【導(dǎo)讀】推廣角的概念、引入大于360?理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義；直角坐標(biāo)系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個(gè)終邊相同的角，通過(guò)角的概念推廣，幫助學(xué)生樹(shù)立運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)；通過(guò)知識(shí)背景的揭示，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí)。從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形。這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)300；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300.明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周??，則形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超出了我們已有的認(rèn)識(shí)。角的范圍基礎(chǔ)上，重新給出角的定義，并研究這些角的。針?lè)较蛐D(zhuǎn)到終止位置OB，就形成角?。射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角。在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合。例左右兩部分表示的角的范圍。關(guān)系；通過(guò)已有知識(shí)探求弧度制下的弧長(zhǎng)公式，并利用弧度制解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

　　

【正文】 若角 ?、 ?的終邊關(guān)于 y 軸對(duì)稱， x y O P′ P M 角 ?的終邊 角 ?的終邊 x O P P ′′′ 角 ?的終邊 M M′ 角 ?的終邊 24 同理可得 sin?＝ sin?， cos?＝－ cos? ， tan?=－ tan? 而 ?－ ?與 ?是關(guān)于 y 軸對(duì)稱的，故有 誘導(dǎo)公式 三 sin ( ) sin? ? ??? co s( ) co s? ? ???? ta n( ) ta n? ? ???? kZ? 若角 ?、 ?的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 同理可得 sin?＝－ sin?， cos?＝－ cos? ， tan?=tan? 而 ?＋ ?與 ?是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，故有 誘導(dǎo)公式四 思考 1 公式 四可以 用公式 二 、公式 三 推導(dǎo) 嗎？ sin(?＋ ?) = sin[?－ (?)]= sin(?)= ?sin? 思考 2 公式 二 、 三 、 四有什么共同的特征？ 公式 二 、 三 、 四 可用一句話概括： 函數(shù)名不變，符號(hào)看象限 說(shuō)明： 以上公式對(duì)角度制下的角仍適用，只需將 ?換為 180176。 （三）學(xué)以致用 例 1 求值： ① sin 76 ? ② cos114 ? ③ tan(1560176。) 例 2 判斷下列函數(shù)的奇偶性： ① ( ) 1 cosf x x?? ② ( ) sing x x x?? 例 3 化簡(jiǎn)下列各式： sin ( ) sin? ? ???? co s( ) co s? ? ???? ta n( ) ta n? ? ??? kZ? x y O P P′ 角 ?的終邊 M M′ 角 ?的終邊 25 ① c o s (1 8 0 ) s i n ( 3 6 0 )s i n ( 1 8 0 ) c o s ( 1 8 0 )??????? ? ? ? ② s in ( 2 ) c o s ( )c o s ( ) s in ( 3 ) s in ( )? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ③ s in ( ) ()c o s ( )n ta n nn?? ????? ???? （ n∈ Z) ④ 2s i n ( ) c o s ( ) c o s ( ) 1? ? ? ? ?? ? ? ? ? 答案： ① 1 ② 1sin ??? ③ 2tan? ④ 2 例 4 已知 1sin (3 ) 3??? ? ?，求 s i n ( 1 8 0 ) c o s (7 2 0 ) t a n ( 5 4 0 ) t a n ( 1 8 0 )s i n ( 1 8 0 ) t a n ( 9 0 0 )? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? 的值。 例 5 已知 ta n ( ) c o s ( ) 1s in ( ) c o s ( ) ta n ( 3 ) s in ( 3 )? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?, 則 ? 的取值范圍為 ________. 例 6 已知函數(shù) ( ) sin ( ) c o s( )f x a x b x? ? ? ?? ? ? ?,其中 , , ,ab?? 都是非零實(shí)數(shù)，又知 (2020) 1f ? ,求 (2020)f 的值。 例 7 已知 sin( ) 1xy??,求證： ta n ( 2 ) ta n 0x y y? ? ? （四）課堂鞏固 課本 20 頁(yè)練習(xí) 1， 2， 3。 （五）歸納小結(jié) （一） （四）： 函數(shù)名不變，符號(hào)看象限 誘導(dǎo)公 式（一） （四）可以把任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 0176?！?180176。角的三角函數(shù)值問(wèn)題 . （六）布置作業(yè)： 《課課練》第 6 課 26 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（ 2） 一、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能 （ 1） 理解誘導(dǎo)公式 (五 )、 (六 )的推導(dǎo)方法； （ 2）掌握誘導(dǎo)公式的特征， 運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)以及其它簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題 ； 過(guò)程與方法 通過(guò)圖形對(duì)稱的角度結(jié)合定義 導(dǎo)出三角函數(shù)的 誘導(dǎo)公式 ； 通過(guò)師生一起對(duì)典型例題的探討，使學(xué)生體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)推理思維方式。通過(guò)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，使學(xué) 生認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問(wèn)題的一條行之有效的途徑 . 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 （ 1）通過(guò)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。 （ 2）通過(guò)歸納思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生踏實(shí)細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，滲透從特殊到一般、把未知轉(zhuǎn)化為已知的辨證唯物主義思想。 二、教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn) : 誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用 。 難點(diǎn) : 相關(guān)角邊的幾何對(duì)稱關(guān)系及誘導(dǎo)公式結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí) 。 三、學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：自主、討論、體驗(yàn)、感悟 教具 :多媒體、三角板 四、教學(xué)過(guò)程： （ 一 ） 問(wèn)題情境： 問(wèn) 題 ：公式二、三、四都是通過(guò)研究角 ?、 ?與 x軸、 y 軸、 原點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，利用三角函數(shù)線來(lái)推導(dǎo)的。那么，如果，角 ?、 ?終邊關(guān)于 y=x對(duì)稱，角 ?、 ?的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之間 有何關(guān)系？ （ 二 ）探求新知 1．誘導(dǎo)公式公式五 如圖，角 ?、 ?的終邊關(guān)于直線 y=x對(duì)稱。由上圖知， 有 ?＝ 2k?+?2 － ?， (k∈ Z), 下面我們一起來(lái)探討 ,??的三角函數(shù)植的關(guān)系： 方案 1： 由于 Rt△ OMP≌ Rt△ OP′M′ 從而， M′P′=OM， OM′=MP, (長(zhǎng)度相等，方向同正負(fù)） y=x M′ M 角 ?的終邊 角 ?的終邊 y P′ P O x 27 方案 2： 也可以通過(guò) 39。,PP點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系和三角函數(shù)定義得到： 公式五： 2．誘導(dǎo)公式公式六 將上述公式中的 ?換成－ ?可得公式六： 公式 六也可由三角函數(shù)線證明： 由 Rt△ OMP≌ Rt△ P′M′O sin(90? +?) = M′P′ = O M = cos? cos(90? +?) = OM′ = PM = ?MP = ?sin? 3．小結(jié) （ 1） 90?177。 ? 的三角函數(shù)值等于 ?的余函 數(shù)的值， 前面再加上一個(gè)把 ?看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。 （ 2） 公式二 —— 六可用十字口訣概括： 奇變偶不變，符號(hào)看象限 （ 3） 公式一、二、三、四、五、六統(tǒng)稱為三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。 （三）學(xué)以致用 例 1 求證： 33sin ( ) c o s , c o s( ) sin22? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?。 提示： 3 ()22?? ? ? ?? ? ? ? 注： 上述兩個(gè)公式實(shí)質(zhì)上也是 誘導(dǎo)公式 。其記憶方法也符合十字口訣。 例 2 計(jì)算： （ 1） s i n 3 1 5 s i n ( 4 8 0 ) c o s ( 3 3 0 )? ? ? ? （ 2） 22c o s ( ) c o s ( )44????? ? ? sin( ?2 － ? )=cos ? cos( ?2 － ? )=sin? sin( ?2 ＋ ? )=cos ? cos( ?2 ＋ ? )=sin? x y O P′ P M M′ ?的終邊 90? +?的終邊 28 例 3 求證： (1)3c o s ( ) c o s ( ) s in ( 4 ) s in ( )2 2 21ta n ( 2 ) c o s ( 5 ) c o s ( )ta n ( ) 2kk k? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ??? (2) 232 s i n ( ) c o s ( ) 1 t a n ( 9 ) 1221 2 s i n t a n ( ) 1???? ??? ? ?? ? ? ???? ? ? (以上都有 kZ? ) 例 4 （ 1） 已知 1cos(75 )3???，且 180 90?? ? ? ? ，求 cos(15 )?? 的值。 （ 2） 已知 c os( ) ( 1)6 mm? ?? ? ?，求 52c os( ) , sin( )63??????的值。 例 5 已知 ? 是第二象限的角，且 1cos( )25?? ??， 求 si n( ) c os( ) ta n( )3ta n( ) c os( )2? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ???的值。 例 5 （ 1） 已知 1sin 3?? , sin( ) 1????,求 sin(2 )??? . （ 2） 若 (cos ) cos17 ,f x x? ,求 (sin )fx 例 6 若關(guān)于 x 的方程 22 c os ( ) c os( ) 02x x a?? ? ? ? ? ?有實(shí)根， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。 解： 原方程變形為： 2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0 ∴ 22 sin sin 2a x x?? 21 172( si n ) 48x?? ∵ ? 1≤sinx≤1 ∴ m in1 17si n 48xa??當(dāng) 時(shí) ，； m a xs i n 1 1xa??當(dāng) 時(shí) ， ∴ a 的取值范圍是 [ 17 ,18 ]。 （五）課堂 練習(xí)： f(sinx)=sin(4n+1)x,(n∈ Z, x∈ R)，求 f(cosx)。 29 f(?)= 2cos3?+sin2(360176。?)+sin(90176。+?)－ 32+2cos2(?+180176。)+cos(?) , 求 f(?3 ) ： tan(??)=a2 （ a∈ R） ,|cos(??)|=cos?, 試判定角 ?終邊位置。 （分類： a≠0。a=0) (六 ) 小結(jié) ： ： （ 1） 用 “? ?”公式化為 正角 的三角函數(shù) （ 2） 用 “2k? + ?”公式化為 [0， 2?]角的三角函數(shù) （ 3） 用 “?177。?”或 “2? ? ?”或 “?2 177。 ?”,公式化為 銳角 的三角函數(shù) ： 奇變偶不變，符號(hào)看象限 。 （七）布置 作業(yè) 課課練 第 7 課 《三角函數(shù)》復(fù)習(xí) 一、 知識(shí)回顧 1. 任意角、弧度制 （ 1）任意角???????角 的 推 廣正 角 、 負(fù) 角 、 零 角終 邊 相 同 的 角 的 表 示象 限 角 、 軸 線 角 的 表 示 （ 2）弧度制???????弧 度 制角 度 制 與 弧 度 制 的 互 化特 殊 角 的 三 角 函 數(shù) 值弧 度 制 下 的 弧 長(zhǎng) 公 式 、 扇 形 面 積 公 式 2 任意角的三角函數(shù)22sin c o s 1sinta nc o s?????? ?? ???? ????? ?? ??? ???????定 義 、 定 義 域 、 符 號(hào)（ 1 ） 任 意 角 的 三 角 函 數(shù)單 位 圓 中 的 三 角 函 數(shù) 線（ 2 ） 同 角 三 角 函 數(shù) 關(guān) 系（ 3 ） 三 角 函 數(shù) 的 誘 導(dǎo) 公 式 （ 一 ） （ 六 ） ： 奇 變 偶 不 變 ， 符 號(hào) 看 象 限 二、例題選講 30 【 例 1】 填空： （ 1）已知角 ? 的終邊與角 690? 的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則絕對(duì)值最小的角是 弧度； （ 2）若 cos cos??? ，則角 ? 與角 ? 的終邊關(guān)于 對(duì)稱或 ； （ 3）若扇形的半徑為 1，周長(zhǎng)為 ? ，則扇形的面積為 ；弧所對(duì)的弦長(zhǎng)為 ； （ 4）若 1sin ( )22? ?? ? ?，則 tan(2 )???? ； （ 5）函數(shù) ( ) 1 2 c os l g( 2 sin 2 )f x x x? ? ? ?的定義域?yàn)? 。 答案：（ 1） 56?? ；（ 2） x 軸，重合（