32均值不等式(一)學(xué)案人教b版必修5-資料下載頁
2024-11-19 00:36本頁面
【導(dǎo)讀】2．若a，b都為________數(shù)，那么a＋b2________ab(當(dāng)且僅當(dāng)a________b時(shí)，等號(hào)成。立)，稱上述不等式為________不等式，其中________稱為a，b的算術(shù)平均值，________. 當(dāng)x<0時(shí)，x＋1x≤________.當(dāng)ab>0時(shí)，ba＋ab≥________；如圖所示，AB為⊙O的直徑，AC＝a，CB＝b，過點(diǎn)C作CD⊥AB交⊙O上半圓于D，連結(jié)AD，，CD＝__________，而OD＝__________，因?yàn)镺D________CD，例2設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.變式訓(xùn)練2已知a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，且abc＝1.1x＋ay≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最。2．兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab與a＋b2≥ab都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)?時(shí)，12x2－2(x<0)，則m、n之間的大小關(guān)系是(). 4．若不等式x2＋ax＋1≥0對(duì)一切x∈????＝ab－2aba＋b＝?能是a2＋b2與a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0<a<1,0<b<1，所以a
【正文】 1a＋1b，由 21a＋1b≤ ab≤ a＋ b2 ≤ a2＋ b22 .可知2aba＋ b最小 ． ] 2． A [∵ m＝ (a－ 2)＋ 1a－ 2＋ 2≥ 2 ?a－ 2? 1a－ 2＋ 2＝ 4， n＝ 22－ x222＝ 4.∴ mn.] 3． B [∵ ab≤ ?? ??a＋ b2 2， a≠ b， ∴ ab1， 又 ∵ a2＋ b22 a＋ b2 ＝ 1， ∴a2＋ b22 1， ∴ ab1a2＋ b22 .] 4． B [x2＋ ax＋ 1≥ 0 在 x∈ ?? ??0， 12 上恒成立 ? ax≥ － x2－ 1? a≥ ?? ??－ ?? ??x＋ 1x max ∵ x＋ 1x≥ 2， ∴ － ?? ??x＋ 1x ≤ － 2， ∴ a≥ － 2.] 5． A [∵ a＋ b≥ 2 ab， ∴ ab≤ ?? ??a＋ b2 2＝ 4，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b＝ 2 時(shí)取等號(hào) ． c＋ d≥ 2 cd， ∴ c＋ d≥ 2 cd＝ 4，當(dāng)且僅當(dāng) c＝ d＝ 2 時(shí)取等號(hào) ． 故 c＋ d≥ ab，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b＝ c＝ d＝ 2 時(shí)取等號(hào) ． ] 6． 2 解析 ∵ lg x＋ lg y＝ 1， ∴ xy＝ 10， ∴ 2x＋ 5y＝ 2x＋ x2≥ 2.] 7． 大 － 1 解析 ∵ a1， ∴ a－ 10， ∴ － ?? ??a－ 1＋ 1a－ 1 ＝ (1－ a)＋ 11－ a≥ 2， ∴ a－ 1＋ 1a－ 1≤ － 2， ∴ a＋ 1a－ 1≤ － 1. 8. 2 解析 由已知 a≥ ??? ???x＋ yx＋ y max， ∵ x＋ y2 ≤ x＋ y2 成立， ∴ x＋ y≤ 2 x＋ y ∴ ??? ???x＋ yx＋ y max＝ 2， ∴ a≥ 2. 9． 證明 ∵ a2＋ b2≥ 2ab① b2＋ c2≥ 2bc② c2＋ a2≥ 2ac③ a2＋ b2＋ c2＝ a2＋ b2＋ c2④ 由 ① ＋ ② ＋ ③ ＋ ④ 得： 3(a2＋ b2＋ c2)≥ a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ac 3(a2＋ b2＋ c2)≥ (a＋ b＋ c)2，即 a2＋ b2＋ c2≥ ?a＋ b＋ c?23 . 10． 證明 ∵ xy＝ 1 ∴ x2＋ y2x－ y ＝?x－ y?2＋ 2xyx－ y ＝?x－ y?2＋ 2x－ y ＝ (x－ y)＋ 2x－ y≥ 2 ?x－ y? 2x－ y＝ 2 2. 當(dāng)且僅當(dāng)????? x－ y＝ 2x－ yxy＝ 1，即????? x＝ 6＋ 22y＝ 6－ 22時(shí)取等號(hào) ．
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