【正文】 擺 LQR 控制器的設(shè)計(jì) 最優(yōu)控制的前提條件是系統(tǒng)是能觀、能控的。 系統(tǒng)的能控矩陣的秩 由上章的推導(dǎo)知道，設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器時(shí)，一個(gè)關(guān)鍵的問題就是二次型性能指標(biāo) 泛函中加權(quán)矩陣 Q和 R的選取。 考慮到 一階 倒立擺系統(tǒng)在運(yùn)行過程中 ， 主要的被控量為小車位置 x 和 ， 因此在選取加權(quán)對角陣 Q 的各元素值時(shí)，由于 代表小車位置的權(quán)重， 代表擺桿角度的權(quán)重 ,所以只選取 ： ，而 。 應(yīng)用線性反饋控制器，控制系統(tǒng)機(jī)構(gòu)如圖 41 所示。則最優(yōu)控制 LQR仿真程序如下： % 最優(yōu)控制 % 確定開環(huán)極點(diǎn)的程序如下 M = ； m = ； b = ； I = ； g = ； l = ； p = I*(M+m)+M*m*l^2； A = [0 1 0 0； 0 (I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0； 0 0 0 1； 0 (m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0]； B = [ 0； (I+m*l^2)/p； 0； m*l/p ]； C = [1 0 0 0； 0 0 1 0]； D = [0； 0]； p = eig(A) % 求向量 K x = 1； y = 1； Q = [x 0 0 0； 0 0 0 0； 0 0 y 0； 0 0 0 0]； R = 1； K = lqr(A,B,Q,R) % 計(jì)算 LQR 控制的階躍響應(yīng)并畫出曲線 Ac = [(AB*K)]； Bc = [B]； Cc = [C]； Dc = [D]； 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 32 T = 0::5； U = *ones(size(T))； % 求階躍響應(yīng)并顯示，小車位置為虛線，擺桿角度為實(shí)線 [Y,X] = lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)； plot(T,Y(:,1),39。) legend(39。) grid % end 運(yùn)行程序，得到： （ 1）確定系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為 0、 、 、 ，有一個(gè)極點(diǎn)位于 S 平面的右半面，說明開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。取 ，則： K=[ ] 響應(yīng)曲線如下圖 43 所示。 圖 42 控制階躍響應(yīng) 其中實(shí)線代表擺桿的角度，虛線代表小車的位置，從圖中看出，響應(yīng)的超調(diào)量很小，但是穩(wěn)定時(shí)間和上升時(shí)間偏大，小車的位置沒有跟蹤輸入，而是向相反的方向移動。,39。,T,Y(:,2),39。使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí)，擺桿就會擺動，然后仍然回到垂直位置，小車到達(dá)新的命令位置。 (2)閉環(huán)系統(tǒng)最好能有一對共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)，這樣有利于克服系統(tǒng)的非線性摩擦，但系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的模不應(yīng)太大， 以免因系統(tǒng)頻帶過寬， 使得系統(tǒng)對噪聲過于敏感，以致系統(tǒng)不能正常工作。假設(shè) , 這樣 得到的性能指標(biāo)泛函為： 由上式可以看出 ， 是對 的平方加權(quán)， 的相對增加就意味著對 的要求相對其它狀態(tài)變量嚴(yán)格，在性能指標(biāo)中的比重大， 的偏差狀態(tài)相對減小。因此可以給系統(tǒng)加上控制器使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，且滿足暫態(tài)性能指標(biāo)。然而，對于一個(gè)倒立擺系統(tǒng)來說，把它作為但輸出系統(tǒng)是不符合實(shí)際的，如果把系統(tǒng)當(dāng)作多輸出的話，用狀態(tài)空間法分析比較明了。 被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： (41) 尋找一個(gè)狀態(tài)反饋控制律 ，使得如下性能指標(biāo)達(dá)到最小值： 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 29 (42) 式 (41),(42)中， X 為 n 維狀態(tài)向量， 為 r 維輸入向量， Y 為 m 維輸出向量 ； Q, R分別為 X 和 的加權(quán)矩陣，用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重，確定了誤差和能量損耗的相對重要性 ； Q 為正定 (或半正定 )陣， R為正定陣。 本章主要利用 最優(yōu)控 制算法實(shí)現(xiàn)對一級倒立擺系統(tǒng)的擺桿角度和小車位置的同時(shí)控制 。應(yīng)用最優(yōu)控制理論和方 法可以在嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上找出滿足一定性能優(yōu)化要求的系統(tǒng)最優(yōu)控制 。與經(jīng)典控制理論一樣，現(xiàn)代控制系統(tǒng)中仍然主要采用反饋控制結(jié)構(gòu)，但不同的是，經(jīng)典控制理論中主要采用輸出反饋，而現(xiàn)代控制中主要采用內(nèi)部狀態(tài)反饋。 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 28 第四章 直線倒立擺系統(tǒng) LQR 控制與仿真 控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)是控制理論研究的兩大課題。因此，利用常規(guī)雙閉環(huán) PID控制方案和基于狀態(tài)空間方程加 PID 控制方案可以成功地控制直線一級倒立擺系統(tǒng)。 出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因是傳統(tǒng)的 PID 控制方式是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的，只適應(yīng)于單輸入單輸出系統(tǒng)，而要使直線一級倒立擺的擺桿角度和小車位置均能得到控制，必須采用其他的控制方式。 圖 37 控制器參數(shù)調(diào)整后閉環(huán)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)曲線 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差接近 0，但系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間 超過 3 秒，且系統(tǒng)相應(yīng)的超調(diào)量比較大，因此需要對控制器參數(shù)再次調(diào)節(jié)，為了減小超調(diào)，需增加微 分系數(shù) ，設(shè) ， 其它系數(shù)五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 22 不變，系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖 38所示。 當(dāng) PID控制器系數(shù)設(shè)為 ， ， 時(shí)， 閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為： S= 0 有 1個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于 S平面右半部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 20 圖 35 變換后小車控制結(jié)構(gòu)框圖 由圖 35得小車位置輸出為： 上 式中， , , 分別代表被控對象 1和被控對象 2傳遞函數(shù)的分子和分母。 輸入力 u為輸入量，以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數(shù) 是 ： (37) 式 (37)中， PID 控制器的傳遞函數(shù)為： (38) 只需調(diào)節(jié) PID 控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)框圖如圖 32所示。 利用齊格勒 尼科爾斯法則第二種方法調(diào)整的 PID 控制器將給出下列公式： （ 35） 由 (35)可知， PID 控制器具有一個(gè)位于原點(diǎn)的極點(diǎn)和一對位于： 的零點(diǎn) 。文中采用其第二種方法，即臨界比例度法來實(shí)現(xiàn)對倒立擺 PID 參數(shù)整定。二是工程整定方法，它主要依賴工程經(jīng)驗(yàn)，直接在控制系統(tǒng)的試驗(yàn)中進(jìn)行，且方法簡單、易于掌握，在工程實(shí)際中被廣泛采用。因此需要對 、和 三個(gè)參數(shù)進(jìn)行整定。因此，積分常數(shù) 大小的選擇要得當(dāng)。比例系數(shù) 的大小決定了比例調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)的快慢程度，但 過大會使系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)或振蕩現(xiàn)象， 過小又起不到調(diào)節(jié)作用。 (31) 將偏差的比例 (P)、積分 (I)和微分 (D)通過線性組合構(gòu)成控制量，對被控對象進(jìn)行控制，故稱為 PID 控制器。 PID 控制是最早發(fā)展起來的一種控制方法，雖然屬于經(jīng)典控制，但由于它具有原理簡單、直觀易懂、易于工程實(shí)現(xiàn)、魯棒性強(qiáng)等一系列優(yōu)點(diǎn)，所以在實(shí)際現(xiàn)場運(yùn)行的控制系統(tǒng)中仍有超過 90%的是采用 PID 控制器。 綜上所述，可以得知直線一級倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定且能控能觀系統(tǒng) 。矩陣 稱為系統(tǒng)的能觀測變換矩陣，該矩陣可以由MATLAB 控制系統(tǒng)工具箱中的 obsv(A,C)函數(shù)自動產(chǎn)生出來。其調(diào)用格式為 : =ctrb(A,B) 可求出系統(tǒng)的能控矩陣 : ]= 0 0 矩陣的秩 rank( )為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能控狀態(tài)的數(shù)目。執(zhí)行下面這個(gè)程序， Matlab 給出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的 A,B,C 和 D矩陣，并繪出在給定輸入為一個(gè) 的階躍信號時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，程序如下： % 倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應(yīng) 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 13 % 輸入倒立擺相關(guān)參數(shù) M = ； m = ； b = ； I = ； g = ； l = ； % p 用于狀態(tài)方程計(jì)算 p = I*(M+m)+M*m*l^2； % 輸入倒立擺狀態(tài)方程并顯示 A = [0 1 0 0； 0 (I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0； 0 0 0 1； 0 (m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0] B = [0； (I+m*l^2)/p； 0； m*l/p] C = [1 0 0 0； 0 0 1 0] D = [0； 0] % 求開環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)并顯示 T = 0::5； U = *ones(size(T))； [Y,X] = lsim(A,B,C,D,U,T)； plot(T,Y) % 顯示范圍：橫坐標(biāo) 02，縱坐標(biāo) 0100，此條語句參數(shù)可根據(jù)仿真輸出曲線調(diào)整 axis([0 2 0 100]) grid 執(zhí)行上面的程序，得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間 A,B,C,D 矩陣，顯示結(jié)果如下所示： A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B = 0 0 C = 1 0 0 0 0 0 1 0 D = 0 0 MATLAB 仿真的開環(huán)階躍相應(yīng)曲線如下圖所示，系統(tǒng)不穩(wěn)定。仿真程序見下 : % 倒立擺傳遞函數(shù)、開環(huán)極點(diǎn)及開環(huán)脈沖響應(yīng) % 輸入倒立擺傳遞函數(shù) G(S)=num/den M = ； m = ； b = ； I = ； g = ； l = ； q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2； % 計(jì)算并顯示多項(xiàng)式形式的傳遞函數(shù) num = [m*l/q 0 0] den = [1 b*(I+m*l^2)/q (M+m)*m*g*l/q b*m*g*l/q 0] % 計(jì)算并顯示傳遞函數(shù)的極點(diǎn) p [r,p,k] = residue(num,den)； s = p % 求傳遞函數(shù)的脈沖響應(yīng)并顯示 t=0::5； impulse(num,den,t) % 顯示范圍：橫坐標(biāo) 01，縱坐標(biāo) 060，此條語句參數(shù)可根據(jù)仿真輸出曲線調(diào)整 axis([0 1 0 60]) 五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 12 grid 結(jié)果如下 : num = 0 0 den = 0 s = 0 因此系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達(dá)式為： 系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為 =, = , = ， = 0。求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題最簡單的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)，并觀察是否含有實(shí)部大于零的極點(diǎn) (不穩(wěn)定極點(diǎn) )。當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角 必與 1(單位是弧度 )相比很小 ( )時(shí)，則可以進(jìn)行近似處理 : ， 。 直線一級倒立擺系統(tǒng)模型如圖 21所示。 直線一級倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動方程的推導(dǎo) 倒立擺系統(tǒng)是一種復(fù)雜的要求快速性很高、有很強(qiáng)非線性的系統(tǒng)，為了簡化直線一級倒立擺系統(tǒng)分析，在建立實(shí)際數(shù)學(xué)模型過程中，基于以下假設(shè)： (1)忽略空氣阻力。機(jī)理建模是對系統(tǒng)各部分的運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的基本定律，如電學(xué)中的克?；舴蚨?，力學(xué)中的牛頓定律，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定律等，即利用各個(gè)專門學(xué)科領(lǐng)域提出的物質(zhì)和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)設(shè)備的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出模型，這種方法得出的數(shù)學(xué)模型稱之為理論模型或解析模型，這種建立模型的方法稱之為解析法；實(shí)驗(yàn)建模是根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)所提供的信息，進(jìn)行數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理， 并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，從而得到關(guān)于系統(tǒng)模型的參數(shù)，這種方法是實(shí)驗(yàn)方法或稱統(tǒng)計(jì)建模法，也稱系統(tǒng)辨識。第四章簡單介紹線性二次型最優(yōu)控制 LQR 控制原理，設(shè)計(jì) LQR 控制，利用程序仿真出倒立擺 LQR 控制 Simulink 仿真圖，觀察仿真，選取合適的控制參數(shù)從而得到最好的控制效果。第二章應(yīng)用 Newton 法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的動力學(xué)模型，推導(dǎo)該系統(tǒng)的運(yùn)動方程，求出五邑大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 6 直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型及空間狀態(tài)方程模型，并進(jìn)一步對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性進(jìn)行分析，得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定、完全能控、完全能觀系統(tǒng)結(jié)論。幾種控制算法相結(jié)合的控制方 式。其模擬生物界優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化過程來實(shí)現(xiàn)參數(shù)的尋優(yōu)。 (8)非線性控制理論。用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機(jī)制。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能