【正文】 167。 2 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述 ? ?? ?? ?12121 2 1 2 1 1 2 21 2 1( 2 , 3 , ) , ,( ) , ( ) , ( ) ,( , , , , ) ( ) , ( ) , ( ) , 1 , 2 ,( ) ,( , , 。nnX n n n n iXnn n t t t Tn X t X t X tF x x x t t t P X t x X t x X t x x R i nX t t TF x xnxt??? ? ? ? ? ?? 為了描述隨機(jī)過程在不同時(shí)刻狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系，一般地，對任意 個(gè)不同的時(shí)刻，引入 維隨機(jī)變量 它的分布函數(shù)記為： ； ，稱為隨機(jī)變 分量的 維 布函數(shù)? ? ? ?2, , ) ( ) ,nit t t T X t t T n?? 稱為 的 維分布函數(shù)族? ?? ?1 2 1 2( , , 。 , , ) , 1 , 2 , ( ) ,X n n iF x x x t t t n t TX t t T??? 有限維分布一般地，稱為隨機(jī)過程 的它完全確定了隨機(jī)過程函數(shù)族的統(tǒng)計(jì)特性84 例 1：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，定義一隨機(jī)過程： 0 01( 。 0) 0 12 1 1xF x xx????? ? ??????故1 (1 )1 HXT??? ??出現(xiàn)出現(xiàn) 0 11( 。 0) 1 12 1 1xF x xx?????? ? ? ??????故? ? ? ?? ?1 , 1 ( 0) , ( 1 ) 0 , 1 HXX T???? ???出現(xiàn)出現(xiàn)12121212120 1 1 0 1( , 。 0 , 1 )1 1 1xxxxF x xxx???? ? ? ??? ??????且或故且 其他85 , 0 ,t c os t a c os t????解：對給定的 若 記 ，()X t aV?則 的密度函數(shù)為：? ? ? ?1 0 11 。0 XVxx aaf x t fa a? ???? ? ? ??? 其他01a cos ?? ? ?? ? 1 0 1。0 0 X xfx ???? ??于是 其他2 ,42a c os ?? ?? ? ?? ? 22 0。 240 Xxfx ??? ???? ??? 其他23 ,42a c os ?? ?? ? ? ?? ?22 03。 240 Xx??? ? ? ??? ??? 其他1,a c os ?? ?? ? ? ?? ? 1 1 0。 0 X xfx ?? ? ? ??? ?? 其他0,2a c os ??? ?? ?? ?012PX ?? ??86 (二 ) 隨機(jī)過程的數(shù)字特征 ? ?121 2 1121 1 2 22 1 2,()( , ) [ ( ) , ( ) ] [ ( ) ( ) ]( , )[ ( ) ([ ( )) ] ( )( ) ]XXXXXXR t t E X t X tt t TC t t C ov X t X tE X t t X t t??????????? ? ? ? ? ? ? ?又設(shè)任意自相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)? ? ? ?2 ,XXt R t t? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2,X X X XC t t R t t t t????? ? ? ? ? ? ? ?2212,X X X Xt C t t R t t t??? ? ?87 88 ? ?( ) ( )X t E X t? ?解： ( ) ( )tE A E B??1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ]XR t t E X t X t? 221 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ,t t E A t t E AB E B t t T? ? ? ? ?? ? ? ?0 , 1 , 0 , 2A N B U當(dāng) 時(shí)，22 4( ) 0 , ( ) 1 , ( ) 1 , ( ) 3E A E A E B E B? ? ? ?,AB又因?yàn)?獨(dú)立， ( ) ( ) ( ) 0E A B E A E B??故 1 2 1 2 1 24( ) 1 , ( , ) ,3XXt R t t t t t t T?? ? ? ? ?89 ?解：由假設(shè) 的概率密度為：1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ]XR t t E X t X t?? ?1 0 22 0 f ??? ? ? ???? ??? 其他( ) [ ( ) ]X t E X t? ?于是 ? ?E ac os t?? ? ?????? ?201 02ac os t d? ? ?? ? ? ? ? ?? 212[ ( ) ( ) ]E a c os t c os t??? ? ? ? ?221()2a c os t t???22120 1( ) ( ) 2a c os t c os t d? ?? ?? ? ? ? ? ? ??21 22t t t a c os t???＝＝＝22( ) ( , ) ( )X X Xt R t t t????2( , )2X aR t t??90 ()Xt解： 是正態(tài)過程1 2 1 1 2 2, , , ( ) ( ) ( )n n nu u u u X t u X t u X t? ? ? ?對任意一組數(shù) 服從一維正態(tài)分布1 1 2 2 11( ) ( ) ( )nnn n i i i iiiu X t u X t u X t A u c os t B u sin t????? ? ? ? ???而 , ( , )A B A B因?yàn)?是相互獨(dú)立的正態(tài)變量，故 是二維正態(tài)變量，()Xt所以 是正態(tài)過程? ?1 2 1 2, , , ( ) , ( ) , ( )nnt t t T X t X t X t n??對任意一組實(shí)數(shù) 服從 維正態(tài)分布11,nni i i iiiA u c os t B u sin t A B??????? 是 的線性組合，因此它服從一維正態(tài)分布，續(xù) 91 下面計(jì)算均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù): ( ) ( ) ( ) 0 ,E A E B E A B? ? ?因?yàn)?2 2 2( ) ( )E A E B ??? ? ?()X t E A c os t B sin t? ? ???故 ( ) ( ) 0E A c os t E B sin t??? ? ?1 2 1 2( , ) ( , )XXC t t R t t? 1 1 2 2[ ( ) ( ) ]E A c os t B si n t A c os t B si n t? ? ? ?? ? ?2 1 2 1 2c os t c os t si n t si n t? ? ? ? ???2 21c os t t????21 2t t t c os t????記＝＝＝92 (三 ) 二維隨機(jī)過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征 ? ?? ? ? ?39。 39。 39。1 2 1 139。 39。 39。1 2 1 2( ) , ( ) , , , 。 , ,( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( )( ) ( )nmnmX t Y t t Tn m t t t T t t t Tn X t X t X t m Y t Y t Y tX t Y t??? 給定二維隨機(jī)過程對任意的正整數(shù) ，任意的數(shù)組維隨機(jī)變量 與 維隨機(jī)變量相互獨(dú)立，稱隨機(jī)變量 和 是 相互獨(dú)立 的93 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ] ,( , ) [ ( ) ( ) ] ,XYYXR t t E X t Y t t t TR t t E Y t X t t t T??? ?1 2 1 1 2 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( , ) ( ) ( ) ,( , ) ( , ) ( ) ( ) ,X Y X YX Y X YY X Y X Y XC t t E X t t Y t tR t t t t t t TC t t R t t t t t t T??????? ? ?? ? ?? ? ?94 ( ) ( ) ( ) ( )W t X t Y t Z t? ? ?解： ( ) ( ) ( ) ( )W X Y Zt t t t? ? ? ?? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )W X Y ZR t t R t t R t t R t t? ? ?1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )X Y Y X X ZR t t R t t R t t? ? ?1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )ZX Y Z ZYt t t t R t t?1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )W X Y ZR t t R t t R t t R t t? ? ?則 ( ) ( ) ( ) 0X Y Zt t t? ? ?? ? ?若特 ，別的 ，( ) , ( ) , ( )X t Y t Z t 兩兩不相關(guān)1 2 1 2( , ) ( ) ( ) 0 ,X Y X YR t t t t????即 1 2 1 2( , ) 0 , ( , ) 0X Z Y ZR t t R t t??95 167。 3 泊松過程及維納過程 0,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 0)( 0 ) ,h s h t hX t h X S h X t X sX t X s X t s Xt s s t t s? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?若對任意的實(shí)數(shù) 和與 具有相同的分布，稱 ；這時(shí)，增量 的分布函數(shù)與 的分布函數(shù)相同，即只依賴于時(shí)間差 而不依賴于 和 本身，當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時(shí)，稱相應(yīng)的獨(dú)立增量過增量程是具有平穩(wěn)性齊次的 ；96 獨(dú)立增量過程的性質(zhì)： ( ) ( ) ( ) ( 0 )1. X t X t X s s t? ? ?的有限維分布函數(shù)族可以由增量 的 分布所確定；? ?? ? ? ?? ?? ?1 2 1 2121 2 1 1 11121 2 1 1, ( ) , ( ) , ( )( ) ( 0) , ( ) ( ) ( ) ( 0) , ( ) ( )( ) , ( ) , ( )( ) ( 0) , ( ) ( ) , , ( ) ( ) nnnniiinnnn t t t t t tX t X t X tX t X X t X t X t X X t X tX t X t X tX t X X t X t X t X t???? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ??事實(shí)上，對任意的 及任意的 ，不妨設(shè) ,則：即 的分布函數(shù)可由：的分布函數(shù)確定97 ( 0) 0 , [ ( ) ] 0 , ( ) ( )YXY E Y t D t D t? ? ?且 ()Yt 也具有獨(dú)立增量性， ? ?2[ ( ) ( 0) ] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( 0) ]E Y s Y Y t Y s Y s Y? ? ? ? ?, ( , ) [ ( ) ( ) ]Xs t C s t E s Y t??設(shè) 則 ? ? 2[ ( ) ( 0) ] [ ( ) ( ) ] ( )E Y s Y Y t Y s E Y s??? ? ? ??? ? ? ? 2( ) ( 0) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )XE Y s Y E Y t Y s E Y s D s? ? ? ? ?, ( , ) ( )XXt s C s t D t??同理當(dāng) 時(shí) 可證得98 (一 ) 泊松分布 5t4t3t2t1t()Nt等間隔的 不等間隔的 99 1. 在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性? ?12. , ( , ) ( , ) 1 ( ) , ( )t P t t t P N t t t t o tNt??? ? ? ? ? ?對于充分小的其中常