 313, 314所示 ： 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 26 圖 313 雙閉環(huán)系統(tǒng)小車位置 Simulink仿真結(jié)果 圖 314 雙閉環(huán)系統(tǒng)擺桿 Simulink仿真結(jié)果 由圖 313可以看出， 小車偏離導(dǎo)軌中心最大距離小于 12mm,穩(wěn)定時間小于 8秒 ； 由圖314可以看出，擺桿最大偏角與垂直向上的夾角小于 ,穩(wěn)定時間小于 7秒。因此，利用常規(guī)雙閉環(huán) PID控制方案和基于狀態(tài)空間方程加 PID 控制方案可以成功地控制直線一級倒立擺系統(tǒng)。 本章小結(jié) 本章簡單介紹了 PID控制系統(tǒng)設(shè)計原理及 PID 控制器各校正環(huán)節(jié)的作用，簡要介紹了五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 27 PID 參數(shù)的整定方法。設(shè)計了直線一級倒立擺擺桿擺角及小車位置常規(guī)單回路 PID 控制器，通過仿真知道：常規(guī)單回路 PID 控制器能控制擺桿擺角，不能控制小車位置。于是設(shè)計出了直 線一級倒立擺雙閉環(huán) PID控制器及基于倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程 PID 控制器，利用MATALAB/Simulink 軟件進行仿真，仿真結(jié)果表明， 這 兩種控制器能對擺桿擺角及小車位置進行有效的控制。 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 28 第四章 直線倒立擺系統(tǒng) LQR 控制與仿真 控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計是控制理論研究的兩大課題。分析是對已經(jīng)存在的控制系統(tǒng)，分析系統(tǒng)的各種性能。經(jīng)典控制理論在傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及精確性等 ； 現(xiàn)代控制理論在狀態(tài)方程和輸出方程的基礎(chǔ)上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性等。對系統(tǒng)控制器的設(shè)計，經(jīng)典控制采用 的常規(guī)設(shè)計方法，設(shè)計指標是滿足系統(tǒng)的某些籠統(tǒng)的要求，而現(xiàn)代控制采用的是最優(yōu)控制，設(shè)計的指標是確保系統(tǒng)某種指標最優(yōu)，如最短時間、最低能耗等。與經(jīng)典控制理論一樣，現(xiàn)代控制系統(tǒng)中仍然主要采用反饋控制結(jié)構(gòu)，但不同的是，經(jīng)典控制理論中主要采用輸出反饋，而現(xiàn)代控制中主要采用內(nèi)部狀態(tài)反饋。狀態(tài)反饋可以為系統(tǒng)控制提供更多的信息反饋，從而實現(xiàn)更優(yōu)的控制。 最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的重要內(nèi)容，近幾十年的研究與應(yīng)用是最優(yōu)控制理論成為現(xiàn)代控制中的一大分支。由于計算機的發(fā)展己使過去認為不能實現(xiàn)的計算成為很容易的事情，所以 最優(yōu)控制的思想和方法已在工程技術(shù)實踐中得到愈來愈廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用最優(yōu)控制理論和方 法可以在嚴密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上找出滿足一定性能優(yōu)化要求的系統(tǒng)最優(yōu)控制 ?，F(xiàn)代控制理論最突出的特點是將控制對象用狀態(tài)時間表達式的形式表示出來，這樣便于對多輸入多輸出系統(tǒng)進行分析和設(shè)計。最優(yōu)控制主要是通過對性能指標的優(yōu)化尋找可以使目標極小的控制器。如果系統(tǒng)是線性的，性能泛函是狀態(tài)變量或控制量的二次型函數(shù)的積分，則這樣的最優(yōu)控制問題稱為線性二次型最優(yōu)控制 (Linear Quadratic RegulatorLQR)問題。 本章主要利用 最優(yōu)控 制算法實現(xiàn)對一級倒立擺系統(tǒng)的擺桿角度和小車位置的同時控制 。 線性二次型最優(yōu)控制 LQR 控制原理簡介 線性二次型最優(yōu)控制算法是現(xiàn)代控制理論中的一種重要的、基本的方法。線性二次型(LQ)性能指標易于分析、處理和計算，而且通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計方法得到的系統(tǒng)控制方法，具有較好的魯棒性與動態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點，因而在實際的控制系統(tǒng)設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用。 LQR 算法的目的是在一定性能指標下，使系統(tǒng)的控制效果最佳，即利用最少的控制能量來達到最小的狀態(tài)誤差。 被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： (41) 尋找一個狀態(tài)反饋控制律 ，使得如下性能指標達到最小值： 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 29 (42) 式 (41),(42)中， X 為 n 維狀態(tài)向量， 為 r 維輸入向量， Y 為 m 維輸出向量 ； Q, R分別為 X 和 的加權(quán)矩陣，用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重，確定了誤差和能量損耗的相對重要性 ； Q 為正定 (或半正定 )陣， R為正定陣。 假設(shè)控制向量 是無約束的，根據(jù)最優(yōu)控制理論，可以得到最優(yōu)控制律為 : (43) 式 (43)中， K 為最優(yōu)反饋增益矩陣， P 為常數(shù)正定矩陣，且 P 必須滿足黎卡提 (Riccati)代數(shù)方程： (44) 因此，系統(tǒng)的設(shè)計歸結(jié)于對黎卡提方程求解，獲得 P，進而求出最優(yōu)反饋增益矩陣 K。 倒立擺 LQR 控制器的設(shè)計 最優(yōu)控制的前提條件是系統(tǒng)是能觀、能控的。 由上 章知道輸入時脈沖量，并且在設(shè)計控制器時，只對擺桿角度進行控制，而不考慮小車的移動。然而，對于一個倒立擺系統(tǒng)來說，把它作為但輸出系統(tǒng)是不符合實際的，如果把系統(tǒng)當(dāng)作多輸出的話，用狀態(tài)空間法分析比較明了。 因為系統(tǒng)方程為： 在倒立擺相關(guān)參數(shù)為： 表 41 系統(tǒng)參數(shù) M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動 軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 *m*m T 采樣時間 的條件下，狀態(tài)方程系數(shù)矩陣如下： ， , ； 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 30 系統(tǒng)的能控矩陣的秩 系統(tǒng)的能觀矩陣的秩 故系統(tǒng)式能控能觀的 。因此可以給系統(tǒng)加上控制器使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，且滿足暫態(tài)性能指標。運用線性二次型最優(yōu)控制算法進行控制器設(shè)計時，主要目的就是獲得反饋向量 K的值。由上章的推導(dǎo)知道，設(shè)計系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器時，一個關(guān)鍵的問題就是二次型性能指標 泛函中加權(quán)矩陣 Q和 R的選取。為了使問題簡化及加權(quán)矩陣具有比較明確的物理意義，將 Q取為對角陣。假設(shè) , 這樣 得到的性能指標泛函為： 由上式可以看出 ， 是對 的平方加權(quán)， 的相對增加就意味著對 的要求相對其它狀態(tài)變量嚴格，在性能指標中的比重大， 的偏差狀態(tài)相對減小。 R的對控制量 的平方加權(quán)，當(dāng) r相對較大時，就意味著控制非有的增加，使得控制 能量較小，反饋減小，而 r 取值較小時，系統(tǒng)控制費用減小，反饋增加，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)迅速。 考慮到 一階 倒立擺系統(tǒng)在運行過程中 ， 主要的被控量為小車位置 x 和 ， 因此在選取加權(quán)對角陣 Q 的各元素值時，由于 代表小車位置的權(quán)重， 代表擺桿角度的權(quán)重 ,所以只選取 ： ，而 。 選取 Q和 R時應(yīng)該注意以下幾個方面： (1)由于采用的系統(tǒng)模型是線性化的結(jié)果，為使系統(tǒng)各狀態(tài)量能夠在線性范圍內(nèi)工作，要求各狀態(tài)量不應(yīng)過大。 (2)閉環(huán)系統(tǒng)最好能有一對共扼復(fù)數(shù)極點，這樣有利于克服系統(tǒng)的非線性摩擦，但系統(tǒng)主導(dǎo)極點的模不應(yīng)太大， 以免因系統(tǒng)頻帶過寬， 使得系統(tǒng)對噪聲過于敏感，以致系統(tǒng)不能正常工作。 (3)加權(quán)矩陣 R的減小，會導(dǎo)致大的能量控制，應(yīng)注意控制 的大小，不要超過系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。 應(yīng)用線性反饋控制器，控制系統(tǒng)機構(gòu)如圖 41 所示。圖中 R 是施加在小車上的階躍輸入， 四 個狀態(tài)量： x、 、 分別代表小車 位移 、 小車速度、 擺桿 位置 、擺桿角 速 度，五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 31 輸出 包括小車位置和 擺桿角度 。使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時，擺桿就會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車到達新的命令位置。 圖 41 控制系統(tǒng)框圖 直線一級倒立擺 LQR 控制算法仿真 利用 LQR 設(shè)計的控制器對倒立擺進行在線控制，可以使倒立擺達到穩(wěn)定，在倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，對系統(tǒng)施加干擾 (可用乎輕觸擺桿使擺桿偏離豎直位置一個小角度 )，小車能迅速調(diào)整，使整個系統(tǒng)在很短的時間內(nèi)恢復(fù)平衡，并得到小車位置和擺桿角度響應(yīng)曲線。則最優(yōu)控制 LQR仿真程序如下： % 最優(yōu)控制 % 確定開環(huán)極點的程序如下 M = ； m = ； b = ； I = ； g = ； l = ； p = I*(M+m)+M*m*l^2； A = [0 1 0 0； 0 (I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0； 0 0 0 1； 0 (m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0]； B = [ 0； (I+m*l^2)/p； 0； m*l/p ]； C = [1 0 0 0； 0 0 1 0]； D = [0； 0]； p = eig(A) % 求向量 K x = 1； y = 1； Q = [x 0 0 0； 0 0 0 0； 0 0 y 0； 0 0 0 0]； R = 1； K = lqr(A,B,Q,R) % 計算 LQR 控制的階躍響應(yīng)并畫出曲線 Ac = [(AB*K)]； Bc = [B]； Cc = [C]； Dc = [D]； 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計 32 T = 0::5； U = *ones(size(T))； % 求階躍響應(yīng)并顯示，小車位置為虛線，擺桿角度為實線 [Y,X] = lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)； plot(T,Y(:,1),39。:39。,T,Y(:,2),39。39。) legend(39。Cart Position39。,39。Pendulum Angle39。) grid % end 運行程序，得到： （ 1）確定系統(tǒng)的開環(huán)極點為 0、 、 、 ，有一個極點位于 S 平面的右半面，說明開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 （ 2）在取 的條件下，得到反饋控制向量 （ 3） LQR 控制的階躍響應(yīng)如下圖 42 所示。 圖 42 控制階躍響應(yīng) 其中實線代表擺桿的角度，虛線代表小車的位置，從圖中看出，響應(yīng)的超調(diào)量很小，但是穩(wěn)定時間和上升時間偏大，小車的位置沒有跟蹤輸入，而是向相反的方向移動。 為了縮短穩(wěn)定時間和上升時間，由 Q 矩陣可以看出，增加 能使穩(wěn)定時間和上升時間變短，并且使擺桿的角度變化減小。取 ，則： K=[ ] 響應(yīng)曲線如下圖 43 所示。 五邑大